細(xì)辨差異求概率

姜華

我們可以通過(guò)列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法不重復(fù)、不遺漏地列出所有等可能發(fā)生的結(jié)果。概率問(wèn)題看似很簡(jiǎn)單，其實(shí)并非如此，如果不認(rèn)真審題，稍不留神就會(huì)出錯(cuò)。

易錯(cuò)警示1：對(duì)基本事件的理解有誤

例1 大雙、小雙的媽媽申購(gòu)到一張進(jìn)博會(huì)的門(mén)票，兄弟倆決定分別用標(biāo)有數(shù)字且除數(shù)字以外沒(méi)有其他任何區(qū)別的小球，設(shè)計(jì)這樣一種游戲確定誰(shuí)去：口袋中放著分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3的三個(gè)小球，且已攪勻，大雙、小雙依次蒙上眼睛有放回地摸1次，大雙摸到偶數(shù)就記2分，摸到奇數(shù)記0分;小雙摸到奇數(shù)就記1分，摸到偶數(shù)記0分，積分多的就得到門(mén)票（若積分相同，則重復(fù)第二次）。請(qǐng)問(wèn)這個(gè)游戲方案對(duì)雙方是否公平？

【錯(cuò)解】P（大雙摸到偶數(shù)）=1/3，積分為1/3×2=2/3;P（小雙摸到奇數(shù)）=2/3，積分為2/3×1=2/3。

所以這個(gè)游戲方案對(duì)雙方都公平。

【分析】可能出現(xiàn)的所有等可能結(jié)果列樹(shù)狀圖如下：

【正解】這個(gè)游戲方案不公平。P（大雙去）=1/3，P（小雙去）=4/9，所以這個(gè)游戲方案對(duì)小雙有利。

易錯(cuò)警示2：未能區(qū)分放回與不放回

例2 一個(gè)不透明的盒子中放入四張卡片，每張卡片上都寫(xiě)有一個(gè)數(shù)字，分別是-2，-1，0，1，卡片除數(shù)字不同外其他均相同。從中隨機(jī)抽取兩張卡片，抽取的兩張卡片上數(shù)字之積為負(fù)數(shù)的概率是（ ）。

A.1/4 B.1/3 C.1/2 D.3/4

【錯(cuò)解】列表如下圖，故所抽取兩數(shù)的積為負(fù)數(shù)的概率為4/16=1/4，選A。

【分析】從中隨機(jī)抽取兩張卡片，相當(dāng)于先后抽兩次，第一次抽過(guò)后不放回，再抽第二次。需要注意區(qū)分的是：抽卡片、撲克牌，摸袋中球等要看清題目條件的敘述是“有放回”還是“無(wú)放回”。對(duì)于“無(wú)放回”，一是題目條件中交代是無(wú)放回，二是同時(shí)抽兩張暗示無(wú)放回;“擲骰子”“拋硬幣”“搖轉(zhuǎn)盤(pán)”只有一種，第一次出現(xiàn)的，第二次還有可能出現(xiàn)，相當(dāng)于“抽”“摸”中的有放回。

【正解】列表如圖，故所抽取兩數(shù)的積為負(fù)數(shù)的概率為4/12=1/3。選B。

易錯(cuò)警示3：思考不周有遺漏

例3 某單位A、B、C、D四人隨機(jī)分成兩組赴北京、上海學(xué)習(xí)，每組兩人。求A、B分在同一組的概率。

【錯(cuò)解】根據(jù)題意畫(huà)樹(shù)狀圖得：

共有12種等可能結(jié)果，A、B分在同一組的結(jié)果有兩種，因此P（A、B分在同一組）=2/12=1/6。

【分析】樹(shù)狀圖畫(huà)得不錯(cuò)，共有12種等可能結(jié)果也不錯(cuò)，錯(cuò)在考慮問(wèn)題不細(xì)致。樹(shù)狀圖中，當(dāng)C、D分在同一組時(shí)，意味著A、B分在另一組，A、B在另一組也是分在同一組，因此錯(cuò)解遺漏了這兩種等可能結(jié)果。

【正解】根據(jù)題意畫(huà)樹(shù)狀圖得：

由樹(shù)狀圖共有12種等可能結(jié)果，列表如下：

由表格中的12種方案知：A、B分在同一組有4種方案，分別是方案1、4、9、12，

所以P（A、B分在同一組）=4/12=1/3。

【點(diǎn)評(píng)】我們根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖后，切不可急不可耐地去求概率，應(yīng)放慢腳步，寫(xiě)出所有等可能結(jié)果，認(rèn)真看清楚題目要求，讀懂每一句話的含義，從中找出所求事件的結(jié)果數(shù)。如本題在畫(huà)樹(shù)狀圖時(shí)，不能忘記樹(shù)狀圖中沒(méi)有出現(xiàn)的A、B被分在另一組的情況。