利用“互聯(lián)網(wǎng)+”和雨課堂平臺(tái)解決“線性代數(shù)”中的教學(xué)難點(diǎn)

鄭 晨，張 楠，王 東

(1.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004；2.桂林電子科技大學(xué) 信息科技學(xué)院，廣西 桂林 541004)

0 引言

“互聯(lián)網(wǎng)+”在教學(xué)改革和創(chuàng)新中的應(yīng)用引起了教育領(lǐng)域的研究熱潮，而且基于“互聯(lián)網(wǎng)+”教學(xué)模式的理論研究和應(yīng)用實(shí)踐取得了一定的成果。但是，這些研究還不夠深入，大多數(shù)研究論文都集中在討論某一課程的教學(xué)框架，或者是展示某一具體課程在“互聯(lián)網(wǎng)+”教學(xué)平臺(tái)上的教學(xué)過(guò)程。研究如何突破教學(xué)難點(diǎn)的具體教學(xué)方法，從而幫助學(xué)生解決在學(xué)習(xí)中遇到的問(wèn)題的文獻(xiàn)較少。

基于“互聯(lián)網(wǎng)+”的教學(xué)模式正在推動(dòng)著教學(xué)管理和教學(xué)方式的改革和創(chuàng)新。這種現(xiàn)代教學(xué)模式不僅改變了傳統(tǒng)的教學(xué)形式，而且改變了傳統(tǒng)的教學(xué)理念。基于“互聯(lián)網(wǎng)+”的教學(xué)模式最顯著的一個(gè)特點(diǎn)是利用互聯(lián)網(wǎng)及其延伸功能和現(xiàn)代信息通信技術(shù)，通過(guò)網(wǎng)絡(luò)開(kāi)放課程(慕課，學(xué)堂在線、好大學(xué)在線等)、社交媒體(QQ、微信等)平臺(tái)、雨課堂等在線教學(xué)工具提供了多樣化的教學(xué)形式和內(nèi)容，并突破了時(shí)間和空間的限制，使學(xué)生能夠根據(jù)自己的時(shí)間安排和知識(shí)基礎(chǔ)選擇適合自己的學(xué)習(xí)內(nèi)容，為大班授課的教學(xué)形式創(chuàng)造了個(gè)性化教學(xué)的條件，從而實(shí)現(xiàn)了傳統(tǒng)教學(xué)模式難以實(shí)現(xiàn)的教學(xué)目標(biāo)[1]。

當(dāng)前“互聯(lián)網(wǎng)+”教學(xué)模式處于起步階段，對(duì)于“互聯(lián)網(wǎng)+”教學(xué)模式的理論研究和應(yīng)用實(shí)踐仍在探索之中。作為理工科最重要的理論基礎(chǔ)課程之一的“高等數(shù)學(xué)”如何利用“互聯(lián)網(wǎng)+”教學(xué)模式來(lái)提高教學(xué)質(zhì)量引起了教師們的廣泛關(guān)注，并提出了許多教學(xué)案例。

例如，鄭繼明等[2]提出將高等數(shù)學(xué)的混合式教學(xué)分為4個(gè)階段：準(zhǔn)備階段、課前導(dǎo)學(xué)階段、課中研學(xué)階段和課后拓學(xué)階段，并通過(guò)雨課堂將PPT課件及微信結(jié)合在一起，把課前、課中、課后的教學(xué)內(nèi)容放在網(wǎng)上，學(xué)生隨時(shí)查閱，以此提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。褚麗娜[3]以“定積分的幾何應(yīng)用”為例來(lái)說(shuō)明智慧課堂的構(gòu)建，討論了智慧課堂教學(xué)模式中教學(xué)活動(dòng)的3個(gè)階段：課前、課中、課后。課前階段包括上傳微課視頻“曲邊梯形面積的求法”及課件，讓學(xué)生觀看并完成課前任務(wù)。課中階段主要是講解“微元法”的基本思想等教學(xué)內(nèi)容，并與學(xué)生的互動(dòng)，解決學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到?jīng)]學(xué)懂的問(wèn)題。課后階段包括布置課后作業(yè)，學(xué)生完成作業(yè)后上傳于學(xué)習(xí)平臺(tái)，教師根據(jù)學(xué)生完成作業(yè)的情況進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和個(gè)性化輔導(dǎo)。

張茵茵等[4]以“計(jì)算機(jī)操作系統(tǒng)”課程為例探討了藍(lán)墨云班課平臺(tái)在教學(xué)中的應(yīng)用。其教學(xué)過(guò)程的3個(gè)階段：課前推送教學(xué)資源，提前學(xué)習(xí)；課堂上交流討論，深化理解；課后測(cè)試，鞏固學(xué)習(xí)。文中還介紹了如何解決“經(jīng)典進(jìn)程的同步問(wèn)題”中“生產(chǎn)者-消費(fèi)者問(wèn)題”和“讀者-寫者問(wèn)題”這些教學(xué)的重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn)的方法：為了突破這兩個(gè)教學(xué)重難點(diǎn)，課前將有關(guān)這兩個(gè)問(wèn)題的微課及課件上傳到藍(lán)墨云班課平臺(tái)上，并且將網(wǎng)上搜集到的有關(guān)這兩個(gè)問(wèn)題的精華帖子連接到資源中，此外，還討論了基于雨課堂的“高等數(shù)學(xué)”混合式教學(xué)模式，提出了4個(gè)階段的教學(xué)改革設(shè)計(jì)：(1)前期準(zhǔn)備，制作教學(xué)視頻、課件試題，開(kāi)設(shè)“雨課堂”班級(jí)。(2)課前引導(dǎo)，以問(wèn)卷調(diào)查的方式發(fā)布任務(wù)單，要求學(xué)生通過(guò)視頻、課件進(jìn)行預(yù)習(xí)，并完成任務(wù)單，教師通過(guò)任務(wù)單數(shù)據(jù)來(lái)了解學(xué)生的預(yù)習(xí)情況，制定有針對(duì)性的課堂教學(xué)內(nèi)容。(3)課堂教學(xué)，根據(jù)收集到的學(xué)生預(yù)習(xí)中出現(xiàn)的問(wèn)題，進(jìn)行針對(duì)性教學(xué)。(4)課后復(fù)習(xí)，教師根據(jù)課堂教學(xué)情況，發(fā)布具有針對(duì)性指導(dǎo)意見(jiàn)和課后作業(yè)，鞏固已學(xué)的知識(shí)。

然而，從近期發(fā)表的教學(xué)論文看，大多數(shù)關(guān)于“互聯(lián)網(wǎng)+”教學(xué)模式的理論研究都集中在討論針對(duì)某一課程的教學(xué)框架，以及總結(jié)并展示某一課程在“互聯(lián)網(wǎng)+”教學(xué)平臺(tái)上的教學(xué)過(guò)程。在研究如何突破教學(xué)難點(diǎn)的具體教學(xué)方法，從而幫助學(xué)生解決在學(xué)習(xí)中遇到的問(wèn)題的文獻(xiàn)較少。本文以“線性代數(shù)”課程為例，提出一種利用“互聯(lián)網(wǎng)+”和雨課堂教學(xué)平臺(tái)解決教學(xué)難點(diǎn)的方法。

1 解決數(shù)學(xué)課程教學(xué)難點(diǎn)的方法

本章探討利用“互聯(lián)網(wǎng)+”和雨課堂平臺(tái)解決數(shù)學(xué)課程教學(xué)難點(diǎn)的方法，并提出解決教學(xué)難點(diǎn)的幾項(xiàng)具體措施。

1.1 教學(xué)難點(diǎn)的特征

教學(xué)難點(diǎn)是指教師在授課過(guò)程中難以講好、學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不易理解和掌握的知識(shí)點(diǎn)。對(duì)于教學(xué)難點(diǎn)，教師面臨著幾方面的挑戰(zhàn)：(1)學(xué)生預(yù)習(xí)有困難。學(xué)生看不懂教材中的相關(guān)內(nèi)容，也看不懂教師放在網(wǎng)上的PPT。(2)學(xué)生聽(tīng)課有困難。被列為教學(xué)難點(diǎn)的內(nèi)容一定有其難以理解的地方，往往是教師在課堂上對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行講解以后，還是有部分學(xué)生沒(méi)能理解。(3)影響后續(xù)內(nèi)容的教學(xué)。數(shù)學(xué)課程中的內(nèi)容有著緊密的聯(lián)系，前面的知識(shí)沒(méi)學(xué)好會(huì)影響后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)。如果不及時(shí)解決課程中的教學(xué)難點(diǎn)，就難以達(dá)到預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)。

因此，如何解決課程中的教學(xué)難點(diǎn)是教學(xué)中的重中之重，也是每一個(gè)教師應(yīng)該深入思考的問(wèn)題。另一方面，雖然在處理教學(xué)難點(diǎn)時(shí)有困難，也需要投入更多的時(shí)間和精力，但只要能認(rèn)清教學(xué)難點(diǎn)的核心問(wèn)題所在，并采用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ湍軌蚝芎玫亟鉀Q教學(xué)難點(diǎn)。數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)所涉及的知識(shí)點(diǎn)通常有以下幾個(gè)典型特征：有抽象的概念；有多個(gè)參數(shù)(變量)的計(jì)算公式；有復(fù)雜的操作過(guò)程或計(jì)算步驟；有多層次的知識(shí)結(jié)構(gòu)，即一個(gè)知識(shí)點(diǎn)包含有多個(gè)概念、多個(gè)公式、多個(gè)操作過(guò)程、多個(gè)計(jì)算步驟。我們可以針對(duì)教學(xué)難點(diǎn)的特征找出解決的辦法。

1.2 降低難度

解決教學(xué)難點(diǎn)，首先應(yīng)該降低理解相關(guān)知識(shí)的難度。人工智能理論中有一種問(wèn)題求解方法，將一個(gè)難度很大的復(fù)雜問(wèn)題分解為幾個(gè)難度較小的相對(duì)簡(jiǎn)單的子問(wèn)題，然后逐一解決所有的子問(wèn)題，從而解決整個(gè)復(fù)雜問(wèn)題。這種思想方法可以用來(lái)處理教學(xué)難點(diǎn)，即把一個(gè)復(fù)雜的知識(shí)點(diǎn)分解成幾個(gè)部分，教師逐一講解，學(xué)生逐一學(xué)習(xí)、逐一理解，最后經(jīng)過(guò)整合達(dá)到理解整個(gè)復(fù)雜知識(shí)點(diǎn)的目標(biāo)。根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)的特征，我們把如何分解教學(xué)難點(diǎn)中的知識(shí)點(diǎn)歸納如下：

(1)對(duì)于包含多個(gè)概念的知識(shí)點(diǎn)，可以把每一個(gè)概念作為一個(gè)子問(wèn)題；

(2)對(duì)于層次結(jié)構(gòu)復(fù)雜的知識(shí)點(diǎn)，可以將各層次的知識(shí)點(diǎn)作為一個(gè)子問(wèn)題；

(3)對(duì)于包含多個(gè)操作(或多個(gè)計(jì)算步驟)的知識(shí)點(diǎn)，可以把若干個(gè)聯(lián)系緊密的操作(或計(jì)算步驟)作為一個(gè)子問(wèn)題；

(4)對(duì)于包含抽象概念的知識(shí)點(diǎn)，可以首先通過(guò)概念的外延屬性列出一些實(shí)際例子讓學(xué)生形成對(duì)抽象概念的初步認(rèn)識(shí)，然后通過(guò)概念的內(nèi)涵屬性給出抽象概念的應(yīng)用舉例使學(xué)生對(duì)抽象概念形成完整的理解。

1.3 多層次教學(xué)方案

把教學(xué)難點(diǎn)分解為若干個(gè)子問(wèn)題后，接下來(lái)就是講解這些子問(wèn)題。由于每個(gè)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)各有不同，對(duì)知識(shí)的理解能力也不一樣，所以學(xué)生在接受新知識(shí)的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)不同程度的差異。特別是在學(xué)習(xí)難度較大的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，有些學(xué)生聽(tīng)老師講解一遍就懂了，而有些學(xué)生聽(tīng)了三遍也沒(méi)懂。因此，在處理教學(xué)難點(diǎn)時(shí)要準(zhǔn)備多套不同層次的教學(xué)方案，進(jìn)行個(gè)性化教學(xué)。我們認(rèn)為，至少應(yīng)該準(zhǔn)備三套不同層次的教學(xué)方案：

(1)分解-降難。這是常規(guī)教學(xué)方案，可在計(jì)劃課時(shí)內(nèi)完成教學(xué)任務(wù)，適用于老師在課堂上對(duì)全班同學(xué)講解。具體操作如下：按照上文提出的降低難度的方法，將知識(shí)點(diǎn)分解為若干個(gè)子問(wèn)題逐一進(jìn)行講解。采用這一教學(xué)方案預(yù)計(jì)有70%的學(xué)生可以完全理解所學(xué)內(nèi)容；另有30%的學(xué)生只理解部分知識(shí)，沒(méi)能完全聽(tīng)懂的老師所講的內(nèi)容。因此，需要啟用第二個(gè)教學(xué)方案。

(2)展開(kāi)-細(xì)化。這是增強(qiáng)型教學(xué)方案，針對(duì)沒(méi)能聽(tīng)懂全部?jī)?nèi)容的學(xué)生設(shè)計(jì)的。該方案的實(shí)施需要較多時(shí)間，因此需要將教學(xué)內(nèi)容做成微課，上傳到“互聯(lián)網(wǎng)+”、雨課堂等在線教學(xué)平臺(tái)上，讓學(xué)生課后進(jìn)一步學(xué)習(xí)。具體做法是：進(jìn)一步展開(kāi)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)，將所教授的知識(shí)點(diǎn)分解為更細(xì)的小問(wèn)題，對(duì)每一個(gè)小問(wèn)題進(jìn)行更詳細(xì)的講解，并適當(dāng)增加應(yīng)用舉例。“展開(kāi)-細(xì)化”教學(xué)方案的核心思想是讓學(xué)生更清楚地看到知識(shí)點(diǎn)的細(xì)節(jié)部分，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解能力。

(3)補(bǔ)充-完善。這種方案是針對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)欠缺、理解能力較差的學(xué)生設(shè)計(jì)的。這種教學(xué)方案內(nèi)容多、學(xué)習(xí)時(shí)間長(zhǎng)，因此需要將教學(xué)視頻、課件等教學(xué)資源制作為微課，上傳到“互聯(lián)網(wǎng)+”、雨課堂等在線教學(xué)平臺(tái)上，讓學(xué)生根據(jù)自己的情況安排學(xué)習(xí)時(shí)間。如果在實(shí)施了第一種教學(xué)方案和第二種教學(xué)方案后，少數(shù)學(xué)生還是不能完全理解所學(xué)知識(shí)，那么可以猜測(cè)這些學(xué)生聽(tīng)不懂課的原因不僅是本節(jié)課所涉及的新概念和新方法難以理解，而且涉及基礎(chǔ)知識(shí)欠缺問(wèn)題，即沒(méi)有理解和掌握好在本次課程教授的知識(shí)點(diǎn)所需的前導(dǎo)知識(shí)。詳細(xì)步驟是：設(shè)計(jì)一個(gè)包括講解新知識(shí)點(diǎn)所涉及的前導(dǎo)知識(shí)且更為詳盡的教學(xué)方案，從多視角、多側(cè)面去講解新知識(shí)點(diǎn)所包含的所有概念和方法(包含前導(dǎo)知識(shí))，并且要多舉例子。必要時(shí)教師還就給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)。經(jīng)過(guò)這一階段的學(xué)習(xí)，相信學(xué)生應(yīng)該能夠理解和掌握所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)了[5]。

2 應(yīng)用舉例

本章以丘維聲編著的經(jīng)典教材《簡(jiǎn)明線性代數(shù)》[6]中第2章第2節(jié)的內(nèi)容“n階行列式的定義”為例，說(shuō)明如何利用本文提出的降低難度的方法來(lái)解決數(shù)學(xué)課程中的教學(xué)難點(diǎn)。

可參考丘維聲[6]給出的n階行列式的定義。

定義1～n階行列式

是n!項(xiàng)的代數(shù)和，其中每一項(xiàng)都是位于不同行、不同列的n個(gè)元素的乘積，把這n個(gè)元素按照行指標(biāo)成自然排序排好位置，當(dāng)列指標(biāo)所成排列是偶排列時(shí)，該項(xiàng)帶正號(hào)；奇排列時(shí)，該項(xiàng)帶負(fù)號(hào)。即

(1)

眾所周知，n階行列式的概念是線性代數(shù)課程中的教學(xué)重點(diǎn)，也是教學(xué)難點(diǎn)。該知識(shí)點(diǎn)包含有代數(shù)式、順序、逆序、偶排列、奇排列、代數(shù)項(xiàng)的符號(hào)、求和等多個(gè)概念，而且n階行列的概念較為抽象。所以在教學(xué)過(guò)程中需要進(jìn)行降低難度處理。下面按“分解-降難”教學(xué)方案介紹“n階行列式的定義”的教學(xué)案例。

按照上文提出的“分解-降難”教學(xué)方案，把n階行列式定義分解為4個(gè)小問(wèn)題，并進(jìn)行展開(kāi)來(lái)講解。

2.1 對(duì)n階行列式的初步認(rèn)識(shí)

教學(xué)目標(biāo)：用普通語(yǔ)言來(lái)描述n階行列的定義(不能照教材中的定義念)，讓學(xué)生對(duì)行列式的記號(hào)、代數(shù)項(xiàng)的構(gòu)成、完全展開(kāi)式的代數(shù)結(jié)構(gòu)等概念有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)。

展開(kāi)：一個(gè)n階行列式是由n行n列共n2個(gè)元素

(2)

按一定要求構(gòu)成的n!項(xiàng)代數(shù)和

(3)

(4)

2.2 構(gòu)成n階行列式(3)中各代數(shù)項(xiàng)的條件

教學(xué)目標(biāo)：了解構(gòu)成n階行列式中各代數(shù)項(xiàng)所包含的元素需要滿足什么條件，如何表示這些代數(shù)項(xiàng)。

展開(kāi)：代數(shù)和式(3)中的每一項(xiàng)ai1j1ai2j2…ainjn都是由式(2)中位于不同行、不同列的n個(gè)元素的乘積構(gòu)成。即，ai1j1ai2j2…ainjn一定包含有式(2)中第一行的某個(gè)元素，第二行的某個(gè)元素，…，第n行的某個(gè)元素。因此，代數(shù)項(xiàng)ai1j1ai2j2…ainjn可寫成行下標(biāo)固定排序的形式。

(5)

然后，在方框中分別填入不同的列下標(biāo)就得到具體的代數(shù)項(xiàng)。例如，在式(5)的方框中分別填入2，3，4，…，n-1，n，1就得到一個(gè)具體的代數(shù)項(xiàng)a12a23a34…an-1nan1。

2.3 n階行列式的完全展開(kāi)式

教學(xué)目標(biāo)：了解n階行列式完全展開(kāi)式的結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確寫出n階行列式完全展開(kāi)式的所有項(xiàng)，確保沒(méi)有重復(fù)也沒(méi)有遺漏。

展開(kāi)：把n個(gè)列下標(biāo)1，2，…，n的所有不同排列分別填入式(5)的方框中就得到n階行列式完全展開(kāi)式的所有項(xiàng)。由于1，2，…，n共有n!個(gè)不同的排列，所以n階行列式完全展開(kāi)式共有n!項(xiàng)。

例如，4階行列式的展開(kāi)式共有4!項(xiàng)。按以下方法可快速寫出4階行列式的所有項(xiàng)。

1，2，3，4(0) 1，2，4，3(1) 1，3，2，4(1) 1，3，4，2(2) 1，4，2，3(2) 1，4，3，2(3)

2，1，3，4(1) 2，1，4，3(2) 2，3，1，4(2) 2，3，4，1(3) 2，4，1，3(3) 2，4，3，1(4)

3，1，2，4(2) 3，1，4，2(3) 3，2，1，4(3) 3，2，4，1(4) 3，4，1，2(4) 3，4，2，1(5)

4，1，2，3(3) 4，1，3，2(4) 4，2，1，3(4) 4，2，3，1(5) 4，3，1，2(5) 4，3，2，1(6)

(6)

其中，括號(hào)內(nèi)的數(shù)字為排序的逆序數(shù)。所以4階行列式完全展開(kāi)式的不帶符號(hào)的所有項(xiàng)為：

a11a22a33a44，a11a22a34a43，…，a14a23a31a42，a14a23a32a41

因?yàn)閚階行列式是n!項(xiàng)的代數(shù)和，所以還要確定每個(gè)代數(shù)項(xiàng)的符號(hào)。

2.4 確定n階行列式(3)中各項(xiàng)的符號(hào)

教學(xué)目標(biāo)：掌握根據(jù)代數(shù)項(xiàng)ai1j1ai2j2…ainjn中元素行下標(biāo)和列下標(biāo)排列的逆序數(shù)確定該代數(shù)項(xiàng)的符號(hào)。

展開(kāi)：n階行列式中代數(shù)項(xiàng)ai1j1ai2j2…ainjn的符號(hào)由(-1)τ(i1i2…in)+τ(j1j2…jn)確定，其中τ(i1i2…in)為行下標(biāo)排列(i1i2…in)的逆序數(shù)，τ(j1j2…jn)為列下標(biāo)排列(j1j2…jn)的逆序數(shù)。

(-1)τ(12…n)+τ(j1j2…jn)=(-1)τ(0)+τ(j1j2…jn)=(-1)τ(j1j2…jn)

因此，上文討論的4階行列式的完全展開(kāi)式為

a11a22a33a44+a11a23a34a42+a11a24a32a43+a12a21a34a43+a12a23a31a44+a12a24a33a41+a13a21a32a44+a13a22a34a41+a13a24a31a42+a14a21a33a42+a14a22a31a43+a14a23a32a41-a11a22a34a43-a11a23a32a44-a11a24a33a42-a12a21a33a44-a12a23a34a41-a12a24a31a43-a13a21a34a42-a13a22a31a44-a13a24a32a41-a14a21a32a43-a14a22a33a41-a14a23a31a42

(7)

在以上4階行列式完全展開(kāi)式中，因?yàn)槊總€(gè)代數(shù)項(xiàng)的行下標(biāo)排列都是1，2，3，4，即每個(gè)代數(shù)項(xiàng)的行下標(biāo)排列的逆序數(shù)τ(i1i2…in)都是0。又因?yàn)棣?i1i2…in)+τ(j1j2…jn)=0+τ(j1j2…jn)=τ(j1j2…jn)，所以a1j1a2j2…anjn的符號(hào)由列下標(biāo)排列的逆序數(shù)τ(j1j2…jn)確定。τ(j1j2…jn)為偶數(shù)時(shí)，a1j1a2j2…anjn的符號(hào)為正；τ(j1j2…jn)為奇數(shù)時(shí)，a1j1a2j2…anjn的符號(hào)為負(fù)。

在n階行列式的實(shí)際計(jì)算中，可以按照式(5)的格式填入所有列下標(biāo)的排列，然后根據(jù)行列下標(biāo)找到對(duì)應(yīng)的元素，再根據(jù)列下標(biāo)排列的逆序數(shù)確定各代數(shù)項(xiàng)的符號(hào)就可以得到n階行列式的完全展開(kāi)式。例如：

=

(2×2×1×2)+(2×1×2×1)+

(2×3×1×2)+(1×1×2×2)+

(1×1×3×2)+(1×3×1×1)+

(3×1×1×2)+(3×2×2×1)+

(3×3×3×1)+(1×1×1×1)+

(1×2×3×2)+(1×1×1×2)-

(2×2×2×2)-(2×1×1×2)-

(2×1×1×2)-(2×3×1×1)-

(1×1×1×2)-(1×3×3×2)-

(3×1×2×1)-(3×2×3×2)-

(3×3×1×1)-(1×1×1×2)-

(1×2×1×1)-(1×1×3×1)

=-11

最后，由于篇幅太長(zhǎng)，本文只討論了“分解-降難”的教學(xué)方案，沒(méi)有給出“展開(kāi)-細(xì)化”和“補(bǔ)充-完善”的教學(xué)方案，讀者可以繼續(xù)探討或把這些教學(xué)方案應(yīng)用到其他內(nèi)容。

3 結(jié)語(yǔ)

本文提出一種利用“互聯(lián)網(wǎng)+”和雨課堂教學(xué)平臺(tái)解決教學(xué)難點(diǎn)的方法。利用人工智能中問(wèn)題求解的思想方法來(lái)處理教學(xué)難點(diǎn)，即把一個(gè)復(fù)雜的知識(shí)點(diǎn)分解成幾個(gè)部分，教師逐一講解，學(xué)生逐一學(xué)習(xí)、逐一理解，在理解了各部分知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，最后經(jīng)過(guò)整合達(dá)到理解整個(gè)復(fù)雜知識(shí)點(diǎn)的目標(biāo)。針對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)不同、理解能力有差異的學(xué)生，本文提出基于“互聯(lián)網(wǎng)+”和雨課堂教學(xué)平臺(tái)的多版本、多層次的教學(xué)方案，實(shí)施個(gè)性化教學(xué)。把經(jīng)過(guò)分解細(xì)化的不同版本的教學(xué)視頻、課件放到在線教學(xué)平臺(tái)上，學(xué)生可以靈活安排自己的時(shí)間并根據(jù)自己的需要學(xué)習(xí)這些以知識(shí)點(diǎn)為單元的微課。此外，本文還以“線性代數(shù)”課程中的“n階行列式的定義”為例展示了如何處理教學(xué)難點(diǎn)的案例。

本文提出的利用“互聯(lián)網(wǎng)+”和雨課堂教學(xué)平臺(tái)解決教學(xué)難點(diǎn)的方法可以為其他課程提供借鑒。雖然舉的是數(shù)學(xué)課程的例子，但其解決問(wèn)題的方法具有普適性，可以推廣到其他課程。從教學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)獲知，降低對(duì)知識(shí)點(diǎn)理解的難度是解決教學(xué)難點(diǎn)的最重要的基礎(chǔ)，沒(méi)有捷徑可走，高質(zhì)量的教學(xué)需要在這一部分下功夫。利用“互聯(lián)網(wǎng)+”和雨課堂教學(xué)平臺(tái)實(shí)施個(gè)性化教學(xué)是高校大班教學(xué)最有效的辦法之一，值得進(jìn)一步探討和實(shí)踐。