四階橢圓型方程組主次特征值之比的下界

黃振明

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

微分算子特征值的研究是幾何分析中的一個(gè)重要課題.有學(xué)者曾說(shuō)過(guò)，有振動(dòng)的地方就有特征值和特征向量，在不同的情形下，特征值具有相應(yīng)的物理含義，常表示為物體振動(dòng)的頻率、物體受力變形的臨界壓力或微觀粒子在不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)的能級(jí)等.同樣的，廣義特征值也具有很強(qiáng)的實(shí)際意義.例如，經(jīng)典的Buckling 問(wèn)題[1]就是一類(lèi)廣義特征值問(wèn)題，即

其中，Δ2是 Rm上的雙調(diào)和算子；ν 是有界區(qū)域Ω邊界?Ω 的單位外法向量.問(wèn)題(1)描述了夾持薄板在受到外部壓力后變彎曲的臨界負(fù)荷，在工程和建筑力學(xué)等方面有著重要的意義.因此，廣義 特征值問(wèn)題越來(lái)越受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者們的重視.數(shù)十年來(lái)，人們?cè)诖祟I(lǐng)域取得了一些研究成果[1-7]，但迄今為止，鮮有學(xué)者對(duì)問(wèn)題(1)所描述的方程組進(jìn)行過(guò)討論.筆者嘗試將其進(jìn)行推廣，討論如下四階橢圓型方程組的廣義特征值問(wèn)題：

其中， i = 1,2, … ,l ，l 為大于或等于1 的整數(shù)；Ω ? Rm( m≥2)； X= ( x1, x2, …, xm)；常數(shù) aij=aji(i, j = 1,2, … , l ).

1 準(zhǔn)備知識(shí)

2 引理

3 主要結(jié)果

4 一般情形