整合教材實施主題教學

吳家全

【摘要】主題教學在數學學科并不是很理想.2017版高中新課標倡導以主題為引領的教學.學生在初中就學習了“標準差的作用”;高中統計與概率教材的各個章節也都有標準差作用的影子，但由于碎片化的分布讓學生并沒有形成對標準差的系統認識和理解.采用主題教學的方式設計“標準差的作用”并實施，使得教學效果比較突出，也得到了主題教學的有效策略：數學主題教學的邏輯性設計、廣泛聯系性實施和體驗性開展.

【關鍵詞】主題教學;標準差作用;邏輯性;聯系性;體驗性

主題教學可以追溯到1931 年美國芝加哥大學的莫里遜倡導的著名的“莫里遜單元教學法”，是聚焦于對某一具有重要意義的課題的理解而展開的有目的的學習體驗.主題教學在語文、英語學科開展得如火如荼，但是在數學學科并不是很理想.

一、新課標對主題教學的要求

2017版的新課標中指出：教育教學要遵循教育規律和學生的身心發展規律，貼近學生的思想、學習、生活實際，充分反映學生的成長需要，促進每個學生主動發展;精選教學內容，重視以學科大概念為核心，使得課程內容結構化，以主題為引領，使得課程內容情境化，從而促進學科核心素養的落實[1].新課標數學的教學內容，是由函數等五個主題構成.新課標數學后附的案例“函數單調性主題教學設計（案例36）”為廣大教師提供了主題教學的思想方法.因此，我們根據課標的精神，在數學學科的教學中，開展主題教學是很有必要的.

二、標準差在教材中的分布及學生學習狀況

現以人教版教材中標準差的內容分析主題教學的必要性.初二數學人教版20.2數據的波動程度中學生學習了標準差的公式及它反應數據的離散程度的意義.高中數學人教版必修3中的2.2.2.2標準差中指出標準差是樣本數據到平均數的一種平均距離，并給出了標準差的另外一種解釋：居民月均用水量的100個數據落在[x--2s，x-+2s]外的只有4個，[x--2s，x-+2s]幾乎包含了所有樣本數據，但這種解釋很多師生是沒有重視的，緊接著閱讀與思考中“生產過程中的質量監控圖”對這種解釋進行了運用，可惜絕大部分閱讀材料是不會寫在教材上的.高中數學人教版選修2-3中的2.3.2離散型隨機變量的方差再次提到標準差刻畫隨機變量偏離于平均值的平均程度，大部分師生認為此知識和初中無異.高中數學人教版選修2-3的2.4正態分布中又在末尾提到了與標準差有關的3σ原則，只是正態分布要求低，教師對3σ原則一語帶過.我們從教材的這些分布可以看到，教材對于標準差的編寫是欲語還休，既不系統也不深刻.學生學習的關于標準差的內容最深刻的就是“標準差就是反應數據的波動性大小”.尤其，高中教材中關于標準差的知識是散亂的、沒有邏輯的，因此，學生經過高中學習后對標準差的學習仍然停留在初中水平.還有，在平時的考試數據分析中，總有標準差這一欄，筆者問過教師：“標準差在分數統計時有什么用？”大部分人說沒有什么用.

三、基于主題教學的標準差用途的教學設計

如何讓高中階段的學生深刻系統地認識“標準差”？筆者以“標準差的用途”為主題，整合教材，基于主題“標準差用途”進行了如下教學設計：

引入：微博中網友梆梆可愛與斯皮爾翠花的對話：“小作文500字我要寫半個鐘頭.”“我也是.”“寫完了就是一篇長文而已，沒有任何浪漫或者心動的東西.”“怪不得高考語文墊底.”“我們兩個文盲.”“都是人，我們的差距可能在3個標準差之外吧！”這里的“我們的差距可能在3個標準差之外”是什么意思？從而揭示主題“標準差的用途”.

問題一：下面是27人每30秒的心跳次數紀錄，如何計算這組數據的標準差？

學生回憶標準差的公式

問題二：從結構上看標準差公式有什么特點？

學生計算后，對結果還是存在疑問，于是繼續計算.

我們通過這兩個例子，能發現：數據落在（u-2σ，u+2σ）內的頻率約為95%，數據落在（u-3σ，u+3σ）內的頻率約為99%.

教師及時延伸，在頻率分布直方圖中，組距無限小，樣本無限大，得到的就是總體分布直方圖，它們也符合這樣的規律，如我們熟悉的正態分布也是如此.

問題三：數據落在（u-2σ，u+2σ）內的頻率約為95%，數據落在（u-3σ，u+3σ）內的頻率約為99%.落在區間外的數據多么？這個結論對我們有什么用？

學生思考會發現落在區間外是小概率事件.教師順勢提供案例：截至2019年9月底，印度影子銀行對印度公共債券的信貸利差保持在超過5年平均水平兩個標準差以上，近期外國投資者在印度公共債券中的份額從一年前的4.5%下降到2018年底的3.6%，說明越來越多的全球投資者都不再看好印度經濟.

練習2：圖1是工廠生產零件時的質量監控圖，即在生產過程中，每隔一定的時間任取一個零件進行檢查，并將檢查零件的尺寸用圓點標注在圖中，若圓點在控制界限（u-3σ，u+3σ）外，可認為有異常情況發生，應該停機檢查.請解釋這樣做的理由是什么？

練習3：正態分布中，總體在（u-2σ，u+2σ）以外取值的概率只有4.6%，在（u-3σ，u+3σ）以外取值的概率只有0.3%，在（u-6σ，u+6σ）以外取值的概率有什么特點？ 對我們有什么啟示？

學生發現在（u-6σ，u+6σ）以外的數據幾乎是不存在的，于是在介紹企業中的“ 6σ管理法”的數學原理時，以6σ為質量標準，并控制目標出現在（u-6σ，u+6σ）內，即在一百萬個里，只找出2，3個瑕疵的，是一種追求完美，追求零缺陷率的管理理念和方法.

問題四：根據我校半學期考試數學成績（如表1）和英語成績（如表2）回答：

（1）小成的數學考了106分，小成的英語考了110分，請判斷這兩個分數分別在（u-σ，u+σ），（u-2σ，u+2σ），（u-3σ，u+3σ）中哪個區間？

（2）比較小成的英語和數學成績哪個好，為什么？

學生通過思考，計算得到：

則數學分在（u-2σ，u+2σ）內，英語分在（u-σ，u+σ）內，故數學成績比英語成績好.Z=X-uσ叫作標準分，可以估計原始分在幾個標準差區間內，大致占比為多少，也可以用來衡量不同類別的數據大小.下表為5歲以下兒童生長狀況判定的Z評分表：

其中自家寶寶的實測值與對應的參考寶寶群中位數之間的差值和參考寶寶群的標準差相比，所得比值為寶寶的Z評分.

標準差的用途很廣泛，如有些地方的高考賦分也可以用之估計.我們在大學學習中有可能會學習到馬爾可夫不等式與切比雪夫定理，它們在某種意義上刻畫了標準差在反應數據離散程度的同時還刻畫了每個數據偏離平均水平的程度.

四、基于主題教學的標準差用途的教學反饋

標準差這堂課設計好之后，筆者在一個中等水平的班級進行了實踐，區內教師參加了這堂課的觀課和議課.首先，課堂充分從標準差的定義出發，并用聯系的觀點讓學生思考標準差的定義有什么結構特點，學生分析出標準差的定義中反應數據的偏離、平均偏離程度、保持數據的單位與之一致便于計算等情況，充分思考了數學的本源問題.其次，教師緊緊抓住主題“標準差的用途”，從標準差反應平均偏離程度角度出發，引出距離平均值一個標準差、兩個標準差、三個標準差區間內的占比可能是什么，通過計算兩個例子發現規律，從而把規律引申到正態分布，利用這個規律發現異常，然后，利用這個規律反過來找到數據的占比位置，從而比較不同類別數據的優越，引出標準差在標準化比較中的地位和作用.最后，教師為學生提供大學中標準差的繼續研究及方向.整堂課，學生思維活躍，認識具體，課堂邏輯清晰，環環相扣.課后，筆者對學生進行了訪談，了解到學生對標準差有了全面系統的認識，并知道了標準差的三個作用及在生活中的具體應用，增加了學生對概率統計的興趣.也有點遺憾，因標準化比較中有點倉促，學生對標準差在新高考中具體分數轉化的作用還有點不夠明白.

五、數學主題教學策略

主題教學由于要整合教材，創造性設計課堂，因此對教師能力要求比較高，但是它的規律也是很明顯的：

（1）聚焦主題后，教師要按照知識發展邏輯和聯系及設計課時順序進行教學.教師在進行主題教學前，要能夠明確與主題相關的知識的前后邏輯關系，并依據對知識的邏輯的理解和認識，進行主題教學的設計.主題的選擇可以是核心概念、重要內容、數學思想、關鍵方法等[2].

（2）主題教學融入數學文化、生活或其他學科知識.主題教學作為一個聚焦內容，不能僅僅局限于課標、教材.為了讓學生深入了解該主題內容，明確該主題的結構及學習方向，主題教學應融入數學文化、生活或其他學科知識，讓學生了解主題的背景、應用及來龍去脈，為學生提供繼續學習的平臺和方向.

（3）主題教學體現針對性、體驗性.主題教學除了要有一般課堂的規律外，它更強調針對性和體驗性.主題的選擇一定是經過教師精心思考并且很有必要的內容，如“疑難雜癥”內容，課程靈魂內容等，同時還需要輔以課前、課后的閱讀與思考、題后的反思與感悟、合理的變式、實驗探究、提煉通性通法等體現學生參與主題教學的活動.

總之，主題教學是新時代教育教學多樣化的一個選擇.主題教學，讓學生獲得學習的自由，獲得思想的自由，從零碎散亂的知識中解放出來，從教材的奴役中解放出來，進而獲得人生的自由.

【參考文獻】

[1] 崔允漷.學科核心素養呼喚大單元教學設計[J].上海教育科研.2019（4）：1.

[2]邵朝友，韓文杰，張雨強.試論以大觀念為中心的單元設計：基于兩種單元設計思路的考察[J].全球教育展望.2019（6）：74-83.