河圖、洛書數學內涵考

夏遠輝

(廈門理工學院 圖書館， 福建 廈門 361024)

被視為中華民族文明之源的河圖、洛書，人們只能大致確定其內容為數，而不知其確切內涵。文字起源假說中雖然包含河圖、洛書說，但人們無法確定河圖、洛書在文字起源過程中的具體作用，這導致許多人視河圖、洛書為神話和傳說，甚至懷疑它們的真實性。《河圖、洛書的傳承途徑考》提出了數字八卦概念及三種記事方式并存的理論，從傳承途徑上展示出河圖、洛書真實可信的一面，并確定應在數學及文字學上考證河圖、洛書的內涵[1]。鑒于問題復雜，筆者先以本文從數理哲學角度剖析出河圖、洛書最為基礎與核心的內涵，消除人們對河圖、洛書真實性的懷疑；之后將另行撰文，進一步結合乾坤、象數、書契等概念，剖析河圖、洛書在文字起源過程中的具體作用。

一、前人在數學上解讀河圖、洛書內涵的歷史

南宋朱熹(公元1130—1200年)、蔡元定(公元1135—1198年)認為，河圖是傳世本《易·系辭》中的“天地之數”，即“天一地二，天三地四，天五地六，天七地八，天九地十”[2]683-689，是數的起源。這一解讀有道理但需進一步考證。南宋楊輝(生卒不詳)解讀河圖為縱橫圖，洛書為三階幻方[3]。他對河圖的解讀除數字游戲功用外，無實質性用途，基本沒人認可；但對洛書的解讀，由于所用數字組合是一種客觀存在，在眾多解讀中獲得了最多認可。筆者認為楊輝的結論不能成立，因為我國古文獻沒有記載幻方的應用，幻方在宋代之前不具備實用性，包含幻方的矩陣屬于近現代工程數學中的應用，所以從實用性角度看，幻方不具備文明之源的特征。李約瑟(公元1900—1995年)也提出過質疑，他說“在13世紀以前，幻方的發展明顯地與數學思想的主流相分離”[4]23。

清李光地(公元1642—1718年)有“河圖加減之原”“洛書乘除之原”[2]786-787的結論。只是李光地給出的數字組合相當牽強，使得他的結論無人認可。并且在不能整除時需要有分數才能完成除法運算，所以分數必然先于除法出現，《左傳·隱公元年》中的“大都不過三(分)國(都)之一”被認為是文獻中最早的分數，出土文物商鞅量中有類似文字，這種類似分數的文字未脫離對具體事物如“國(都)”進行分割的情形、是否抽象至數的層面尚不確定。稍晚的清華簡《算表》中出現了用單個漢字表示的分數，用兩數組合表示、分子大于等于二且不與具體事物交織的分數在秦簡中才出現，說明分數成熟、除法出現的時間應較晚，而乘除法互逆、二者應是相伴產生的，這樣就將“洛書乘除之原”排除了。詳情筆者將另行撰文剖析。

二、考證河圖、洛書數學內涵的方法與范圍

李光地的解讀中，加減乘除的基礎性、實用性與文明之源的特征相符，且它們的產生年代久遠以至于難以查證，也可能與河圖、洛書的出現時間相符。所以李光地的解讀具備一定的科學性，我們應該堅持他這種注重基礎性、實用性的研究方法，并結合近年考古學、文獻學的研究成果，更加科學合理地解讀河圖、洛書的內涵。

最基礎的數學是正整數概念，我國一直延用的正整數屬十進位制正整數，可立足于數字變化追溯其發展歷程。吳文俊(公元1919—2017年)認為“十進位位值制記數法是中華民族的創造，是世界上絕無僅有的獨特創造”，“這一記數法最遲在《九章算術》成書時(公元1世紀)就已十分成熟；而在外國，印度也是最早在6世紀末才出現”[5]。十進位位值制記數法簡稱十進位制，包括十進制和位值制兩種規則。十進制規則即滿十進一規則；位值制規則指同一個數在不同位置上表示的數值不同，如1314中，前邊的1表示一個103,即一千，后邊的1表示一個101，即一十。“甲骨文中首次出現‘百’‘千’‘萬’三個數名，形成了較為系統的十進制”[6]144。李約瑟依據甲骨文中的這些數字也傾向于十進位制產生于中國[4]23。對這些數字的產生過程，《漢書》中有更為具體的記載。

《漢書·律歷志》載有“自伏羲畫八卦，由數起，至黃帝、堯、舜而大備”，“數者，一、十、百、千、萬也，所以算數事物，順性命之理也”[7]《律歷志》，將一至萬的發展分為“由數起”和“大備”兩階段。至于兩階段各產生了什么數字，因為數必然是由小到大、逐步積累著發展的，結合數字八卦是一至十的子集，河圖也只包含一至十，且個、十位數字出現于史前考古材料中，百、千、萬首現于甲骨文中，表明“由數起”階段應當只產生了個、十位數字。與“大備”相對應，傳世本《易·系辭》有“大衍之數五十，其用四十有九”，以往解讀雖能湊出五十，卻體現不出“大衍”功能，因“天地之數”“大衍之數”與“河出圖，洛出書”前后呼應。既然朱熹、蔡元定推測河圖為“天地之數”，順此可先推測洛書為“大衍之數”，再尋求證據支持這種推測。

靜態的數字僅表示記數結果，它們必然對應著一定的動態計算方法，動靜結合才能全面深入剖析數的發展歷程。“正如加法是代替較為繁重的數數求答案的辦法一樣，乘法是加法的簡化，它把許多加數‘疊在一起’。”[4]25數數和加法是較乘法更為基礎的計算方法，數數亦稱計數，即數事物個數的過程，逐個地計算事物個數稱為逐一計數，按幾個一群計數稱為分群計數。上文已排除乘除法，所以與河圖、洛書對應的計算方法應當僅限于數數和加減法。

三、“由數起”階段，數的發展歷程及河圖的內涵

下面詳細考證“由數起”階段個、十位數字的發展歷程，在此過程中使用的計算方法及河圖所起的作用，進而得出河圖的內涵。

(一)數字在文字起源過程中的先導作用

數字先于其它文字產生。宋朝已有“書始于契，契以紀數，故首數”[8]的結論；于省吾(公元1896—1984年)也有“雖然幾個積畫字(注：指一、二、三、四)極其簡單，但又極其重要，因為它是我國文字之創始，后來才逐漸發達到文字紀事以代表語言”[9]97。其實東漢文獻已經清楚地記載了這一點。《河圖、洛書的傳承途徑考》所引《漢書·律歷志》的“自伏羲畫八卦，由數起”。《說文解字》的“惟初太始，道立于一，造分天地,化成萬物”，“古者包羲氏之王天下也，仰則觀象于天，俯則觀法于地，視鳥獸之文與地之宜，近取諸身、遠取諸物，于是始作易八卦”，證明東漢時人們知道八卦曾是用數字記錄的占筮結果、為文字的起源。“在半坡出土的陶器上有許多刻劃符號，其中被辯認出來的數字符號有五、六、七、八、十和二十等六個”[6]130，表明考古發現的最早文字是數字、也支持這一結論。人們之所以迷失了這一認知，是因為后來數字八卦被陰陽八卦取代了。《漢書·五行志》載“董仲舒治公羊春秋,始推陰陽”[7]《五行志》，表明是董仲舒(公元前175—公元前104年)開始以陰陽結合五行解釋災異的，這是陰陽八卦產生的前提。《漢書·儒林傳》載 “喜好自稱譽，得易家候陰陽災變書，詐言師田生且死時枕喜膝，獨傳喜，諸儒以此耀之。……上聞喜改師法，遂不用喜”“京房受易梁人焦延壽。延壽云嘗從孟喜問易。……房以明災異得幸，……由是易有京氏之學”[7]《儒林傳》。可見應是孟喜(生卒不詳)開啟了數字八卦向陰陽八卦轉化的歷程。

人們在徹底忘記數字八卦后，再也無法理解為什么文字既始于八卦又始于數字“一”了。于是段玉裁(公元1735—1815年)將“惟初太始”改為了“惟初太極”[10]1。孫詒讓(公元1848—1908年)在《名原·原始數名弟一》中引用了這一說法并以“蓋文字生于形，而書契之作，上原卦畫,下代結繩,又以紀數為尤重，合形數以紀物，由一而茲為萬”[11]1表達了他所理解的八卦、文字及數字間的關系。“上原卦畫”表明他認為文字起源于陰陽八卦。這是文字學家們的普遍認識，除錯誤理解了八卦與數字的關系外，還忽略了原始數字有比八卦更為深遠的源頭，因為記錄占筮結果是數字的派生用途而非本義。這從原始數字的構造方式中可以得到驗證。

(二)數字的原形

拱玉書等認為“這種原始的數字大多是通過描繪原始記數工具的途徑，即后來所謂的象形手段造成的。數原是由萬事萬物繹出來的抽象概念，但數字本身卻是記數工具的具象表達”[8]190,所以確定最原始的記數工具是什么，對探討原始數字的構造方式、以至于文字的起源都非常重要，但人們對最原始的記數工具是什么有多種觀點，其中認為是算籌的最具迷惑性。筆者認為，若假定產生原始數字時的計算方法是數數(下文將予以驗證)，結合產生的結果十進位制來推斷，最原始的記數工具是手指和人。原因有二：一是人與手指的干枝關系是形成十進位制的基礎。用算籌雖能數出大小，但數至多少形成更大的數量級是不確定的，基數恰好為十是小概率事件；而正常人都有十根手指，以手指和人作算具，基數為十是必然事件。在數十及以內的數時手指與算籌是等價的，用手指方便得多，人們自然是以手指來數數；相反若不立足自身條件而另行引入算籌，容易讓受眾誤會，以為是在表達相應數量的算籌。站著的人，最簡形象就是一條短豎線與原始的數字十相符。二是“近取諸身、遠取諸物”是使用象形手段選取原形的方法，因為舍近求遠不是一種科學合理的方法，所以一與十的原形應屬“取諸身”范疇；運用孫詒讓的偏旁比較法對比甲骨文與金文中的百、千、萬，它們原形的發展趨勢也能體現這一點。

萬的原形。綜合甲骨文及金文中的“萬”字字形(圖1、圖2)[6]144，可認定甲骨文中萬的原形是像鹿一類、四蹄帶角動物的獸首，順承定義“千”的方法以其頭部毛發數量表示萬；多數金文相對于甲骨文補充了獸的身體和兩腿，由甲骨文的頭像演化為側面像，文字學上稱這種現象為繁化。《說文解字》釋“萬”為“蟲也”[13],于是一些字典及數學史書籍中認為“萬”的原形是蝎子，但圖1、圖2中的一些萬字在可能的蝎鉗部位是三叉的，足以否定這種說法；還有人將萬、蠆相提并論，而蠆即解釋為蛇、蝎之類的毒蟲，但《說文解字注》對蠆的解釋有“其字上本不從萬，以苗象其身首之形”[10]1157，表明“萬”“蠆”本來沒關系，《說文解字》對“萬”字的解讀應該有問題，萬的原形與蝎子并無關系。

圖1 甲骨文中“萬”字的字形

圖2 金文中“萬”字的字形

可見“取諸物”是在“取諸身”無法表達時才使用的手段，所以一與十的原形是手指和人，雖然這里人在文字上有十字和人字兩個像，但它們產生于不同時代、表示不同意義，是合理的。因借以產生百、千、萬的事物并未參與記數過程，所以將它們與產生一與十的“原始記數工具”一起統稱為數字的原形更合適。

(三)一至九最初的字形結構

史前陶器及甲骨文中一至四的字形結構，被于省吾、孫詒讓等人稱之為“積畫”，就是以相同的筆劃逐一疊加的方式造字，于省吾還認為“凡紀數字均可積畫為之，但積至四畫已覺其繁，勢不得不化繁為簡”，“我國古文字，當自紀數字開始，紀數字乃古文字中之原始字。紀數字由一至九分為二系而五居其中。由一至四，均為積畫，此一系也；由五至九，變積畫為錯畫，此又一系也”[9]97。孫詒讓仔細分析了甲骨文及之前的五至九，認為七是“承五而小變之”、九是“承七而小變之”、八是“承六而小變之”，“蓋六之與八，七之與九，皆間一數，相對為形”[11]1，說明這五個數字的構造非常規整；同時由兩劃錯畫的五至九筆劃數少于積畫的三和四，與以象形方式造字的邏輯不符，所以錯畫的五至九應是由積畫形式一次性簡化而來(注：半坡遺址中五由兩劃錯畫而成，甲骨文在上下各加一橫，存在繁化情形，甲骨文中也還存在積畫的五)。這次簡化才是“于是始作易八卦”的由來，也應該是文字的首次簡化和派生使用。

(四)原始的計算方法

積畫的字形結構蘊含著原始的計算方法，以下兩項事實可以證明這一點。一是“由數起”階段不僅個位數字是積畫的，十位數字也是積畫的，不過是以短豎線積畫的，甲骨文中有這樣的十至四十(圖3)[6]145，里耶秦簡中仍有積畫的四十。廿、卅是積畫方式的遺存，因一至四、十至四十都是積畫的，就從側面印證了于省吾“凡紀數字均可積畫為之”的論斷；這種字形上筆劃的逐一疊加體現了逐一遞增的數數方式，是“形與神俱”的表現，亦即積畫的字形結構是人們用數手指和人的個數的方式來計算數量的表現。二是百字的出處為甲骨文、十字的出處為半坡遺址，時間跨度近3000年，即使將數字百的出現時間提前至《漢書·律歷志》記載的黃帝時代，時間跨度也非常大，說明“由數起”階段的計算方法是低級的，它也應該是數數。二者共同印證了李約瑟關于數數、加法及乘法發展規律的論述。“由數起”階段的記數范圍應主要集中于個、十位數，超出時仍用十與一的積畫表示，后期應出現過在十個十上加圈的分群計數模式，為數字百的出現準備了條件。

圖3 甲骨文中積畫的十至四十

(五)文字的兩種屬性

文字學家們對文字產生前的圖形符號稱謂很多，如圖畫、文字畫等，其實可以簡單地稱之為形符，表示它們是形狀相對固定的符號。那么形符具備什么樣的屬性才能演化成文字呢？綜合考慮，形符必須具備兩種基本屬性才能成為文字。一是可讀性，即形符首先要完成與語言的結合，有特定讀音，具備音、形、意三要素才能成為文字，這時它才脫離圖形范疇。結合前文，形符只是以形表意、語言只是以音表意。二是公眾性，在結合后形符還要被用于公共事務之中，被公眾認知和使用才能成為社會治理和公眾交流的工具。不可否認，文字的發展有一定自由度，尤其在其起源階段，人們可以隨意創造形符，但要讓公眾認知和使用就必須經由權威的方式來收集整理、規范發布或率先使用，這是文字由小范圍使用向大范圍推廣的必經程序，在文字發展的關鍵期更應如此。如計算機信息技術中的GB18030—2005(《信息技術中文編碼字符集》)，秦統一時的《倉頡》等，都是以權威的方式規范文字。所以，初造書契是必然事件，它是文字的兩種屬性在刻劃記事中結合的開端。

(六)河圖所起的作用及其內涵

那么在書契之前文字的這兩種屬性又是如何發展的呢？筆者認為：可讀性首先在積畫數字中形成，這由數字的抽象性和重要性決定。抽象性：演化為象形文字并有原形可對照的形符，見到形符就能明白其含義，讀音對于表達這類形符不是必需的，所以音與形的結合不會從這類形符開始；數是抽象的，本無原形，為表示數而引入的原形與數本身并非同一概念，必需標識出來，用語音來標識最為方便，這樣就形成了有讀音的數字。重要性：人們在進行物質分配與交換時，首先需要度量物質的大小多少，這時就必須用到數的概念。由于人類最初的社會交往都是基于物質分配和交換的，所以數是人類社會交往的基石，記數法也就成為人類社會的第一標準。這已從當今世界語言、文字遠未統一，而十進位制卻早已普及得到驗證，這也是數字先于其它文字產生的原因。

公眾性首先是以河圖來實現的。雖然已經有了刻劃數字，但在青銅器普及前，刻劃數字不能大范圍傳播并用于公眾交流和社會治理之中，而社會的發展又急需將數的概念用于公眾交流及社會治理中，于是就出現了結繩記事。“及神農氏結繩為治而統其事”說明結繩記事從誕生開始就擔負了“統”與“治”的功能，即公眾性，但結繩記事也需要標準和規范，河圖就是作為標準或規范出現的。它與GB 18030-2005、《倉頡》類似，出現的目的是為了讓公眾認知和使用一至十、以及數數的計算方法。但由于結繩記事的優勢非常片面，刻劃數字必然伴隨河圖傳播，河圖的出現會促使刻劃記事的使用范圍擴大、形符的數量增多，這為十進位制及文字的進一步發展奠定了基礎。所以，河圖的內涵只是一至十的順序排列，其中的數無組合關系。朱熹、蔡元定認為河圖為“天地之數”的結論是正確的。

四、“大備”階段，數的發展狀況及洛書的內涵

(一)“大備”階段，數的發展狀況

對于數在“大備”階段的發展，《世本》載有黃帝的史官“隸首作數”[14]。《河圖、洛書的傳承途徑考》證明《漢書·五行志》中劉歆(公元前50—公元23年)對河圖、洛書的解讀似是而非，因為他解讀的主要成分：八卦與河圖、洛書與《洪范》的關系，是假的，但有一定真實成分。如河圖、八卦都在一至十的范圍內，洛書與《洪范》都與一至九相關。人們對其中“禹治洪水，賜洛書”也基本認同，即認可洛書出自大禹時代，這個時代也屬于數的“大備”階段。筆者認為，隸首創造了數字“百”，洛書是伴隨著數字“千”產生的。理由如下。

習慣。到百這一數量級時，逐一計數和分群計數仍能滿足記數需求，但已經很吃力了；到千時這種方式所存在的費時、易錯等弊病則表現得非常突出，到了不得不改變的程度。

數字百出現后，才具備使用進位規則的條件。在文字學上，積畫的個位數字是算具的簡單象形，積畫的十位數字與算具間既有象形成分，也有會意成分，而原始的數字百卻是純粹的象意文字。定義數字百時人們才走出以象形方式造字的思維局限，為定義千和萬準備了條件(注：這里用唐蘭的三書體系，即象形、象意與形聲表述文字的基本構造方式)。在數學上，伴隨數字百才產生數位(以下簡稱位)概念和遞推思想，原始的十與一間是自然的干支關系而不具備位的思想；數字百“十個十”的定義才確立十的基數地位、形成位的概念，甲骨文中位和值是寫在一起的，如圖1中的30000由萬與三合成，文字學上稱這種現象為“合書”。唐蘭認為合書是形成形聲字的基礎[15]，位間用有、又連接，這是位值制的雛形，經過漫長的多次變革才形成今天的位值制。遞推是位間關系的紐帶，表現在數名定義上，千的定義十百，萬的定義十千，都是從百的定義十十遞推而來。可見數字百承前啟后，有了它才可能產生進位思想和進位規則。

(二)洛書的內涵

在正確解讀出洛書中數的組合關系后，將其與加法進位規則集比較可知，洛書中數的組合是原初形態的加法進位規則集，洛書確為具有“大衍”功能的“大衍之數”。

1.洛書中數的組合關系。據太乙九宮占盤天盤中“君”與“百姓”、“將”與“相”的組合關系[16]得到其中的數字組合關系應是1+9、2+8、3+7、4+6。對此，彝古文《青線、紅線與二十四節氣》中關于洛書的描述“天一與天九,在宇宙的南、北兩方，管理著這兩門，合起來一共是十，人們稱它為老陽。天三與天七,在宇宙的東、西兩方,管理著這兩門，合起來一共是十，人們稱它為少陽。地二與地八，在宇宙的東北、西南兩方，管理著這兩門，合起來一共是十，人們稱它為老陰。地四與地六,在宇宙的西北、東南兩方,管理著這兩門，合起來一共是十，人們稱它為少陰。天五生成宇宙,管理著中央，兩個五加起來也是十，福祿不斷灑滿宇宙之間”[17]加以印證并補充了5+5，所以洛書是用相對表示相加，五與自身相對故只出現了一次，其中數的組合關系為1+9、2+8、3+7、4+6、5+5；它們的和為五十，與“大衍之數”的值相同。

2.洛書中數的組合與加法進位規則集的對比。對于這種組合的功能，《珠算教程》給出了兩種常用的珠算加減法：傳統口訣式加減法和湊五補十加減法。湊五補十加減法中的進位規則為補十規則，即1+9、2+8、3+7、4+6、5+5與洛書一致。口訣式加減法中的進位規則有進十加口訣及破五進十加口訣：進十加口訣因區分加數和被加數的位置而由洛書的五條擴展為九條，5+5與“五去五進一”對應，余下四條分別對應“進十加”口訣中的兩條，如1+9對應“一去九進一”和“九去一進一”；破五進十加口訣是因為算盤用梁上的一個算珠表示數量五而對進十加口訣作出變通生成的新規則[18]。李約瑟據《孫子算經》及《夏候陽算經》證明算籌中已經使用了以一代五的方式[4]4，可見以一代五方式很早就出現了。

也有不使用以一代五方式的加法進位規則。《中國數學史大系》中有一個例子：羌族老人用黃豆、玉米、大白豆、洋芋數量分別表示個、十、百、千位上的數量做加法，被加數是3456，加數是2138，把代表相同位的東西放在一起數數量，因只有黃豆數量超過10，他就用一顆玉米換出十顆黃豆，得到結果5594[6]140。這里不考慮加數與被加數位置關系也不使用以一代五方式，選取黃豆的數組合是洛書的組合之一，進位規則與洛書處于同一發展水平。

綜上，洛書中數的組合與羌族老人使用的進位規則一致，是原初形態的加法進位規則集。之后的進位規則集，因算具出現了以一代五方式、并區分加數和被加數的位置關系而有所發展，但實質仍然是洛書中的數組合。它們就是正整數范圍內“滿十進一”的十進制規則的全集，為突顯其功用和產生時間而稱其為加法進位規則集，這就是洛書的內涵。進位規則是處理兩數相加有進位時的位間關系的，并不處理沒有進位及進位后余下的數，珠算中用口訣“一上一、二上二、…………九上九”來處理，這是河圖對應的數數方式。所以洛書的出現才標志著加法的產生，加法相對于數數在便捷性、運算速度及記數范圍上都有質的飛躍，洛書確是具有“大衍”功能的“大衍之數”。

3.“其用四十有九”的含義。對此，《漢書·律歷志》還有如下記載：

其數以易大衍之數五十，其用四十九，成陽六爻，得周流六虛之象也。夫推歷生律制器，規圓矩方，權重衡平，準繩嘉量，探賾索隱，鉤深至遠，莫不用焉。度長短者不失毫厘，量多少者不失圭撮，權輕重者不失黍累。紀于一，協于十，長于百，大于千，衍于萬，其法在算術。

“大于千，衍于萬，其法在算術”印證了上文的部分論斷。據此可以推斷出“其用四十有九”的含義應是，“洛出書”之后一段時間內記數范圍止于萬位，這時做加法，個、十、百、千位考慮進位各用十個算具，萬位不進位故只需九個算具。《漢書·律歷志》還載有劉歆對“大衍之數”的解讀:“是故元始有象一也；春秋二也；三統三也；四時四也；合而為十，成五體。以五乘十，大衍之數也。而道據其一，其余四十九，所當用也，故蓍以為數。”[7]《律歷志》這也是一種真假參半的刻意曲解。另《后漢書·律歷志》載有“其后劉歆研機極深，驗之春秋，參以易道，以河圖帝覽嬉、洛書乾曜度推廣九道”[19]，證明劉歆針對河圖、洛書有一系列精心策劃的造假行為，這是產生河圖、洛書真實性問題的根本原因。

五、結語

綜上，河圖、洛書分別是《易·系辭》中的“天地之數”和“大衍之數”。河圖的內涵是一至十的順序排列，洛書的內涵是加法進位規則集，二者承載了正整數從一至萬、計算方法從數數到加法的發展歷程，這樣就確切展示了河圖、洛書最為基礎與核心的內涵，證明河圖、洛書不是神話和傳說，而是具有深厚科學內涵的文明成果。河圖、洛書的偉大在于其基礎性和根源性。大道至簡，人類最偉大的發明應該就是數的發明。八卦與河圖是文字和數學的雙源頭，洛書的出現標志著文明發展走出了原始狀態，八卦與河圖、洛書承載了中華文明最為艱難的起源過程。厘清劉歆針對河圖、洛書的造假行為，也為全面破解劉歆文獻造假問題提供了切入點。

全面梳理人類文明起源和傳播過程，或許還能證明八卦與河圖、洛書為人類文明的總根源。在埃及學、亞述學類著作中有數的其他起源，但這類學說只有200年左右，故這類著作很晚產生，這些起源途徑來歷虛幻，也可能是臆造的。“公元595年，印度發明了十進制”[20](注：應為十進位制)，表明西方學者認為十進位制源自印度。“820年，阿拉伯阿爾·花剌子模發表了《印度計數算法》，使西歐熟悉了十進位制”[21]，十進位制經印度、阿拉伯世界傳入西方眾所周知。計算機技術中使用二、八及十六進位制，但用0和1表示的二進位制1679年才產生。有0才有進位制理論，羅素在《數理哲學導論》中稱：“說到0，這是更加晚近加入的，希臘人和羅馬人沒有這個數字。”[22]有人認為0基于道教的“虛”，產生于中國，但佛教也有類似的“空”，目前0產生于印度的證據較充分。0用有形的符號表示無形的空位，它的形成是人類抽象思維的又一次大跨越，大概產生于位和進位概念之后，且印度數字沒有積畫特征故不是最原始的數字，印度記數法應是在河圖、洛書基礎上進一步發展的。可見早期記數方法還有許多值得深入研究的地方，深入研究應能準確、快捷地找到早期文明的真實傳播軌跡，區分真、假早期文明史，或許還能證明八卦與河圖、洛書為人類文明的總根源。