領悟統計思想　正確估算總體

徐向榮

我們從總體中抽取樣本是為了認識總體，通過抽樣調查了解總體的情況。用樣本估計總體是一種重要的數學思想。通過對數據的分析，根據統計結果，我們可以做出合理的判斷和預測。

一、用樣本的平均數和中位數分析總體

例1 下表是隨機抽取的某公司部分員工的月收入資料。

（1）請計算以上樣本的平均數和中位數：

（2）甲、乙兩人分別用樣本平均數和中位數來估計推斷公司全體員工月收入水平，請你寫出甲、乙兩人的推斷結論;

（3）指出誰的推斷比較科學合理，能真實地反映公司全體員工月收入水平，并說出另一個人的推斷依據不能真實反映公司全體員工月收入水平的原因。

【分析】（1）根據平均數、中位數的定義即可求解;

（2）甲、乙兩人分別用樣本平均數和中位數來估計推斷公司全體員工月收入水平，根據（1）中的結論可直接寫出;

（3）乙的推斷比較科學合理，用平均數來推斷公司員工的月收入易受極端值影響。

解：（1）樣本平均數=1/26×（45000+18000+10000+5500×3+5000×6+3400+3000×11+2000×2）=6150（元），中位數：3400+3000/2=3200（元）。

（2）甲：由樣本平均數6150元，估計全體員工月平均收入大約為6150元。乙：由樣本中位數為3200元，估計全體員工中大約有一半的員工月收入超過3200元，有一半的員工月收入不足3200元。

（3）乙的推斷比較科學合理，用平均數來推斷公司員工的月收入易受極端值45000的影響，這里只有3個工人的月收入超過平均水平。

二、用樣本的頻數分布狀況分析總體

例2 為了掌握八年級數學考試卷的命題質量與難度系數，命題組教師赴外地選取一個水平相當的八年級班級進行預測，將考試成績分布情況進行處理分析，制成頻數分布表如下（成績得分均為整數）：

根據表中提供的信息解答下列問題：

（1）頻數分布表中的a=__，b=__，C=__;

（2）已知全區八年級共有200個班（平均每班40人），用這份試卷檢測，108分及以上為優秀，預計優秀的人數約為

，72分及以上為及格，預計及格的人數約為__，及格的百分比約為__：

（3）補充完整頻數分布直方圖。

某班數學成縮分布盲方圖

【分析】（1）由第一組的頻數和頻率，結合頻率=頻數/總數，可求出總數，繼而可分別得出a、b、c的值;

（2）首先明確樣本中優秀的頻率、及格的頻率和及格的百分比，然后利用樣本估計總體的思想，根據頻率=頻數/總數的關系分別求出總體中優秀的人數、及格的人數、及格的百分比;

（3）根據（1）中a、b的值即可補全圖形。

解：（1）∵被調查的總人數=2÷0.05=40（人），

∴a=40×0.2=8，b=40-（2+4+8+10+6）=10，c=10÷40=0.25。

（2）預計優秀的人數約為200×0.15×40=1200（人），

預計及格的人數約為200×（0.2+0.25+0.25+0.15）×40=6800（人），

及格的百分比約為（0.2+0.25+0.25+0.15）×100%=85%。

（3）補全頻數分布直方圖如下：

在統計里，我們通常從總體中抽取一個樣本，通過研究樣本的某些特性（如平均數、眾數等）來估計總體的相應特性，這種用樣本估計總體的方法是行之有效的，有一定的科學性。但同時我們需要注意的是：為了獲取較為準確的調查結果，抽樣時要注意樣本的代表性和廣泛性。