加強(qiáng)高中數(shù)學(xué)建模，豐富數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)涵

趙建聰

（河北省唐縣第一中學(xué)，河北 唐縣 072350）

數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心要素之一，關(guān)于這一點(diǎn)，基本上沒(méi)有什么不同的觀點(diǎn)。然而這并不等于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際中數(shù)學(xué)建模就進(jìn)行得很好，課程改革十多年來(lái)形成的一個(gè)重要認(rèn)識(shí)就是，當(dāng)一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念被人們不斷地重復(fù)的時(shí)候，可能這個(gè)概念的本質(zhì)含義已經(jīng)被人們忽視了。

一、從數(shù)學(xué)模型到數(shù)學(xué)建模

有人說(shuō)，有數(shù)學(xué)應(yīng)用的地方就有數(shù)學(xué)建模！這一論斷可以給高中數(shù)學(xué)教學(xué)尤其是數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)有著很大的啟發(fā)。說(shuō)實(shí)話，筆者理解數(shù)學(xué)建模時(shí)常常想到的就是這樣的一句話。由這一論斷可知，數(shù)學(xué)建模主要是指向數(shù)學(xué)應(yīng)用的，也就是說(shuō)在數(shù)學(xué)應(yīng)用的過(guò)程中數(shù)學(xué)建模才體現(xiàn)出了它強(qiáng)大的作用。這里有兩個(gè)核心概念需要界定：一是數(shù)學(xué)模型；二是數(shù)學(xué)建模。顯然，建模是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，而模型是一個(gè)相對(duì)靜態(tài)的概念。

先來(lái)看數(shù)學(xué)模型。什么是數(shù)學(xué)模型呢？一般認(rèn)為，當(dāng)人們需要從數(shù)、量的角度解決某個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往需要通過(guò)調(diào)查、分析的手段了解研究對(duì)象的數(shù)學(xué)信息，然后進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象與簡(jiǎn)化，并尋找其中內(nèi)在的數(shù)學(xué)規(guī)律，然后用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述這個(gè)規(guī)律，以形成一個(gè)數(shù)學(xué)模型。其實(shí)，對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，這一描述更多的是一種概念性敘述，而數(shù)學(xué)教師對(duì)于數(shù)學(xué)模型的默會(huì)知識(shí)一般是比較豐富的，只是需要強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)模型是有著嚴(yán)格的定義的，其必須面向數(shù)學(xué)應(yīng)用，其必須經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，其最終體現(xiàn)為用數(shù)學(xué)信息去描述實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)模型還有一種更為簡(jiǎn)潔的描述：用數(shù)學(xué)語(yǔ)言（包括數(shù)學(xué)公式）描述或模仿實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系、空間形式的數(shù)學(xué)架構(gòu)。

那什么是數(shù)學(xué)建模呢？顯而易見(jiàn)，建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，就稱之為數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模是一個(gè)充滿著數(shù)學(xué)智慧的過(guò)程，從建模的順序角度來(lái)看，其過(guò)程一般是這樣的：實(shí)際情境——提出問(wèn)題——數(shù)學(xué)模型——數(shù)學(xué)結(jié)果——結(jié)果檢驗(yàn)——結(jié)果運(yùn)用。其中在結(jié)果檢驗(yàn)之后如果發(fā)現(xiàn)存在問(wèn)題，這個(gè)時(shí)候就不能走向結(jié)果運(yùn)用，而應(yīng)當(dāng)回到實(shí)際情境，重新去提出問(wèn)題并重新建立數(shù)學(xué)模型（這相當(dāng)于一個(gè)循環(huán)語(yǔ)句）。從這一流程來(lái)看，數(shù)學(xué)建模可以簡(jiǎn)述為“用數(shù)學(xué)知識(shí)模擬現(xiàn)實(shí)的過(guò)程”。

總結(jié)以上闡述可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域的。這意味著數(shù)學(xué)新知建立過(guò)程中是需要慎談數(shù)學(xué)建模的（當(dāng)然也可能存在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，即在新知識(shí)建立過(guò)程中借助于已有的知識(shí)來(lái)為新知提供基礎(chǔ)的過(guò)程）；也意味著數(shù)學(xué)建模的核心是將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，涉及數(shù)學(xué)抽象以輔助模型建立等。下面將詳細(xì)論述。

二、數(shù)學(xué)建模的過(guò)程與例析

嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)建模需要經(jīng)歷一個(gè)嚴(yán)密的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程往往分為多個(gè)步驟，下面來(lái)說(shuō)明。

第一步：模型準(zhǔn)備。這一步的關(guān)鍵在于了解數(shù)學(xué)問(wèn)題（應(yīng)用）的背景，尋找其實(shí)際意義及其中的有用信息。

第二步：模型假設(shè)與建立。根據(jù)模型準(zhǔn)備經(jīng)過(guò)假設(shè)的過(guò)程并建立模型，這一步需要用到一些重要的數(shù)學(xué)工具（公式定理等），最終目標(biāo)是建立一個(gè)合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即數(shù)學(xué)模型。這一步是數(shù)學(xué)建模的核心步驟，在本實(shí)例中應(yīng)當(dāng)說(shuō)模型的建立一般不會(huì)出現(xiàn)太大的問(wèn)題，因此在后面的模型檢驗(yàn)中就不需要花費(fèi)太多的精力，如果遇到更為復(fù)雜的應(yīng)用問(wèn)題，不像本實(shí)例這樣一目了然，比如說(shuō)本實(shí)例中可以將一些具體的數(shù)據(jù)省略，或者讓簡(jiǎn)諧振動(dòng)變得更隱蔽一些，那在模型假設(shè)與建立時(shí)就需要更多的精力與智慧。

第三步：模型求解與分析。這一步的關(guān)鍵是將實(shí)例中的信息（參數(shù)）代入模型當(dāng)中去。關(guān)于這一點(diǎn)，上述步驟中已經(jīng)有所描述，此處不再贅述。

第四步：模型檢驗(yàn)。即將模型的分析結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較，以此判斷模型建立的合理性。檢驗(yàn)的重要途徑是看根據(jù)目前建立的模型所得到的結(jié)果是否具有實(shí)例角度的實(shí)際意義，如果吻合度好，則說(shuō)明模型建立成功，否則失敗，一旦模型建立失敗，就進(jìn)入循環(huán)的階段。

第五步：模型應(yīng)用。這是一個(gè)與具體實(shí)例相關(guān)的步驟，一般沒(méi)有固定的描述。在本實(shí)例中，模型應(yīng)用主要體現(xiàn)在對(duì)第二問(wèn)的回答上，事實(shí)上第二問(wèn)可以無(wú)限延伸，任何一個(gè)時(shí)刻時(shí)物體的位置都可以由建立的數(shù)學(xué)模型計(jì)算出來(lái)。

三、數(shù)學(xué)建模的教學(xué)與反思

在多年的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)有著重要的作用。如上所說(shuō)，數(shù)學(xué)建模具有綜合性，因此其能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力。但實(shí)際教學(xué)中的挑戰(zhàn)也是非常明顯的，當(dāng)下學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有一個(gè)明顯的不足，那就是學(xué)生對(duì)知識(shí)之間的聯(lián)系認(rèn)識(shí)不足，往往滿足于利用剛剛所學(xué)的知識(shí)解決眼前的問(wèn)題，這對(duì)于數(shù)學(xué)建模來(lái)說(shuō)提出了很大的挑戰(zhàn)。如何從學(xué)生的記憶系統(tǒng)中提取出有效的信息以完成數(shù)學(xué)模型的建立，是一個(gè)很大的問(wèn)題；此外，強(qiáng)大的應(yīng)試壓力讓學(xué)生更多地滿足于一般的數(shù)學(xué)習(xí)題的解答，對(duì)數(shù)學(xué)建模的積極性有時(shí)不太高（當(dāng)然，其中數(shù)學(xué)建模的復(fù)雜性也影響了學(xué)生的興趣）。

反思這些現(xiàn)象，筆者以為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的建模工作更加具有重要性與必要性。無(wú)論是從應(yīng)試的角度來(lái)看，還是從學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提高的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)建模本身就是數(shù)學(xué)綜合能力的體現(xiàn)，也是衡量數(shù)學(xué)教師教學(xué)水平的重要指標(biāo)。我們認(rèn)為，只有當(dāng)自己所教的學(xué)生能夠用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)有效地解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，數(shù)學(xué)教學(xué)才是成功的。因此，無(wú)論是數(shù)學(xué)新知建立的過(guò)程，還是數(shù)學(xué)應(yīng)用的過(guò)程，都需要在原有知識(shí)基礎(chǔ)上讓學(xué)生生成建模的意識(shí)，并在數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的過(guò)程中生成能力。

值得一提的是，在數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的解決過(guò)程中，通過(guò)一些專題訓(xùn)練來(lái)提高學(xué)生的建模能力是值得嘗試的策略。筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，學(xué)生在專題訓(xùn)練的過(guò)程中，建模的意識(shí)會(huì)比較強(qiáng)，建模的目標(biāo)也比較明確，在緊張的復(fù)習(xí)時(shí)間中抽出時(shí)間進(jìn)行專題訓(xùn)練，可能是一件事半功倍的事情。