活用畫圖技巧培養數學素養

宋楚楚

【摘 要】“植樹問題”是人教版《數學》五年級上冊“數學廣角”的內容，重點是研究當兩端都種時棵數與間隔數之間的關系。學生在探究這一問題時，往往會采用“畫圖”的方法，因此如何畫圖，怎么用圖是這節課的重點之一。在這一過程中，有意識地培養學生數學建模、對應、數感等高階思維能力和“選擇簡單的數研究”的數學思考方法;感受數學與現實生活的緊密聯系，體驗成功的喜悅。

【關鍵詞】畫圖技巧;一一對應;簡單的數據

一、創設情境，揭示課題

教師伸出一只手，指著手指與手指之間的距離問：“同學們，你們知道這段距離叫什么嗎？我們把這一段距離叫做間隔。”

課件播放圖片：一排做操的學生中的3個人、路邊的兩根電線桿、路邊的4面彩旗、路邊的5棵柳樹。

師：用手比劃下間隔數和棵數。

生1：3個人之間有2個間隔。

生2：兩個電線桿之間有1個間隔。

生3：4面彩旗之間有3個間隔。

生4：5顆柳樹之間有1個間隔。

師：今天這節課，我們就來研究一些簡單的與間隔數和棵樹有關的問題——植樹問題。（板書課題）

設計意圖：在實際的教學中，學生往往對于“間隔”的理解有偏差。在本課的引入時，先讓學生觀察現實生活中不同場景的間隔是怎么樣的，圖形中的間隔是怎么形成的，初步體會間隔和“棵數”之間的關系。

二、活用技巧，激趣引知

（一）課件出示情境

在1000米長的路上，一邊種樹，每隔5米種一棵（兩端都種）。一共可以種多少棵樹？

師：從題中你得到了哪些信息？

生：在1000米的長的路上，一邊植樹，每隔5米種一棵，兩端都種。

師：一邊植樹是什么意思？

生：路有兩邊，只在一邊植樹。

師：兩端都種呢？

生：一頭一尾都種樹。

師：這道題你是怎么想的？請先嘗試列算式解決。

學生出現三種算式，分別是：1000÷51000÷5+21000÷5+1

師：哪個算式是正確的？如何驗證？

學生猜測，并指出可以通過畫圖的方法驗證。

師：可是1000m太長太麻煩了，怎么辦？

生1：可以選擇小的數。

生2：可以選擇從20m的路上研究。

生3：也可以選擇從30m的路上研究。

板書：從簡單的數據研究

師：那我們先選擇在20m的路上研究吧。請同學畫一畫，算一算。

設計意圖：出示“種樹”的情境，先讓學生列算式解決，展示不同的算式，把學生的想法暴露出來。怎么去驗證哪個算式是正確的？學生都能想到用“畫圖”的方法。而情境中的數據太大，引起學生思考，數據太大時可以選擇從小的數據研究，找到規律。

（二）畫圖解題，探究規律

出示學生的作品。

先展示錯誤的畫法。

師：請你判斷這些同學畫的圖是否正確？

生1：是錯誤的。題中要求是“兩端都種”，他只種了一端。

生2：是錯誤的。一個間隔長5m，這里有5個間隔，一共是25m了，與題意不符。并且按照他的畫法，總長度他也標錯了。

師：這兩位同學在指出錯誤時都提到了一個關鍵的因素——與條件不符！所以畫圖時，我們要注意什么？

生：與條件相符合。

師：是的，我們所畫的圖一定要和題中的條件一致，這樣才能幫助我們正確地解決問題。

師再展示正確的畫法。

師：誰來說說怎么畫才正確？

生：一個間隔是5m，4個間隔就是20m，首先要符合題意。而且兩端都種上樹了。

師：你覺得他的畫法正確嗎？誰還有補充？

生：正確，不過我們可以用線段圖來畫。

師追問：為什么選擇線段圖？

生：因為這樣的圖比較簡單，把樹畫成一棵棵樹的樣子太浪費時間了。

師：想要畫出正確的圖，還要注意什么呢？

生：不要忘記檢查，畫出的圖是否和題中的要求一致！

師生一起小結正確的畫法：首先要理解題意，其次可以用線段圖的表示，一個端點表示一棵樹，一段線就表示一段間隔。最后注意檢查總長度和條件是否相符。

設計意圖：展示正確的和錯誤的畫法，讓學生在不同的畫法中體會圖一定要和條件一致才能幫助解決問題。最后老師讓學生說一說畫法，幫助畫錯的學生規范畫圖。

師：圖畫正確了，誰再來說一說從圖中，你發現了什么？

生：我發現棵數比間隔數多1。

師：誰能結合圖，比一比，說一說為什么兩端都種，棵數比間隔數多1？

生一邊在圖上指一指，一邊說：一棵樹對應一個間隔，這樣一一對應下去，就會發現最后一棵樹沒有對應的間隔，所以棵數比間隔數多1。

老師根據學生說的，在圖上用紅筆一一對應地將一棵樹和一個間隔圈起來。

師：這個同學是這樣結合圖，一一對應地去比較出來的。

板書：一一對應

師：請你也和同桌，根據圖，這樣一一對應地圈一圈，比一比棵數和間隔數。

設計意圖：一一對應的比較方法，很容易比較出棵數和間隔數之間的關系，因此在教學設計中不斷地讓學生用這種方法去比較，加深印象。

（三）再次探究，得出規律

師：在20米的路上兩端都種，我們發現了棵樹比間隔數多1，那么在其他長度的路上也有這樣的規律嗎？我們一起再來研究一下。

出示情境：在（ ?）米長的路上一邊種樹，每隔5米種一棵（兩端都種）。一共可以種多少棵樹？

師：你還想研究幾米？請你把自己想研究的長度填入括號里，畫一畫，算一算。

學生完成探究后，將探究結果展示出來，大家一起交流。

學生通過畫圖的方法，研究不同長度的小路，都得到了兩端都栽，棵數比間隔數多1。

板書：棵數=間隔數+1（兩端都栽）

師：根據探究所得的規律，我們再回到第一個例題中我們在黑板上列的這幾個算式，誰能再來說說哪個算式是正確的？

生：1000÷5+1是正確的。

師：說一說為什么？

生：1000÷5算出的是間隔數，再+1就是棵數了。

師：為什么+1？

生：因為一棵樹對應一個間隔，這樣一一對應下去，最后一棵樹后面沒有間隔，所以多出一棵樹。

師：解釋得真好，同桌之間互相說一說為什么加1。

設計意圖：通過讓學生自主探究，再一次驗證當兩端都栽，棵數比間隔數多1學生把探究所得的規律重新去解決例1的問題，既能讓學生感受探究大數據時，可以選擇從小數據上先探究出規律，又能讓學生把得出的規律應用到解決問題中去，鍛煉了學生應用能力。

三、構建模型，活用規律

（一）口答（兩端都栽）

（1）如果有13個間隔，應該栽多少棵樹？

（2）如果栽20棵樹，中間有多少個間隔？如果每棵樹之間插一面彩旗，一共有幾面彩旗？

（二）你能否自己編一道類似的“植樹問題”

展示學生所編的比較典型的植樹問題。

師：同學們編的這些題各有創意，既和我們今天研究的植樹問題有點像又有點不像，你們能解決嗎？

生：可以。

師：你們想怎么解決呢？

生：可以選擇畫圖解決。

師：那就請同學們根據我們在課上小結的畫圖方法，嘗試解決老師選擇的這三道題。

（三）學生一起通過畫圖解決所編的植樹問題。

師：剛才我們自己開動腦筋解決了問題，解決完這些植樹問題，你又有什么發現呢？

生：通過上面幾道題，我發現了兩端都不栽，棵樹比間隔數少1。

師追問：你能結合你的圖來說說為什么嗎？

生：可以這樣，一段對應一個端點，那么這樣一一對應下去，最后一段沒有對應的端點！所以棵樹比間隔數少1。

師：說得特別好！還有其他發現嗎？

生：我也發現了一端栽、一端不栽的情況，棵樹=間隔數。

師：你也能結合圖，像這樣來說說理由嗎？

生：一個端點對應一段，這樣一一對應下去，最后正好都有對應！不多不少。

師：是的，同學們，我們不僅要學會如何正確畫圖，更重要地是我們要學會如果用圖來解決問題。

設計意圖：讓學生自己編一道類似的“植樹問題”，在編題的過程中，也是建立“植樹問題”模型的過程。從學生的編題結果也可以看出學生對于本節課的掌握情況。此外，也提升了學生對于知識的應用、整合、編輯等綜合能力，調動了學生的學習積極性。學生在選擇編題素材時，不一定是“樹”，而是生活中的其他東西。這也可以讓學生感受到生活中處處有數學。

四、抽象概括，深化理解

師：同學們在編題時，用到的素材很多，如人、電線桿、車站、旗子等，現在把這些在腦海里越變越小，成一個點，小路變成一條線段，你能發現棵數和間隔數之間的關系嗎？

生：棵數=間隔數+1

師：其實，這里的人、車站、樹等與間隔的關系都可以理解成棵數與間隔數的關系。

設計意圖：數學學習是從具體到抽象再回到具體的過程。本環節從感知上升到認知，在學生腦海里建立了植樹問題的模型。學生學到的不僅是知識，更是一種學習方法、一種解決問題的策略。

五、回顧反思，總結提升

師：通過這節課的學習，你有什么收獲？請你與同桌說一說。

師：在剛剛編的題中，有一種情況與我們今天探究的不一樣，這位編題的同學題中的條件是“一端種一端不種”，這種情況，我們該怎么去研究呢？

生1：和今天研究的方法一樣，從小的數據研究。

生2：畫圖。

設計意圖：通過回顧，學生能再次梳理探究的過程和方法，總結解決問題的策略。在課的結尾提出另一種植樹問題的情況，培養學生數學方法的遷移能力。

六、課后思考

這節“植樹問題”在設計時，始終有2個問題在我心里縈繞，其中一個問題是：學生已經會了，該怎么教？直到我看到2019年第1期《小學數學教師》中的一篇文章《數學思維是解決教學困窘的根》中的寫道：在學生已經掌握了部分知識的情況下，老師應該往后退，把學生推到前面，讓他們充分表達。是的，在學生已經會的情況下，怎么在課堂上調動他們的積極性？我想也是應把課堂讓給他們，讓他們自己去探究，去發現。因此，整節課的設計上，也是以學生自主畫圖探究、比較、發現規律、應用規律。而筆者僅是充當一個主持人的角色，推動他們展開探究。

第二個問題是：在設計時是將三個例題整合在一起上，還是只上例1？這個問題，我也請教了其他老師，部分老師還是選擇三個例題一起上，因為學生在三年級時以及學習過一一間隔排列的內容。但最后我在設計時，還是決定在新授課時，只上一個例題的內容，這樣學生對知識的掌握可能更透徹一些。在整節課的設計中，先建模，兩端都栽這是基本模型，如果把這個模型建立好了，兩端不栽、只栽一端（包括封閉的情形）都不成問題。

此外，學生在實際解決植樹問題時，往往只是靠套用公式來解決問題，至于背后的原理，他們往往是不清不楚的。因此在設計這節課時，筆者弱化了公式的記憶，通過畫圖、一一對應地比較，讓學生真正搞懂植樹問題背后蘊含的數學思想。思想掌握了，一通百通，類型再怎么變化，抓住一一對應這一根本，都能輕松解決。

【參考文獻】

[1]蘇遺華.抓住學科內在本質，培養學生數學素養——人教版教材五年級上冊“植樹問題”的教學思考[J].小學教學參考，2020（20）：74-75

[2]林迎陶.畫圖——培養數學核心素養的有效途徑[J].小學教學研究，2019（32）：94-96