2020年高考全國?芋卷數列題的研究

吳志峰

一、試題再現

【2020年高考全國？芋卷理數第17題】設數列{ an }滿足a1=3，an+1=3an-4n.

（I）計算a2、a3，猜想{ an }的通項公式并加以證明;

（？域）求數列{ 2n an }的前n項和Sn.

二、試題分析

本題是高考解答題的第一個題目，是容易題. 考查的知識點有數列的遞推公式，數列的通項公式，數學歸納法，數列求和等. 考查函數與方程，化歸與轉化的數學思想方法，考查的核心素養有數學運算，邏輯推理. 數列知識是歷年高考的重點和熱點問題，數列的遞推公式、數列的通項公式、數列求和作為數列的幾種常見形式，在考試中經常出現. 本題第（I）問考查由遞推公式求數列的通項公式，這是一個常考常新的問題，與我們所學的基礎知識、基本技能、基本方法有很大的關系，常常通過一定的轉化，把問題轉化成我們熟悉的等差、等比數列模型進行求解，從而有效解決問題，或者利用數學歸納法先猜后證求得數列的通項公式. 本題第（？域）問考查差比數列（由等差數列和等比數列相乘得到的新數列）的求和問題，是一個很多考生一看就懂，一算就錯的問題.本文通過對這兩個問題的分析與總結，列舉構造法求數列通項公式的幾種常見類型和差比數列求和的幾種常用方法，供各位考生參考.

三、解法分析

（I）解法一：因為a1=3，an+1=3an-4n，所以a2=3a1-4=5，a3=3a2-8=7，

猜想，an=2n+1，n∈N？鄢.

下面用數學歸納法證明.

①當n=1時，a1=3符合上式.

②假設n=k時，ak=2k+1成立.

當n=k+1時，ak+1=3ak-4k=3（2k+1）-4k=2（k+1）+1也成立.

綜上所述，由①②得an=2n+1，n∈N？鄢.

點評：數學歸納法是數學證明中的一種重要的證明方法，常用來證明與自然數n有關的命題. 數學歸納法在數列求通項公式、數列求和、與數列有關的不等式的證明中有著廣泛的應用，在數列求通項公式的問題中，在常規方法受阻的情況下，利用數學歸納法這種先猜后證的思路往往能夠讓我們快速找到問題的解決辦法.

解法二：因為a1=3，an+1=3an-4n，

所以an+1-2（n+1）-1=3（an-2n+1）.

由迭代法得：an-2n-1=3[an-1-2（n-1）-1]=…=3n-1（a1-3）=0，

所以an=2n+1.

點評：本解法通過構造一個各項均為零的數列{an-2n-1}，從而求得數列{an}的通項公式，體現了化歸與轉化的思想在解題中的應用. 對于an+1=Aan+Bn+C（A≠0，A≠1）類型的遞推公式求通項公式的時候，可以通過構造an+1-k（n+1）-b=A（an-kn-b）的形式，再利用迭代法或者等比數列的知識進行求解. 注意本題條件a1-3=0，所以這里數列{an-2n-1}并不是等比數列，而是一個各項均為0的常數列.

解法三：因為a1=3，an+1=3an-4n，……①

所以a2=5，an=3an-1-4（n-1） （n≥2），……②

由①-②得：an+1-an=3an-3an-1-4 （n≥2），

所以an+1-an-2=3（an-an-1-2） （n≥2），

由迭代法得an-an-1-2=3（an-2-an-3-2）=…=3n-2（a2-a1-2）=0.

所以an-an-1-2=0 （n≥2），

所以數列{an}是等差數列，首項a1=3，d=2，

所以an=2n+1，n∈N？鄢.

點評：本解法通過構造一個各項均為零的數列{an-an-1-2}，從而推出數列{an}是等差數列，再利用等差數列的公式求數列{an}的通項公式，體現了化歸與轉化的思想在解題中的應用. 注意本題條件a2-a1-2=0，所以這里數列{an-an-1-2}并不是等比數列，而是一個各項均為0的常數列.

（II）解法一：錯位相減法

依題意得：2nan=（2n+1）2n，

所以Sn=3×21+5×22+7×23+…+（2n+1）2n………③

兩邊同時乘以2得：2Sn=3×22+5×23+7×24+…+（2n+1）2n+1………④

③-④得：-Sn=3×2+2×（22+23+…+2n）-（2n+1）2n+1

=6+2× -（2n+1）2n+1

化簡得：Sn=（2n-1）2n+1+2.

點評：本解法是錯位相減法，是解決差比數列的求和問題常見方法，用錯位相減法求差比數列的和的步驟有：列出前n項和，兩邊同時乘以公比q，兩式相減，公式求和，化簡檢驗. 體現了數學中的“消元化簡”和“把陌生問題轉化成熟悉問題”的數學思想.此解法的優點是思路清晰，方法比較容易掌握，缺點是計算量較大，每一個步驟都有很多計算上的易錯點，需要特別注意.

解法二：裂項相消法

設2nan=（2n+1）2n=[k（n+1）+b]2n+1-（kn+b）2n =（kn+2k+b）2n

所以k=2，2k+b=1，即k=2，b=-3，

所以（2n+1）2n=（2n-1）2n+1-（2n-3）2n? =-（2n-3）2n? +（2n-1）2n+1

所以Sn =3×21+5×22+7×23+…+（2n+1）2n

=[-（-1）×21+1×22]+（-1×22+3×23）+…+[-（2n-3）2n+（2n-1）2n+1]

=2+（2n-1）2n+1.

點評：裂項相消法也是數列求和的一種常用方法，常用來解決分式型的數列求和問題，其實只要通項公式能夠拆成f（n+1）與f（n）的差的形式的數列求和問題都可以用裂項相消法. 用裂項相消法求差比數列的和時，只需要用待定系數法把通項公式裂成f（n+1）-f（n）的形式即可（其中f（n）=（kn+b）qn）. 此解法的優點在于運算量小，準確率高，但是需要考生能夠掌握差比數列通項公式裂項的技巧，這個需要經過一定訓練才能做到.

解法三：待定系數法

首先，我們來推導差比數列的前n項和Sn的一般形式.

引理：己知數列{an}是等差數列，公差d≠0，數列{bn}是等比數列，公比q≠1，則數列{an bn}的前n項和Sn=b-（kn+b）qn，其中k，b為常數.

證明：Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an bn

即Sn=a1b1+a2b1q+a3b1q2+…+an b1qn-1……①

兩邊同時乘以q得：qSn=a1b1q+a2b1q2+a3b1q3+…+an b1qn……②

①-②得： （1-q）Sn=a1b1+db1（q+q2+…+qn-1）-an b1qn

=a1b1+db1（ ）-（a1+nd-d）b1qn

=b1（a1+ ）-b1（dn+a1+ ）qn

所以Sn= （a1+ ）- （dn+a1+ ）qn.

所以Sn=b-（kn+b）qn，其中k= ，b= （a1+ ）.

解：設Sn=b-（kn+b）2n，

因為S1=b-2（k+b）=6，S2=b-4（2k+b）=26

解得k=-4，b=2，

所以Sn=2-（-4n+2）2n=2+（2n-1）2n+1.

點評：此解法為待定系數法求差比數列的和，需要考生能夠記住差比數列的前項和的形式才能夠進行求解，體現了函數與方程的思想在解題中的應用. 而且此公式在教材中沒有給出，所以不建議考生在解答題中直接應用，但是可以借助這個形式對自己的求解的結果做一個檢驗. 本題也可以由Sn-Sn-1=（2n+1）2n列出方程組進行求解.

四、歸納總結

（1）數列通項公式是數列的核心內容之一，構造法是求數列的通項公式的一種最常用方法，其本質是通過構造一個與己知數列有關的新數列，使新數列是等差、等比或其它常見數列的形式，再利用相關知識進行求通項的方法. 常見的構造法有以下幾種類型，此處列出來供各位考生參考.（說明：下列各條件中的系數A、B、C、m均不等于0，①②③④中的系數A≠1）.

①形如an+1=Aan+B，則構造an+1+t=A（an+t）進行求解.

②形如an+1=Aan+Bn+C，則構造an+1+k（n+1）+b=A（an+kn+b）進行求解.

③形如an+1=Aan+mAn則構造 = +m進行求解.

④形如an+1=Aan+mBn （A≠B），則構造an+1+kBn+1=A（an+kBn）進行求解.

⑤形如an+1= ，則構造 = = · + ，

若A=C，則數列{ }成等差數列;若A≠C，則再利用類型①進行構造.

⑥形如an+1=Aan+Ban-1（n≥2），則構造an+1-？琢an=？茁（an-？琢an-1）進行求解.

（2）數列求和的常用方法有公式求和法，分組求和法，裂項相消法，錯位相減法，并項求和法，倒序相加法，待定系數法等. 在平時的學習中，對數列求和的這些方法，我們不僅要知道它們適用的范圍，更應該知道這些方法所蘊含的數學思想方法，學法而不拘泥于法，才能夠在解題過程中做到融會貫通，得心應手. 從上述例題我們發現差比數列的求和問題不僅僅只有錯位相減法，還有裂項相消法和待定系數法等方法，這體現了數學問題和方法的多樣性，掌握多種方法為我們解題拓寬了新的思路，也對培養和提高數學思維能力和數學素養有很大的幫助.

（3）近幾年全國卷高考的解答題中，數列大多以基礎題的形式出現. 主要是對基礎知識，基本技能，基本思想和基本活動經驗的考查，對這類問題我們要做到不丟分. 所以在平時的復習中就應該做到重視基礎，優化知識網絡，加強對常規題型的解法的研究，重視運算的細節，提高運算的準確率，從而切實提升解決問題的能力和數學思維品質.

責任編輯 徐國堅