模糊區(qū)間值截距陣[D][a，b]的若干性質(zhì)

關(guān)卻東智,更芷拉毛,索南仁欠,2*

(1.青海師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，青海 西寧 810008；2.青海師范大學(xué) 研究生院，青海 西寧 810008)

由于客觀事物的復(fù)雜性和不確定性，以及人類(lèi)思維的模糊性和有限性，人們往往不能明確地給出具體數(shù)值，只能給出一個(gè)區(qū)間范圍，這種區(qū)間范圍是以區(qū)間值(或區(qū)間數(shù))的形式來(lái)表示。區(qū)間值代表了一種不確定性，目前在許多領(lǐng)域都有著很大的應(yīng)用潛力。例如，利用區(qū)間值進(jìn)行不確定的多屬性決策，將區(qū)間值添加到數(shù)學(xué)規(guī)劃之中形成不確定性?xún)?yōu)化模型，模糊區(qū)間值綜合決策模型，等等。其中的模糊區(qū)間值綜合決策是近年來(lái)發(fā)展較為成熟的一種模糊數(shù)學(xué)方法，它廣泛應(yīng)用于環(huán)境質(zhì)量評(píng)價(jià)、氣象預(yù)報(bào)、經(jīng)濟(jì)管理及教學(xué)過(guò)程的評(píng)價(jià)等領(lǐng)域。

Moore最早提出并深入研究了區(qū)間值，給出了相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)和區(qū)間值間的排序方法[1]。而Moore定義的排序方法無(wú)法比較具有交叉重疊時(shí)的區(qū)間值排序問(wèn)題。之后，曾文藝等[2]利用區(qū)間值平均法給出排序方法，Sengupta和Pal[3]基于序關(guān)系給出區(qū)間值排序法，劉進(jìn)生等[4]定義了一種比較區(qū)間值的度量函數(shù)，還有趙慧冬等[5]的幾何平均排序函數(shù)。李德清等[6]系統(tǒng)梳理了常用的區(qū)間數(shù)排序方法，詳細(xì)介紹了每一類(lèi)排序方法的主要思想，分析了每種方法的特點(diǎn)和不足，特別是在已有的基礎(chǔ)上深入討論了基于可能度矩陣的區(qū)間數(shù)排序方法。區(qū)間值排序方法針對(duì)不同實(shí)際問(wèn)題的需要，還有很多有特色的排序方法。近年來(lái)，很多國(guó)內(nèi)外專(zhuān)家將區(qū)間值引入模糊數(shù)學(xué)，構(gòu)建了特色的模糊區(qū)間值理論。但是，應(yīng)用上述排序方法比較模糊區(qū)間值會(huì)帶有不同程度的過(guò)擬合和欠擬合現(xiàn)象。排序方法最終目的是描述兩區(qū)間數(shù)間的相似和貼近度大小，從而刻畫(huà)決策者的心態(tài)偏好。

為了準(zhǔn)確反映模糊區(qū)間值矩陣與模糊決策者心態(tài)(模糊區(qū)間閾值)偏好等問(wèn)題，本文給出了一種排序函數(shù)，用來(lái)比較模糊區(qū)間值，并利用這種方法定義模糊區(qū)間值矩陣的[a，b]-截距陣。排序函數(shù)比較法將模糊區(qū)間值映射到模糊矩陣對(duì)應(yīng)排序函數(shù)圖像的坐標(biāo)軸上后，再利用優(yōu)劣度、交點(diǎn)、信度等概念，把模糊區(qū)間值矩陣轉(zhuǎn)化為模糊矩陣，并用模糊矩陣的相關(guān)性質(zhì)和處理方法解決實(shí)際模糊區(qū)間值矩陣問(wèn)題，而模糊矩陣的截距陣已有廣泛研究和應(yīng)用。本文通過(guò)研究?jī)?yōu)勢(shì)、劣勢(shì)、信度的度量值來(lái)等價(jià)轉(zhuǎn)化為模糊區(qū)間值，最后得到模糊矩陣的相關(guān)代數(shù)性質(zhì)。本文也給出了一些例子說(shuō)明優(yōu)勢(shì)、劣勢(shì)和信度的度量值評(píng)價(jià)決策偏好的可行性。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1(模糊區(qū)間值)[7]若[A]=[a-，a+]，對(duì)于任意的a-，a+滿(mǎn)足0≤a-≤a+≤1，則稱(chēng)[A]為模糊區(qū)間值，其中，a-為下元，a+為上元。模糊區(qū)間值[a，a]=a(等同于數(shù)a，且a∈[0，1])。記全體模糊區(qū)間值構(gòu)成的集合為I。

模糊區(qū)間值是區(qū)間值的數(shù)值限制在[0，1]中的特殊區(qū)間值，同時(shí)，模糊區(qū)間值具有如下獨(dú)異的運(yùn)算方法。

定理1(模糊區(qū)間值的相關(guān)運(yùn)算)[8]設(shè)區(qū)間值[A]=[a-，a+]，[B]=[b-，b+]，則有如下運(yùn)算規(guī)則：

1) [A]∧[B]=[a-∧b-，a+∧b+]=

[min(a-，b-)，min(a+，b+)]

2) [A]∨[B]=[a-∨b-，a+∨b+]=

[max(a-，b-)，max(a+，b+)]

3) [A]+[B]=[a-+b-，a++b+]

4)k[A]=[ka-，ka+]，(k>0)

6) [A]=[B]，當(dāng)且僅當(dāng)a-=b-，a+=b+。

定義2(同態(tài)映射)[9]設(shè)G，S是在*與°運(yùn)算下具有封閉性和結(jié)合律的代數(shù)系統(tǒng)，δ是從G到S上的映射。若a，b∈G滿(mǎn)足

δ(a*b)=δ(a)°δ(b)

則稱(chēng)δ是G到S的同態(tài)映射，簡(jiǎn)稱(chēng)G與S同態(tài)。

1) 若δ是單射，則稱(chēng)G與S單同態(tài)。

2) 若δ是滿(mǎn)射，則稱(chēng)G與S滿(mǎn)同態(tài)，記作G～S。

3) 若δ是雙射，則稱(chēng)δ是G到S的同構(gòu)映射，并稱(chēng)G與S同構(gòu)，記作G?S。

定義3(序關(guān)系)[8]設(shè)是I上的一個(gè)二元關(guān)系，對(duì)于任意區(qū)間值[A]=[a-，a+]，[B]=[b-，b+]，若滿(mǎn)足下面6條性質(zhì)，則稱(chēng)為上的一種序關(guān)系。

1) 自反性：[A][A]。

2) 傳遞性：若[A][B]且[B][C]，則[A][C]。

3) 完全性：對(duì)任意的[A]，[B]∈I時(shí)，一定有[A][B]或者[B][A]。

4) 分離性：若a-≤b-，則[A][B]。

5) 相容性：若[A][B]，則當(dāng)[A]，[B]∈I時(shí)，一定有[A]≤[B]。

6) 線性性：若[A][B]，則對(duì)于任意的[C]∈I及實(shí)數(shù)k≥0，一定有

[A]+[C][B]+[C]，k[A]k[B]。

定義4(二元運(yùn)算)[9]設(shè)S是一個(gè)非空集合，S×S到A的映射成為S上的二元運(yùn)算。

一般地，Sn到S的映射成為S上的n元運(yùn)算。

定義5(代數(shù)系統(tǒng))[9]設(shè)非空集合S，則S上k個(gè)一元或二元運(yùn)算f1，f2，…，fk組成的系統(tǒng)稱(chēng)為代數(shù)系統(tǒng)，記作〈S，f1，f2，f3，…，fk〉

2 模糊區(qū)間值截距陣的定義及若干性質(zhì)

則稱(chēng)[D]為模糊區(qū)間值矩陣。

定義8[10]對(duì)于任意的模糊區(qū)間值[A]=[a-，a+]，則稱(chēng)

f[A](x)=a-+(a+-a-)x，x∈[0，1]

為模糊區(qū)間值[A]的排序函數(shù)。

定義9[11-12]對(duì)于任意的模糊區(qū)間值[A]=[a-，a+]，[B]=[b-，b+]，則

1)若模糊區(qū)間值的排序函數(shù)f[A](x)

2)若模糊區(qū)間值的排序函數(shù)f[A](x)>f[B](x)，則稱(chēng)模糊區(qū)間值[A]優(yōu)于[B]。

3)若模糊區(qū)間值的排序函數(shù)f[A](x)=f[B](x)，則稱(chēng)模糊區(qū)間值[A]等于[B]。

定理2[13-14]對(duì)于任意的模糊區(qū)間值[A]=[a-，a+]，[B]=[b-，b+]，([A]≠[B])則

1) 排序函數(shù)f[A](x)單調(diào)非減函數(shù)。

2) 排序函數(shù)f[A](x)，f[B](x)圖象至多一個(gè)交點(diǎn)，簡(jiǎn)稱(chēng)交點(diǎn)。

3) 交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

證明1) 排序函數(shù)是定義域?yàn)閤∈[0，1]的一次函數(shù)，且斜率為正，即a+-a-≥0，故排序函數(shù)為單調(diào)非減函數(shù)。

2) 排序函數(shù)定義域x∈[0，1]內(nèi)的交點(diǎn)可分為如下不同情形；

情形一：a+-a-=b+-b-時(shí)，無(wú)交點(diǎn)。

情形二：a-=b-，a+-a-≠b+-b-時(shí)，下元為交點(diǎn)。

情形三：a+=b+，a+-a-≠b+-b-時(shí)，上元為交點(diǎn)。

綜上所述，排序函數(shù)的交點(diǎn)要么在定義域內(nèi)，要么在定義域外(不作考慮)，因此，排序函數(shù)f[A](x)，f[B](x)圖象至多一個(gè)交點(diǎn)。

定義10 1)設(shè)[D]表示模糊區(qū)間值矩陣，從優(yōu)勢(shì)程度的角度，則可得[D]的[a，b]-截距陣，

2)設(shè)[D]表示模糊區(qū)間值矩陣，從劣勢(shì)程度的角度可得[D]的[a，b]-截距陣，則有

3)設(shè)[D]是m×n階模糊區(qū)間值矩陣，從[D]中元素優(yōu)于[a，b]的可信角度可得[D]的[a，b]-截距陣，且有

以上三種定義方式各有特點(diǎn)，可用來(lái)刻畫(huà)模糊區(qū)間值相似、大于或優(yōu)于(小于或者劣于，兩者綜合應(yīng)用)另一個(gè)區(qū)間值的程度，這種程度恰好可以反映決策者的偏好信息。

adv[D][a，b]和Inf[D][a，b]是[a，b]在排序函數(shù)f[D](x)上的縱坐標(biāo)軸投影，表明其模糊區(qū)間值[a，b]在[D]上的截距陣。此時(shí)，截距陣表示模糊區(qū)間值矩陣與模糊區(qū)間值之間的優(yōu)劣程度或者相似程度，而rel[D][a，b]是兩種排序函數(shù)f[D](x)在橫坐標(biāo)軸的投影，表示兩種排序函數(shù)在[x*，1]上的同時(shí)射影，這是一種互為條件，互相影響的模型。前兩種是主因素突出時(shí)應(yīng)用效果較好，后一種rel[D][a，b]信度矩陣，它的模糊程度較高，在各因素都起作用時(shí)應(yīng)用效果較好。

例1 [D]表示模糊區(qū)間值矩陣

模糊區(qū)間值[0.4，0.6]處的三種定義下的截距陣。

在模糊區(qū)間值[0.4，0.6]處的排序函數(shù)f[0.4，0.6](x)=0.2x+0.4，在模糊區(qū)間[0.4，0.7]處的排序函數(shù)值f[0.4，0.7](x)=0.3x+0.4，在模糊區(qū)間值[0.3，0.5]處的排序函數(shù)f[0.3，0.5](x)=0.2x+0.3，在模糊區(qū)間值[0，1]處的排序函數(shù)為f[0，1](x)=x，則根據(jù)定義10，在定義域[0，1]內(nèi)f[0.4，0.7](x)>f[0.4，0.6](x)時(shí)取1，在定義域[0，1]內(nèi)f[0.3，0.5](x)>f[0.4，0.6](x)時(shí)取0，在定義域[0，1]內(nèi){>x*|f[0，1](x)=f[0.4，0.6](x)}時(shí)交點(diǎn)為0.5，再代入

有δ=0.5，因此如上算法可得用優(yōu)勢(shì)能度衡量的[D]的截矩陣為

劣勢(shì)度衡量的[D]的截矩陣為

則信度衡量的[D]的截矩陣為

由上例可知，信度矩陣計(jì)算簡(jiǎn)單，是劣度和優(yōu)度的綜合體現(xiàn)，不過(guò)也有部分缺點(diǎn)，若排序函數(shù)圖像斜率一致時(shí)，信度將它收縮為零，這是不符合實(shí)際的。因此，應(yīng)該結(jié)合優(yōu)度和劣度矩陣對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析。

定理3 三種定義下模糊區(qū)間值矩陣對(duì)于≥[a，b]在I上具有序關(guān)系。

證明1) 自反性：[A][a，b]≥[A][a，b]。

2) 傳遞性：若[A][a，b]≤[B][a，b]且[B][a，b]≤[C][a，b]，則[A][a，b]≤[C][a，b]。

3) 完全性：對(duì)于任意[A][a，b]與[B][a，b]，必有[A][a，b]≤[B][a，b]或者[A][a，b]≥[B][a，b]。

4) 分離性：若a+≤b-，則區(qū)間數(shù)定義的a-≤a+≤b-≤b+，從而有

[a-，a+][a，b]≤[b-，b+][a，b]

5) 相容性：若[a-，a+][a，b]≤[b-，b+][a，b]，則必有[a-，a+]≤[b-，b+]

6) 線性性：若[a-，a+][a，b]≤[b-，b+][a，b]，則對(duì)任意的[c-，c+][a，b]及實(shí)數(shù)k>0，一定有[a-，a+][a，b]+[c-，c+][a，b]≤[b-，b+][a，b]+[c-，c+][a，b]

k[a-，a+][a，b]≤k[b-，b+][a，b]

所以≥[a，b]是I上的序關(guān)系。

ii) 0≤rel[D][a，b]≤1，0≤adv[D][a，b]≤1，0≤Inf[D][a，b]≤1

證明這里僅證明3)，其他結(jié)論顯然成立。

f[a-，a+](x)與f[a，b](x)交點(diǎn)為

定理5 [D]表示模糊區(qū)間值矩陣，A表示任意模糊矩陣。代數(shù)系統(tǒng)〈[D]，+〉和〈A，+〉，δ表示rel[D][a，b]，adv[D][a，b]，Inf[D][a，b]，是從[D]到A上的映射，若[a，b]，[c，d]∈[D]，則

δ([a，b]+[c，d])≠δ([a，b])+δ([c，d])，0≤[a，b]+[c，d]≤1

δ(k[a，b])≠kδ([a，b])，(k>0)

所以對(duì)于加法與數(shù)乘，rel[D][a，b]，adv[D][a，b]，Inf[D][a，b]不是[D]到A的同態(tài)映射。其中，[D]表示模糊區(qū)間值矩陣，A表示任意矩陣。

證明(反證法) 0≤δ([a，b]+[c，d])≤1，而0≤δ([a，b])+δ([c，d])≤2，由此可知代數(shù)系統(tǒng)〈[D]，+〉和〈A，+〉在δ下不封閉。因此，δ([D])不一定是A的子集。由此可知，等號(hào)不成立。

同理可得，以下推論。

1)當(dāng)[D1]不管大于、小于、等于[D2]都有

{>[D1]∨[D2]}[a，b]=[D1][a，b]∨[D2][a，b]

2)當(dāng)[D1]不管大于、小于、等于[D2]都有

{>[D1]∧[D2]}[a，b]=[D1][a，b]∧[D2][a，b]

{>[D1]∨[D2]}[a，b]≥[D1][a，b]∨[D2][a，b]

{>[D1]∧[D2]}[a，b]≤[D1][a，b]∧[D2][a，b]

定義11 設(shè)rel[D][a，b]，adv[D][a，b]，Inf[D][a，b]分別是優(yōu)度截矩陣，劣度截矩陣，信度截矩陣，則有

定義12 若綜合信度(優(yōu)度)決策指數(shù)λ越低，決策偏好越低，若綜合信度(優(yōu)度)決策指數(shù)λ越高，決策偏好越高。 若綜合信度(優(yōu)度)決策指數(shù)λ=0.5，決策偏好中庸。相反，若綜合劣度決策指數(shù)λ越低，決策偏好越高，若綜合劣度決策指數(shù)λ越高，決策偏好越低。 若綜合劣度決策指數(shù)λ=0.5，決策偏好中庸。

在模糊綜合決策中，閾值相當(dāng)重要，它既反映各個(gè)因素在模糊綜合決策中占據(jù)的地位或者影響其決策結(jié)果的程度，又反映著決策時(shí)的決策者的心態(tài)偏好指數(shù)。

例2 一輛公交車(chē)經(jīng)過(guò)四站點(diǎn)，期間出事故程度，如表1所示。

表1 站點(diǎn)間危險(xiǎn)度表

則危險(xiǎn)系數(shù)區(qū)間值矩陣為

有δ=0.5，所以模糊區(qū)間值矩陣優(yōu)度截矩陣為

模糊區(qū)間值矩陣劣度截矩陣為

而根據(jù)信度矩陣定義有，在定義域[0，1]內(nèi)min{>x*|f[0.4，0.7](x)>f[0.4，0.6](x)}時(shí)取0，在定義域[0，1]內(nèi)min{x*|f[0.3，0.5](x)

根據(jù)三個(gè)截矩陣判斷，模糊區(qū)間值[0.4，0.6]為閾值時(shí)，對(duì)整體影響較小，不可避免的去掉這種情形。綜合優(yōu)度決策指數(shù)為0.3125，綜合劣度決策指數(shù)為0.6875，綜合信度決策指數(shù)為0.1875，三種綜合決策說(shuō)明危險(xiǎn)系數(shù)限制在0.4至0.6間是不合理的。

3 總結(jié)

本文為解決模糊區(qū)間值矩陣信息不完全時(shí)不能準(zhǔn)確反映模糊決策者的心態(tài)偏好，將排序函數(shù)作為兩個(gè)區(qū)間值之間的距離函數(shù)或者相似函數(shù)，來(lái)定義模糊區(qū)間值矩陣的截距陣，進(jìn)一步利用兩區(qū)間值的優(yōu)勢(shì)程度、劣勢(shì)程度、相信程度衡量?jī)烧叩膬?yōu)于(相似)程度，從而用其描述偏好程度關(guān)系。具體是將模糊區(qū)間值和排序函數(shù)映射到模糊矩陣對(duì)應(yīng)的排序函數(shù)坐標(biāo)軸上，進(jìn)而將模糊區(qū)間值矩陣轉(zhuǎn)化為模糊矩陣，并用模糊矩陣的相關(guān)性質(zhì)和處理方法解決實(shí)際問(wèn)題。