聚焦核心素養，構建生動課堂

曾敏

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學課程應倡導自主探索、動手實踐、合作交流等學習數學的方式。這些方式有助于發揮學生學習的主動性，對培養學生良好的數學思維習慣、抽象能力及交流合作能力大有裨益，從而促進學生發展，提高學生數學核心素養。

截面問題是立體幾何的典型問題。教學“正方體截面的形狀”這節課時，教師利用正方體玻璃缸、水、量杯等實驗工具開展數學探究活動，讓學生在實驗探究中以分組討論的方式開展研究性學習。教師通過問題導向、合作探究、數學實驗，引導學生逐步探究“正方體截面形狀有哪些”和“正方體截面形狀的特征”，加深對截面問題的理解，實現由“教”到“學”的轉變，從而提升學生的核心素養。

教材分析

“正方體截面的形狀”是北師大版高中數學必修2第1章“立體幾何初步”中的課題學習內容。在教學中，我們希望學生通過“正方體截面的形狀”的課題學習，體會到“如何獲得知識，比關注得到別人給予的知識更重要”，體會到“問題是思考的結果，是深入思考的開始;數學學習不僅要提高解決別人提出問題的能力，還要保持永不滿足的好奇心，大膽地發現問題、提出問題，養成問題意識和交流的習慣”，讓學生在學會數學的同時，培養數學核心素養。

學情分析

學生已經學習了“立體幾何初步”，對三維空間有初步的認識，對簡單幾何體的基本特性和直觀圖、三視圖有基本了解。對空間的點、線、面的位置關系也有了一定的理解，并初步學會用數學語言來描述和論證某些位置關系（特別是平行和垂直關系）。對直觀感知、操作確認、思辨論證和度量計算等方法有了一定的體驗。有一定的空間想象能力，初步有了推理論證和運用圖形語言進行交流的能力。

教學過程

一、創設情境，引入課題

教師播放視頻：《舌尖上的中國》（如下圖），學生觀看視頻。

師：從視頻中我們能感受到中國飲食文化的色、香、味、形。廚師們用高超的廚藝給我們展示了南瓜、蓮藕等食材的切面形狀。其實，這些食材的切面可以看作數學中幾何體的截面，那什么是截面呢？

師：用一個平面去截一個幾何體，得到的平面圖形叫作截面。換句話說，截面就是平面與幾何體表面交線圍成的封閉圖形（含內部）。

……

【思考】在教學中，教師把數學知識和實際生活緊密聯系在一起，讓學生體會數學源于生活，能激發學生的學習興趣。通過視頻的展示，體現中國文化的博大精深，學生從中體驗到生活中有各種各樣幾何體切面的形狀，從而抽象出截面概念。截面是一個平面圖形，它與幾何體緊密相聯，讓學生體會研究本節課的必要性。

二、實驗探究正方體截面的形狀

師：根據截面的定義，正方體的截面實際就是平面和正方體的表面交線圍成的封閉圖形（含內部）。那正方體截面的形狀有哪些呢？今天我們將通過實驗來探究一下。

師：如何得到正方體的截面呢？像視頻中用刀去截正方體？

生：不方便操作，很危險，也不能精確地反映截面。

師：那我們能找到一個東西替代刀的作用形成截面嗎？

（學生相互討論，有些同學說可以用水）

師：水無形又有形。水本身是無形的，但放入正方體玻璃缸就有形狀了。平靜的水面可以看作正方體的截面，通過調節水量和正方體的擺放方式，可以得到不同的截面形狀。究竟有哪些形狀？這個問題交給各組同學去體驗和探究。

【思考】生活中得到截面的方式有很多，教師明確給定實驗工具，引導學生感受用水的好處。

教師課前將學生分成4組，準備實驗道具：水、帶孔的玻璃缸、量杯，并強調分組要求。

每組學生轉動玻璃缸，積極進行操作活動，驗證自己的猜想。

生：正方體截面形狀有三角形、四邊形、五邊形、六邊形。

師：為什么截面會出現三角形、四邊形、五邊形、六邊形呢？

（師生共同討論，指出回歸截面定義）

生：當截面是三角形時，說明這個平面與正方體的3個面產生了3條交線，從而得到三角形截面。

生：當截面是四邊形時，說明這個平面與正方體的4個面產生了4條交線，從而得到四邊形截面。

師：同理，大家可以解釋五邊形和六邊形嗎？

師：正方體的截面會出現七邊形、八邊形嗎？

生：不可能，正方體最多有6個面，截面不可能有七邊形、八邊形。

【思考】教師通過觀察想象提出猜想，學生動手操作進行驗證、推理分析，讓學生經歷完整的數學探究活動過程。證明猜想的過程就是一個思維碰撞的過程，有利于學生發展分析問題、解決問題的能力。

三、實驗探究正方體截面形狀的特征

師：接下來我們對正方體的截面做進一步的探究，看看正方體截面會有哪些特征呢？當截面是三角形時，會出現哪些類別的三角形？請同學們繼續探究。

（學生進行轉動正方體玻璃模具演示活動，如下圖）

生：銳角三角形。

師：很好，那有沒有鈍角三角形、直角三角形呢？

（學生進行操作、觀察、演示活動）

生：不會出現鈍角三角形、直角三角形。

（學生利用正方體玻璃缸進行轉動操作活動，教師通過幾何畫板演示截面三角形的變化，從直觀上感受只有銳角三角形，再用余弦定理證明猜想）

師：我們探究得到截面是三角形時，這個三角形一定是銳角三角形。接下來我們看看四邊形截面又有什么特征呢？

（學生進行操作、觀察、演示活動）

生：四邊形截面可能是正方形、長方形、平行四邊形、菱形、梯形。

（學生利用正方體玻璃缸進行轉動操作活動，教師通過幾何畫板演示截面四邊形的變化，從直觀上感受平行四邊形、梯形，繼續探究截面四邊形的特征）

師：這些四邊形有什么共性呢？

生：一定有一組對邊平行。

師：大家能解釋下為什么會有這樣的共性嗎？

（學生分小組討論，教師引導學生從截面的定義出發，四邊形截面要和正方體6個面的4個面相交）

師：正方體6個面有什么位置關系？

生：3組平行。

師：6個面拿掉2個面，剩下4個面的位置關系如何？

生：一定有一組平面平行。

師：也就是截面四邊形一定有一組對邊平行，為什么？

生：由面面平行的性質可知，面面平行可推出交線與交線平行。

師：很好！四邊形截面可以是平行四邊形（兩組對邊分別平行），也可以是梯形（只有一組對邊平行）。

師：剛剛有同學發現四邊形截面中出現了等腰梯形，那有沒有可能是直角梯形呢？

（學生利用正方體玻璃缸進行轉動活動。有些同學說會出現，有些同學說不會，意見不統一。師生共同驗證。證明方法一：利用線面垂直的判定和性質加以證明。證明方法二：補形、類比思想）

師：當截面是四邊形時，我們可以探究到一定有一組對邊平行。

師：通過前面三角形、四邊形截面的研究，可以類比探究五邊形截面和六邊形截面的特征。

……

【思考】本教學環節是通過對正方體截面形狀的進一步探究，引導學生經歷觀察、嘗試、猜測、交流、推理、反思等思維過程，讓學生體會數學基礎知識、基本技能、數學思想方法和活動經驗在探究活動中的應用，培養了學生邏輯推理、直觀想象等數學素養。

四、應用拓展

在一個棱長為3的正方體內，給定3個點M、N、P（如圖），若[MB1=1，NB=2，BP=2，]試一試，如何沿著這3個點作出一個截面？

師：請每個同學在學案上畫一畫，并把結果用直尺和彩筆畫到道具上。看哪一組畫得好、畫得快，說明的理由更充分。

【思考】通過對截面問題的分析，加強學生對正方體截面形狀特征的理解，培養了學生的反思習慣，促進了學生數學活動經驗的積累。

五、課堂小結

師生共同歸納探究步驟：我們通過對正方體截面的探究，知道了對問題的探究一般要經過觀察、發現、猜想、論證這幾個過程。

師：同學們，實際上關于截面的問題，它的探索空間是廣泛的，今天我們只是探究了正方體截面的形狀。其實對正方體截面形狀的探究也為以后類比學習平面與圓錐、圓柱等幾何體的截面奠定了基礎。

教師播放視頻，展示正方體、圓柱、圓錐等幾何體的截面形狀。

師：我們用4句話來概括今天所學的內容。

正方體截面銘

水面平靜截面清，

三四五六形狀明。

正五直梯不可尋，

唯有銳角三角形。

通過本節展示課我們看到，教師教學語言簡潔準確，課堂教學重點突出，教學設計邏輯清晰，具有創新性，教學目標、重點與難點定位準確，展現了教師良好的數學專業素養。特別是在課堂教學引入、教學過程設計、教學內容處理及教學資源運用等方面都頗具特色。

1.取材新穎，滲透文化。這是一節數學實驗活動探究課，在整節課的教學設計中體現了數學來源于生活又服務生活的中心思想。通過《舌尖上的中國》視頻引入課題，把生活中鮮活的素材引入課堂教學中，賦予了課堂新的活力，具有廣泛的人文價值。

2.引導學生合作探究，培養學生獨立思考、積極探索的習慣。新課標倡導自主探索、動手實踐、合作交流等學習方式。本節課教師在不同教學環節都用心設計問題，引導學生動手實踐、自主探索、合作交流，如引導學生探索正方體的四邊形截面特征等，培養學生獨立思考、積極探索的習慣，體驗獲取知識的過程。

3.妙問誘導，關注學生思維訓練。課堂教學中許多看似不經意的啟發性問題，適時地打破原有平衡，引領學生尋找新的平衡點，不顯山不露水地揭示了問題的本質，收到了潤物細無聲的教學效果，加深了學生對問題的理解。

4.充分運用信息技術平臺，提升課堂教學效率。在教學中，教師重視運用多媒體課件、幾何畫板、實物展臺等輔助手段，把文字、聲音、圖像、動畫等多種信息高效地傳遞給學生，極大地豐富了教學信息，化難為易，化抽象為具體，化枯燥為生動，激發了學生的學習興趣，提升了課堂教學效率。

（作者單位：江西師范大學附屬中學）