隨機謠言傳播模型的建立與動態分析

石星星， 葉海平

(東華大學 理學院， 上海 201620)

謠言作為一種典型的社會現象，其傳播手段、傳播途徑不斷變化。隨著科技的進步和互聯網的快速發展，人們獲取信息的途徑也發生了巨大的變化。一個事件的發生，幾分鐘內就可能獲得大量人的關注和傳播。這使人們能及時地獲取大量的信息，但對謠言的傳播也產生巨大的影響。例如，2011年的“搶鹽事件”，2012年的“世界末日”引起的搶購熱，“肉毒桿菌”事件造成企業近200億的營業損失，以及“6翅膀8腿怪雞”的謠言讓人聞雞變色。此類謠言不僅造成了一定的社會恐慌，也對企業和個人產生很大的影響，因此研究謠言傳播有較大的現實意義。

謠言在人群中的傳播擴散與病毒的傳播相似，因此現有的謠言模型大多借鑒了傳染病模型，但是，鑒于描述謠言實際傳播過程的增長和衰變的原理及假設條件的不同，有很多種不同的建模方法。在經典的Daley-kendall謠言傳播模型[1]中，Daley等第一次將模型中的個體分為3類：未聽過謠言者(Ignorants)、傳播謠言者(Spreads)以及不傳播謠言者(Stiflers)，并類比Kermack-McKendrick 傳染病的討論方法發展了隨機謠言傳播模型(D-K模型)。Maki等[2]認為謠言在傳播者和其他人之間的傳播是雙向的，因此引入Maki-Thompson模型來描述基于馬爾可夫鏈的謠言傳播。

隨著研究的深入，由于謠言傳播的途徑及受影響因素與傳染病的傳播存在差異，研究者考慮了人們第一次聽到謠言時的心理反應、個人的受教育程度，以及外界干預(政府、媒體等)對謠言傳播的影響，從而建立了不同的謠言傳播模型。對于常微分方程模型，陳華[3]討論了一類具有媒體播報效應的謠言傳播模型，通過對該模型的穩定性分析表明媒體報道在謠言傳播中的影響。文獻[4]根據人們對謠言的不同態度進行分析，建立了SHIR模型，并討論了該模型在平衡點處的穩定性。Zhao等[5]根據已知謠言者的不同行為，在偏微分方程的基礎上提出了一種新的SIS謠言傳播模型，討論了該模型解的存在唯一性，并分析了解的穩定性。文獻[6]分別對有年齡結構和無年齡結構下的謠言傳播模型進行討論。

Zanette[7]研究了交互規則對謠言傳播效率和可信度的影響，把謠言傳播放到社交網絡中進行討論分析。文獻[8]在SIR模型的基礎上，引入噪聲干擾，利用隨機微分方程討論均勻網絡和異質網絡的謠言擴散動力學。一些學者認為謠言的傳播具有潛伏期，而且對于一個社交圈來說并不是固定不變的，因此對這些情況研究建立了SCIR模型，并做出穩定性分析[9]。

傳染病模型的研究[10-13]表明，環境噪聲對其傳播有很大的影響，那么類似的環境噪聲對謠言的傳播也存在影響。Jia等[14]根據文獻[15]的研究，在謠言傳播模型中引入白噪聲，一種直接與S(t)和I(t)成比例的隨機擾動，建立了如下模型：

1 隨機謠言傳播模型的建立

文獻[18]研究了謠言傳播的確定性模型為

R(t))-μS(t)

式中：I(t)為謠言未知者；S(t)為謠言傳播者；R(t)為謠言沉默者, 個體以常數A進入該群體并成為未知者；μ、β分別為遷入率和傳播率；τ為未知者從第一次聽到謠言到傳播謠言的潛伏期；γ為沉默率, 即謠言傳播者與謠言傳播者或沉默者接觸后成為沉默者的概率.

根據Laarabi等[18]的建模思想，本文假設其中未聽過謠言者從第一次聽到謠言到傳播謠言的潛伏期τ=0，并加入遺忘機制建立SIRS謠言傳播模型。在本文的研究中將模型中的人群分為以下3類：S(t)為從未聽過謠言者，即謠言易感者；I(t)為聽過謠言并且傳播謠言者，即謠言傳播者；R(t)為聽過謠言但不傳播謠言者，即謠言免疫者。

由于現實中人行為的復雜性及人際關系的多變性，一個人的社交圈并不是恒定不變的，本研究假設個體以一定概率B進入該社交圈并成為謠言易感者，每類人群以概率μi(i=1, 2, 3)移出該類人群。當謠言易感者與謠言傳播者接觸，謠言易感者變為謠言傳播者的概率為β。當謠言傳播者與謠言傳播者以及謠言免疫者接觸，經過信息對比和綜合判斷，謠言傳播者變為謠言免疫者的概率為γ。由于時間關系和新謠言的傳播，謠言免疫者遺忘此謠言變為謠言易感者的概率為δ。

綜上可以建立一個確定性的SIRS微分方程模型如式(1)所示。

dS(t)=(B-βS(t)I(t)-μS(t)+δR(t))dt

dI(t)=(βS(t)I(t))-γI(t)(I(t)+R(t))-

μI(t))dt

dR(t)=(γI(t)(I(t)+R(t))-(μ+δ)R(t))dt

(1)

式中：B,β,γ,δ,μ都是正數；S(0)>0,I(0)>0,R(0)>0。

該模型的基本再生數為

dS(t)=(B-βS(t)I(t)-μS(t)+

δR(t))dt+σ1S(t)dB1(t)

dI(t)=(βS(t)I(t)-γI(t)(I(t)+R(t))-

μI(t))dt+σ2I(t)dB2(t)

dR(t)=(γI(t)(I(t)+R(t))-(μ+δ)R(t))dt+

σ3R(t)dB3(t)

(2)

式中：B,β,γ,δ,μ都是正數；S(0)>0,I(0)>0,R(0)>0,而Bi(0)=0。

SIRS謠言傳播模型與目前廣泛研究的傳染病模型有著關鍵性區別，其中最本質的是謠言在傳播者與社交圈中的其他人之間的傳播是雙向的。在傳染病模型[20]中

dI(t)=βS(t)I(t)-(μ+γ)I(t)dt,
dR(t)=γI(t)-(μ+δ)R(t)dt

其中：β為傳播率；μ為死亡率；γ為恢復率；δ為非免疫系數。謠言傳播模型中dI(t), dR(t)多了非線性項γI(t)(I(t)+R(t))，這也使得后面模型的處理不能直接用常規的方法，很大程度上加大了討論難度。

本文定義微分算子L，其與下列n維隨機微分等式相關。

dx(t)=f(x(t),t)dt+g(x(t),t)dB(t),t≥t0

其中：隨機過程x(t)∈Rn；f(t,x(t))是定義在[t0, +∞)×Rn上的n維函數；g(t,x(t)) 是一個n×m矩陣，f與g關于x滿足局部李普希茨條件，令函數V∈C2, 1(Rn×R+;R)，則微分算子L作用于V函數有

(3)

dV(x(t),t)=LV(x(t),t)dt+
Vx(x(t),t)g(x(t),t)dB(t)

(4)

2 全局正解的存在唯一性

(5)

τk=inf{t∈[0,τe)|S(t)?(1/k,k)
或I(t)?(1/k,k) 或R(τ)?(1/k,k)}

假設式(5)結論不成立，則存在T>0和ε∈(0,1)使得

P(τ∞ε

即存在整數k1≥k0，使得當k≥k1時

(6)

構造Lyapunov函數

(7)

其中：a,b是一個正數。由于

因此式(7)為非負函數。

當t∈[0,T]和k>k1時,根據式(4)，兩邊求積分再取期望

(8)

其中

K+(aβ-μ)I+(bγ-μ)R

LV(S,I,R)≤K

(9)

K是一個大于零的常數。將式(9)代入式(8)兩邊求積分再去期望有

EV(S(t∧τk),I(t∧τk),R(t∧τk))≤V(S(0),
I(0),R(0))+EK(t∧τk)

(10)

EV(S(τk∧T),I(τk∧T),R(τk∧T))≤
V(S(0),I(0),R(0))+KT

(11)

又由式(10)和(11)得

V(S(0),I(0),R(0))+KT≥

E(ΙΩk(ω)V(S(τk,ω),I(τk,ω),R(τk,ω))≥

其中ΙΩk是Ωk上的示性函數。令k→∞，則有

∞>V(S(0),I(0),R(0))+KT=∞

因此可得τ∞=∞幾乎必然成立，即S(t),I(t),R(t)不會在有限的時間內爆炸，則定理1得證。

3 隨機謠言傳播模型在邊界平衡點附近解的漸近性質

(12)

其中：

其中X∈R,Y>0,Z>0。考慮如下Lyapunov函數：

V(X,Y,Z)=(X+Y+Z)2+C1X2+C2(Y+Z)

其中C1,C2是一個正常數，會在后面給出。根據式(3)可得

-2μX2-2μY2-2μZ2-4μXY-4μXZ-4μYZ+2C1(-μX2-βX2Y-

將上式代入式(4)，并對等式兩邊取積分后求期望有

由此可得

故有

即定理2得證。

4 隨機謠言傳播模型在正平衡點附近解的漸近性質

其中M=β(Bγ+μ2)+μδ(β+γ)。下面將討論模型(2)在E*附近解的漸近性質。

(13)

證明：首先構造V(S,I,R)函數

V(S,I,R)=v1+C2v2+C3v3

(14)

其中：

v1=(S-S*+I-I*+R-R*)2+C1(S-S*)2

-2μ(S-S*)2-2μ(I-I*)2-2μ(R-R*)2-4μ(S-S*)(I-I*)+

-2μ(S-S*)2-2μ(I-I*)2-2μ(R-R*)2-4μ(S-S*)(I-I*)+

(15)

(16)

(17)

整理式(15)～(17)可得

LV(S,I,R)=Lv1+C2Lv2+C3Lv3≤

-2μ(S-S*)2+(-2μ-C2γ+C3γ)(I-I*)2-

2μ(R-R*)2+(-4μ+2C1δ)(S-S*)(R-R*)+

(-4μ+C2β-2C1βS*)(S-S*)(I-I*)+

觀察上式，令：

則有-4μ+2C1δ=0，-4μ+C2β-2C1βS*=0。那么式(18)可以轉化為

LV(S,I,R)≤-2μ(S-S*)2-2μ(I-I*)2-2μ(R-R*)2-4μ(I-I*)(R-R*)+

-2μ(S-S*)2-2μ(I-I*)2-2μ(R-R*)2+4μI*R+4μIR*+

由不等式(a+b)2≤2a2+2b2可得

令

(18)

將式(18)代入式(4)，兩邊求積分并取期望有

0≤EV(S,I,R)=

V(S(0),I(0),R(0))+M1t

則有

因此可得

即定理3得證。

5 數值模擬

根據模型(1)和模型(2)的實際意義取不同參數，用Matlab軟件進行數值模擬[22-23]，通過模擬結果更直觀地論證以上結論。這里用S1(t),I1(t),R1(t)表示模型(1)中人群，用S2(t),I2(t),R2(t)表示模型(2)中人群，并取步長為Δ=10-3。

例1:設定模型(1)和模型(2)初值S1(0)=S2(0)=0.8,I1(0)=I2(0)=0.4,R1(0)=R2(0)=0.2，各參數為B=0.4,μ=0.28,β=0.16,δ=0.1,γ=0.16,σ1=0.04,σ2=0.1,σ3=0.1。計算可得R0=0.8163<1，則根據定理2可知模型(2)的數值解在模型(1)邊界平衡點附近徘徊，如圖1所示

例2:設定模型(1)和模型(2)初值S1(0)=S2(0)=0.8,I1(0)=I2(0)=0.4,R1(0)=R2(0)=0.2。并設各個參數為B=0.8,μ=0.25,β=0.32,δ=0.2,γ=0.14,σ1=0.04,σ2=0.05,σ3=0.05。計算可得R0=4.096>1，則根據定理3可知模型(2)的數值解在模型(1)的正平衡點的附近徘徊，如圖2所示

例3：在例2設置的各參數的基礎上，改變隨機因素干擾強度σi(i=1,2,3)的值，分別設置干擾強度(a)σ1=0.10,σ2=σ3=0.16; (b)σ1=0.05,σ2=σ3=0.008; (c)σ1=0.025,σ2=σ3=0.04;(d)σ1=0.0125,σ2=σ3=0.02。由圖3可知，隨機因素干擾強度對謠言傳播的影響，干擾強度越大對謠言傳播的干擾越大，干擾強度趨于0，則模型(2)的數值解曲線趨于平滑。

圖1 邊界平衡點附近解的漸近性Fig.1 Trajectories of the solutions around the disease-free equilibrium

圖2 正平衡點附近解的漸近性Fig.2 Trajectories of the solutions around the endemic equilibrium

(a) σ1=0.10, σ2=σ3=0.16

(b) σ1=0.05, σ2=σ3=0.008

(c) σ1=0.025, σ2=σ3=0.04

(d) σ1=0.0125, σ2=σ3=0.02

6 結 語

本文將人群分為3類，建立了SIRS隨機謠言傳播模型，并證明了其全局正解的存在唯一性。利用李雅普諾夫方法討論了該模型在無謠言平衡點和謠言平衡點附近解的漸近性質，對謠言的傳播做了更詳細深入的研究。用Matlab進行數值模擬，將上述討論用圖像更清晰直觀地表現出來。此外，研究中通過設置不同的隨機因素干擾強度來表現隨機因素對模型的影響。結合數值模擬可以清晰地觀察到隨機因素對謠言傳播的影響，隨機因素干擾強度越大則對謠言傳播的干擾就越大，而干擾強度趨于0，對謠言傳播的影響也趨于0。