圖從“匕首”現，數從像中來

雷小華

眾所周知，函數是高中數學內容的重要組成部分，是歷屆高考的重點考查內容，而函數及其圖像又是考查的重點內容之一，所以平時的教學中必須給予高度重視. 函數圖像是相互依賴的兩個變量之間外在、直觀的表現形式，是函數解析式本質屬性的直譯語言，兩者之間有著必然的聯系. 如何識辨函數與其圖像之間的對應關系？如何理清它們之間的有機聯系？考試作答時是否能像老中醫那樣“望、聞、問、切”似的快速獲得正確答案？分析表明，函數圖像的識辨問題可試探著從四方面（戲稱四把“匕首”）入手而解答，另一方面，由表像（圖像）也可生成其特定的函數解析式. 故本文且命名為圖從“匕首”現，數從像中來.

一、圖從“匕首”現

函數圖像的識辯，應抓住①函數的性質先整體地把握奇偶性，②再局部地從函數值的范圍或特值點來突破，③有必要時依靠導數分析其單調性或極值、最值掌握其起伏形態，④最后兼顧其自變量x→+∞、x→0+（或x→0-）時所對應的離原點遠近函數值y的變化趨勢這四方面綜合得出答案，這就是破解函數圖像識辯問題的四把“匕首”，即：

抓全局，定奇偶（匕首1）;算特值，看范圍（匕首2）;

握起伏，估極值（匕首3）;觀遠近，判走勢（匕首4）.

有了這4把“匕首”，函數圖像不難現出原形！

1. 2020年高考試題中涉及函數圖像的識辨試題分析.

下面，且看試題如何被這四把“匕首”破解，過程如下.

2. 近年高考試題中涉及函數圖像的識辨試題分析.

其解法如下.

二、數從像中來

當給出某一特定類型的函數，如三角函數y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0），以其局部的一段圖像為已知條件，即由表象（圖像）求其函數解析式，解法同樣有規可尋，有法可依.

對函數解析式中的待定系數A、ω、φ，處理方法如下：

用好周期先定ω，最值零點再定φ，代點觀察振幅顯，誘導變形答案來.

借助這4步，數自然會從像中來.

1. 2020年高考試題中涉及數從像中來的試題分析.

以上試題破解過程如下.

2. 近年高考試題中數從象中來的試題分析.

三、實戰顯身手

練習一.（單選題）函數y=2|x|·sin 2x的圖像可能是（ ）

【簡解】①匕首1：抓全局，定奇偶.

設f（x）=2|x|·sin 2x，其定義域為R，且關于坐標原點對稱.

又f（-x）=2|-x|sin 2（-x）=-2|x| sin 2x=-f（x），故y=f（x）是奇函數，排除選項A，B;

②匕首2：算特值，看范圍. 當x= 時，y=0，故排除選項C. 故答案選D.

答案：D.

【方法點睛】匕首1+匕首2.

練習二.（多選題）已知函數y=Asin（ωx+φ） （x∈R，ω>0，0<φ< ）的部分圖像如圖所示. 則Asin（ωx+φ）=

A. 2sin（2x+ ） B. 2sin（2x+ ）

C. 2cos（ -2x） D. cos（ -x）

【簡解】①用好周期先定 .

由圖像得： = - = ，故 = = =2，排除答案D;

②最值零點再定 .

當x= 時，y=0，即2× + = ，解得： = ;

③代點觀察振幅顯.

由點（0， 1）代入可得：Asin =1，解得A=2.

④誘導變形答案來. 由①②③可得：Asin（ωx+φ）=2sin（2x+ ）;

又（2x+ ）+（ -2x）= ，故Asin（ωx+φ）=2cos（ -2x）. 故選AC.

答案：AC.

【方法點睛】用好周期先定ω，最值零點再定φ，代點觀察振幅顯，誘導變形答案來.

函數與圖像之間的關系實則是數與形的關系，這讓人想到著名數學家華羅庚先生談數形結合時所作的贊美詩：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數無形時少直覺，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數流一體，永遠聯系莫分離。” 的確，解析式與圖像莫分離，本質與表象原統一，圖從“比首”現，數從像中來.

責任編輯 徐國堅