問題驅動教學

江蘇省南京市第九中學 張 冉

近日，筆者有幸面向本區展示了《拋物線及其標準方程》這節公開課。本文是筆者對這節課的再整理及再思考。

一、教學過程簡錄

1.情境引入，提出問題

師：最近我們研究了具有某種幾何特征的動點軌跡。如：橢圓是到兩定點的距離之和為定值的點的軌跡；雙曲線是到定點的距離之差的絕對值為定值的點的軌跡。請確定滿足下列條件的點P的軌跡：

給定直線l和直線外一點F，過直線上任一點G作l的垂線，交線段FG的垂直平分線于點P，點G在直線上變化，得到動點P的軌跡。（如下圖）

問題1：動點P具有怎樣的幾何特征？

生：P點是垂直平分線上的點，所以PF=PG。

師：P還是l垂線上的點，則PG的幾何意義是？

生：PG表示P到定直線l的距離。

師：總結來說，動點P的幾何特征是？

生：P到F的距離等于到直線l的距離。

【設計意圖】借助情境中的垂直平分線條件，找到動點P的幾何特征是PF=PG，即P到定點F和到定直線l的距離相等。否定軌跡為橢圓或雙曲線，并為給出拋物線的定義和探究P點的軌跡方程做鋪墊。

問題2：動點P的軌跡是何曲線？

師：圖形直觀顯示，P的軌跡像是橢圓或者雙曲線的一部分。思考動點P的軌跡是什么曲線？橢圓？雙曲線？

生：都不是。因為動點P不滿足以上兩種圓錐曲線的定義，P的軌跡應該是其他的曲線。

師：華羅庚曾說“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”。我們要想嚴謹地判別出P的軌跡，單純依靠圖形是不夠的，還需要借助代數手段，也就是探究P點的軌跡方程。

【設計意圖】明確了P點的幾何特征之后，結合給出的軌跡形狀，學生有了直觀的認識，然后探究P點的軌跡方程。

2.合作探究，體驗過程

明確研究軌跡方程的一般步驟后，對坐標系的建法進行引導探究。學生在三種坐標系下分別求出拋物線的方程，并通過自主比較得出以拋物線頂點為坐標原點，對稱軸為坐標軸的建系條件下得到的方程最為簡潔，稱為標準方程。

3.自主建構，歸納概括

師：回到問題2，剛才從形狀上不能判別是否為橢圓或雙曲線。現有了軌跡方程，請從方程結構入手，分析是何曲線？

生：不是橢圓，也不是雙曲線，橢圓與雙曲線的方程中，x、y的最高次項都為2，而此方程中x的最高次項為1，y的最高次項為2。

師：那你認為是何曲線呢？

師：我們是否學習過這樣的表達式：一個變量的最高次項為2，另一個變量的最高次項為1？

生：一元二次函數。

師：該方程可以看作是x關于y的一元二次函數表達式嗎？

生：可以，那么P的軌跡為拋物線。

【設計意圖】新知舊知結合。

師：請結合P的幾何特征，給出拋物線的定義。

生：到定點和到定直線距離相等的動點P的軌跡是拋物線。

師：在該定義中，將定點F稱為焦點，定直線l稱為準線。

師：橢圓定義中要求定量間滿足2a>F1F2。這里給的定點定線間是否有補充說明？

生：定點不在定直線上，否則P的軌跡為過F點的垂線。

師：很好。由此得到：到定點F和到定直線l（F不在l上）上的P的軌跡為拋物線。

4.深化鞏固，拓展延伸

引導學生得到拋物線的其他三種標準方程，并從焦點所處坐標軸、正負半軸角度區分四種標準方程，將圖像與方程相結合。

二、對教學設計的再思考

情境引入中，學生可得到PF=PG，但不能將PG理解為動點到定直線的距離，即使在引導后認識到動點P到F的距離等于到直線l的距離，仍沒有體會到要尋找動點和定量之間的關系。其實設置該問題情境的目的是揭示拋物線的形成是由到定點和到定直線的距離相等的動點構成，而該情景的主要難點在于表述和提煉這一關系，模糊了主題。

結合兩節課的情況，筆者取兩種概念給定方式的長處，從特殊到一般，由淺入深地探究拋物線的定義。以下是優化后的方案：

問題1：已知動點P（x，y）到點A（0,1）和到直線y=-1 的距離相等，求點P的軌跡方程。

【設計意圖】由具體的拋物線方程入手，與一元二次函數圖像相結合，將教學內容納入學生的知識結構中。

師：初中即學過一元二次函數的圖像是拋物線，今天我們通過繪制到定點A和到定直線l距離相等的點的軌跡也得到了拋物線，這是巧合嗎？會不會是拋物線的又一形成方式呢？

師：一元二次函數的圖像是開口向上或向下的拋物線。接下來，我們借助幾何畫板繪制開口方向更為一般的拋物線。

活動一：直尺、繩索畫拋物線的視頻展示。

活動二：幾何畫板展示。

【設計意圖】通過畫拋物線的形式，給學生觀察、歸納、組織數學語言的機會，讓教學與學生發展相適應。

問題2：請根據繪制過程，給出拋物線的定義。

生：到定點和到定直線距離相等的動點P的軌跡是拋物線。

三、教學感悟

“問題是數學的心臟”，思維是由問題開始的，有了問題才有思考。問題情境的創設對于學生數學概念的理解滲透至關重要，教學中應著力創設有利于培養學生數學核心素養的問題情境。如何提高數學問題情境的有效性，需要我們立足課堂，在課堂教學中開展對話交流，產生思維碰撞，進而看清問題的結構，這樣才能更好地理解問題及相關數學概念的本質特征。