基于計算機軟件仿真技術的可視化數學物理方程的差分解研究

王二琴，馬會芳

(太原師范學院物理系，山西 晉中 030619)

0 引言

隨著計算機技術的發展，計算機軟件和多媒體越來越多地介入我們的教學環節，也對教師、學生的計算機操作能力要求越來越高。針對數學物理方法這門課，如能熟練地使用計算機各種軟件和仿真技術，會使得推導冗長、計算嚴格的數學物理方法課程變得靈動、直觀、有趣的多。

1 數學物理方程在物理中的作用

數學物理方程[1-3]是由物理實際過程、工程、電信等具體問題出發，通過推導給出反映客觀物理量滿足隨時間、位置變換關系的一系列偏微分方程。如從18世紀初期由泰勒給出的一維波動方程，到19世紀中期得到的三類數學物理方程——三維波動方程、熱傳導方程和泊松方程；隨著時間的推移，給出更加復雜的高階方程和非線性偏微分方程等，都是基于實際的物理、工程問題求解時得到的偏微分方程[3]。數學物理方程不僅是《數學物理方法》[1,3]的中心任務，也是由普通物理(力學、熱學、電磁學、原子物理學)過渡到四大力學(理論力學、熱力學統計物理學、電動力學、量子力學)的銜接點，更是由理想情況到實際物理過程的橋梁。

對于學生來說，數學物理方法是本科階段公認比較難學的一門專業基礎課，不僅需要扎實的基礎物理學知識，還要求具有熟練的數學推導功底，對于數學物理方程的求解，還要求學生具備一定系統解決問題的能力。但這是一門重要的基礎工具課，是學習后續課程的必備知識，是考研學生的敲門磚，也是各個學科領域進行基礎研究的重要工具。雖難卻有著重要的作用，迫使學生們不敢掉以輕心，迎難而上。

從教學經歷中談以下幾點想法，一方面學習本課程的困難有：計算量煩瑣冗長容易引起學生乏味，前期物理知識學習不透徹使得學生知其一不知其二，高數知識不扎實導致學習中困難重重，計算結果復雜和基礎知識不通透破壞學生物理圖像的建立，從而導致學生學習中力不從心，問題的集聚最終導致學習興趣的降低。另一方面傳統教學的特點有：大量嚴格的推導和不熟悉知識的介入引起教與學的視覺疲憊，僅憑教師的描述和物理圖像未能直觀顯現容易擾亂學生學習思路，從而削弱學習動力。這些問題迫使教師改變教學思路，借助于新的技術手段給出直觀形象的案例幫助學生建立清晰、明了的知識構架。

2 計算機仿真的廣泛應用

計算機不僅廣泛地應用于人們生活的各個領域，而且越來越多地滲入科研、教學的各個環節。科學研究中可采用蒙特卡洛方法、迭代法、差分法等，基于計算機軟件[4-7]給出理論上不可求或不好解的方程數值解；教學上教育工作者越來越多地結合計算機完成課前、課中和課后的各個環節，將更多不易理解的圖像、過程等采用計算機仿真呈現。

仿真[8]是借助于計算機給出系統中發生的本質過程或直觀圖像，是一種重要的研究手段，可用于物理、工程、生態、管理等各方面。相比于實際過程的模擬，具有成本小、危險系數低、方便、靈活、經濟等特點。仿真在本科物理教學中也起著越來越重要的作用，如力學中機械振動、機械波的模擬，特別是借助于波的疊加原理給出波的干涉、駐波、多普勒效應等過程的仿真；而在學習光學的過程中，有大量的現象不能簡單通過傳統教學直觀呈現，如楊氏雙縫干涉、劈尖干涉、單縫夫瑯禾費衍射、衍射光柵等，借助于計算機仿真，能清楚地將推導結果與圖像對應起來，從而幫助學生認識物理圖像，建構起相關知識框架。

3 可視化的數理方程定解問題

數學物理方程作為課程的重要知識點，其計算機仿真結果將在教學和應用中起到非常重要的作用。本研究利用中心差分法[9]，將數學物理定解問題的方程和邊界條件近似地用差分方程表示，從而將微分方程變為代數方程，借助于Matlab[4-5]或Fortran[6]和Origin[7]軟件實現定解問題的可視化解。具體解決的問題有一維波動方程和熱傳導方程。

3.1 一維波動方程的定解問題

波動過程作為最常見且基本的物理問題，給出一根長為l的均勻弦，兩端固定，作不受外力的自由微小橫振動。為了簡單清楚地給出波的產生原因和傳播特點，接下來將該定解問題從初始位移為已知函數而初始速度為零及初始速度為已知函數而初始位移為零兩種情形出發，給出可視化的差分解。

3.1.1 初始位移激發的行波

波動激發機制有很多種，如初始位移、初始速度及外力的作用等，而波的傳播范圍也分為無限長、半無界及有限長不同的情形，首先給出初始位移在有限長弦上激發的波動問題。其定解問題可描述為：

(1)

若滿足初始速度ψ(x)為零，而初始位移φ(x)為：

(2)

則利用分離變量法[1-2]求得的精確解為：

(3)

下面求解該定解問題的數值解，借助于中心差分法[10-11]，令a=1、l=1，給出上述定解問題的差分格式：

ui,j+1=m(ui+1,j+ui-1,j)+2(1-m)ui,j-ui,j-1

(4)

其中m=(Δt/Δx)2，初始條件經化解可表示為：

(5)

基于上述給出的差分格式，將微分方程轉換為代數方程，借助于計算機仿真[12]給出數值結果。為了提高解的準確度，采用Matlab和Fortran兩種語言給出結果驗證，由于結果一致，只將差分結果和精確解對比如圖1所示。

圖1 初始位移激發一維波動的位移分布

由圖1可以清楚地看到計算結果的物理意義，在t=0時刻初始位移被平均分為兩部分，隨著時間的推移分別向左右兩側傳播，當碰到邊界，由于邊界固定產生半波損失進行反射繼續傳播并相互疊加，從而得出解的可視化結果。圖中虛線為理論精確解，而實線是差分法仿真結果，由兩種曲線的符合程度可以看出差分法在求解數學物理方程定解問題的可行性。

3.1.2 初始速度激發的行波

為了給出可視化教學[13-14]可行的適用性，接下來給出的是由初始速度在有限長弦上激發的行波，這里給出初始位移為0，初始速度為已知函數的情形。令初始速度ψ(x)滿足：

(6)

分離變量求解的精確解如下：

(7)

而差分格式與運算和第一種情況類似，只需要將初始條件改為：

ui,2=ψ(x)Δt

(8)

最終結果如圖2所示。

圖2 初始速度激發一維波動的位移分布

為了能夠展示端點的半波損失，圖2的時間間隔取為2 s，仿真結果簡單明了地展示了解的物理意義，隨著時間的推移，初始速度激發的行波逐步擴充到左右兩側，當到達邊界處由半波損失使得前面產生的波與后面激發的波疊加而給出該時刻對應的波形圖，從而可視化的結果讓學生直觀明了地看到實際物理過程。圖2上圖虛線為分離變量求得精確解，而下圖實線為差分計算仿真結果，兩曲線符合一致，說明用差分法在解題中的可行性。

3.2 一維齊次方程的熱傳導過程

有了波動過程的可視化分析結果，下面直接采用中心差分法來探究另一個主要的偏微分方程定解問題，即熱傳導過程。下面從兩個具體問題出發，有無熱源，即齊次方程和非齊次方程構成的定解問題。先從簡單情形求解。

無熱源的定解問題案例如下：

(9)

經由分離變量也可得到精確解：

(10)

接著進行計算機仿真，取a=1、l=2，而該定解問題的差分格式[15]為，

ui,j+1=m(ui+1,j+ui-1,j)+(1-2m)ui,j

(11)

其中m=Δt/(Δx)2。對于初始條件，直接設定為：ui,1=sin(πx)。

圖3 無熱源一維熱傳導溫度分布

經計算仿真，圖3給出了一維熱傳導過程中溫度隨時間和位置點的變化圖像。從中能夠清楚看到隨著時間的增加，溫度高的地方逐漸降低，而溫度低的地方溫度在升高，符合人們日常對熱傳導的認知。

3.3 一維非齊次的熱傳導過程

最后給出有熱源的一維熱傳導過程的求解。類比于前面過程，給出的定解問題為：

(12)

給出問題中參數，去a=1、l=2，利用差分法由定解問題給出差分格式為，

ui,j+1=m(ui+1,j+ui-1,j)+(1-2m)ui,j+Δt·fi,j

(13)

式中m=Δt/(Δx)2，并給出熱源的分布矩陣fi,j=3et，初始條件仍為：ui,1=sin(πx)。

圖4給出溫度隨時間和坐標點的變化二維圖像，由于有了熱源的存在，使得一維桿上的溫度隨時間推移越來越高。總之，由上述具體物理問題出發，給出差分法和精確求解的可視化結果，不僅說明差分法在求解定解問題的可行性，而且清楚直觀地展示了解的物理意義。從中讓學生構建起了數學物理方法的知識構架，也提升了學生的計算機實際操作能力，從而增加學生的學習動力。

圖4 有熱源一維熱傳導溫度分布

4 結語

文章采用差分法求解數學物理定解問題并給出可視化求解結果。為了說明差分法的可行性，一方面在一維波動方程的可視化結果展示了理論精確解與差分法的對比結果，另一方面差分法結果借助于Matlab和Fortran兩套程序相互驗證。通過波動和熱傳導過程的四個具體問題的可視化結果，不僅讓學生直觀地感受到了傳播過程，了解了其中的物理意義，而且通過學生參與仿真環節，在建模中學習新的計算方法、接觸編程和繪圖軟件，從而拓展了學生的知識面，培養了學生的計算機操作能力，激發了學生學習的興趣。