小作為，大境界
——從一道數學練習題談起

江蘇省海安市開發區實驗學校 曹秋鵬

小學生年齡小，思維能力還不成熟，多以形象思維為主。用畫圖的方法分析問題是解決問題的一種常用策略，它能幫助學生理清數量之間的關系，將抽象的數學關系變得直觀，其本質是數形結合的數學思想。研究者將數學語言分為文字語言、符號語言、圖像語言，而數形結合就是將這三種語言有機統一起來，使抽象成為直觀。沈恒老師認為數形結合分為“三重境界”：識圖解題、畫圖解題以及構圖解題。結合畫圖解題，筆者在執教蘇教版四年級下冊“解決問題的策略”這一單元時有了一些思考。本文從一道練習題出發，基于畫線段圖的策略談談數與形的相互轉化，化抽象為直觀，化復雜為簡單。

一、對比呈現，尋求新法

我們來看蘇教版四年級數學下冊練習八的第11 題：

甲、乙兩地相距495 千米，一輛汽車從甲地開往乙地，已經行了3 小時，剩下的路程比已經行的多45 千米。這輛汽車的平均速度是多少千米/時？

這道練習題也給了相應的線段圖來輔助學生分析、解決問題。下面給出課堂中教學這道題的部分片段：

師：請學生讀題，指出已知條件。

師：你們能把線段圖補充完整嗎？

話音剛落，下面異口同聲：能！學生不一會就補充完整了。

師：列式解答吧。

下去巡視，有的學生無從下筆，有的學生盯著線段圖直搖頭，有的同桌低聲地議論著。

師：做好了嗎？

生：沒有。

師：怎么了？

生：不知道怎么做。

……

經過小組討論，發現線段圖學生都能讀得懂，但是不知道根據線段圖可以求什么，也就是不會借助線段圖分析數量關系。

我們先來看這一單元的例1：

小寧和小春共有72 枚郵票，小春比小寧多12 枚，兩人各有郵票多少枚？

能夠清楚地看到兩個數量的和與差的關系，并且給了兩條線段，這時抽象的數量關系在線段圖上一目了然。線段圖為學生解決例1 提供了不小的幫助。下面我選取了例1 的部分教學片段：

師：（出示例1 的題目）你準備如何處理題目的信息？

生：畫圖，列表。

學生自行整理，教師巡視。

師：（展示學生作品）你們覺得哪個好？

生：畫圖。

師：很好，看看老師是怎么畫的，出示例1 的圖示。

……

給出線段圖后，大部分學生能夠獨立解決例1。

練習八的第11 題與例1 都采用了畫線段的策略分析解決問題，例1 的圖清楚地呈現了數量關系，便于學生列式解決問題。但是練習八第11 題題目僅僅畫了一條線段，學生根據題目提示，將線段圖上的信息補充完整后，無法根據線段圖進一步分析數量關系，也無法列式解答。筆者發現題目中所給的線段圖根本就沒有呈現“剩下的路程比已經行的多45 千米”這一信息，導向性缺乏。而解題關鍵是我們可以先用總路程減去“多45 千米”，這樣已經行的和剩下的路程一樣多。但這個思維過程學生從題目所給的線段圖中并不能生成，于是筆者閱讀教材參考書，并沒有發現針對所給線段圖的有效解讀。筆者認為，第11 題所給的線段圖“識之無味”，“剩下的路程比已經行的多45 千米”表達的是“已經行的”與“剩下的”這兩者之間的數量關系。與例1 一樣，第11 題本質上也是和與差的關系問題，那么能不能像例1 那樣重畫出兩條線段，使得題目的數量關系變得直觀呢？

我作了新的線段圖如下：

如此一來，由一條線段變成兩條線段，題目里所有信息都能從這個線段圖上讀出來，這道難題就不再難了。那么學生能夠自己畫出來嗎？在上述第11 題教學片段后，我嘗試讓學生自己重新畫圖來解決這個問題，但是學生畫不出上面的線段圖。只有當我充分提示題目條件“剩下的路程比已經行的多45 千米”表達的是“已經行的”與“剩下的”這兩者之間的數量關系，極少部分學生才能夠畫出，在我給出我們需要兩條線段的提示后，大多數學生才能作出線段圖。我意識到我的教學出現了問題。

二、亡羊補牢，為時未晚

對于例1 的教學，我處理得不到位，對于線段圖的相關知識，學生在四年級下學期之前就有了認識，那時的要求是“識圖解題”，所以孩子們認為用畫線段的方法來解決例1 并不困難。但這一課時不再是簡單的識圖解題，而是要求學生學會畫線段圖描述問題。例1 的教學中，線段圖不能如上文教學片段中那樣輕而易舉地給出來。而要引導學生經歷“為什么要畫線段圖？”“為什么要畫兩條線段圖？”這兩個問題的思考，形成自己的認識：例1 描述兩個人郵票的數量關系，線段圖能夠清楚地表示兩者的多少關系。題目中是小寧和小春兩個人的郵票數量關系，所以畫兩條線段。經過第11 題的教學，我不清楚學生是否能夠從識圖解題上升到畫圖解題這個維度，于是我出了下面的題目：

食堂有大米980 千克，吃了4 天，已經吃的比剩下的多20 千克，問平均每天吃多少千克大米？

師：自己先讀題，再畫圖解決這個問題。

這時我選擇完全放手，讓學生動筆畫圖解題，我從學生的臉上讀到了自信，很快部分學生就做完了，畫出了下面的圖示：

接下來，組織學生分享畫圖經驗。

生：題目中有已經吃的和剩下的數量關系，所以我畫了兩條線段。

生：已經吃的比剩下的多，所以畫得長一些。

……

經過這兩道題的補救，我相信學生日后能夠自己判斷何時該畫線段圖以及該畫幾條線段。

三、總結反思，科學展望

新課程標準特別重視培養學生的應用意識與創新意識。教師在數學教學活動中要注意調動學生的積極性，引導學生思考，鼓勵學生運用已有的知識經驗去解決新問題。這要求教師在教學時要體現深度，要引導學生內化知識經驗。我們在教學例1 時并不應該僅僅讓學生去補充信息，解決問題，而要讓學生經歷“我為什么會畫出兩條線段”的思維過程，重點要讓學生自己發現題目中有幾個量，使學生明白畫線段圖首先要尋找題目中有幾個量。這個過程在教學時不能一筆帶過，必須深化學生的理解，讓學生形成自己的知識經驗，為己所用。可能由于之前的教學并沒有讓學生內化尋找數量有幾個的經驗，所以面對練習八的第11 題時，不少學生發現不了題目中的兩個量：已經行的、剩下的，也就會認為提示所給的線段圖是我們需要的，反而束手無策。

練習八第11 題，實質上與課本的例1 是同樣的類型，但是由于兩個原因導致題目難度上了一個層次：其一，題目給了一個不是最佳的線段圖，給學生設置了一些障礙，小學生自主能動性差，題目中給了線段圖，他們往往就會被牽著鼻子走。其二，學生的應用意識與創新意識淡薄，并不能很好地學以致用，不會自己重新畫線段圖解題。這要求我們平時教學的時候要注重深度教學，同時重視培養學生的創新與應用意識，這需要教者長期不斷地讓學生經歷“為什么要這樣畫”，形成學生的內化認識，之后學生可以熟練地根據題意去畫圖解題，學生自然而然就會有正確的思維模型了。