抓住“等效力”巧解靜電場中的曲線運動

◇ 張大洪

帶電粒子在靜電場與重力場共同作用下的運動，是一類綜合性強、知識面廣、難度較大的問題；為了準確、快捷地處理該類問題，本文從“等效力”角度，利用“類比”的方法來簡化帶電粒子在靜電場與重力場作用下的曲線運動問題.

圖1

在圖1所示的場強為E的勻強電場中，用長L的細絲線一端系質量為m、帶電荷量為＋q的小球，另一端固定于場中O點；小球運動中受到重力mg、電場力qE及線上的拉力作用.將此模型與只在重力場中豎直平面上的圓周運動相類比有：

1)平衡位置P：小球能在場中保持靜止時的位置P(如圖1中的點P)即為小球的平衡位置，平衡位置P處滿足

2)等效重力G′：小球在電場與重力場中受到的電場力qE與重力mg的合力即為小球具有的等效重力.由 圖1知，故相應的等效重力加速度

4)小球繞點O運動過程中經過平衡位置P時，速度、動量、動能、加速度、線上的拉力均具有最大值.

5)小球能夠繞點O在豎直平面內完成圓周運動的條件：小球必能經過平衡位置P相對于圓心O的對稱點P′，即小球在點P′處線上的拉力滿足FTP′≥0.

6)小球運動經過P′點時速度、加速度、線上拉力均處于最小值.

7)小球繞O點做圓周運動，任一運動過程均滿足動能定理ΔEk＝W等效重力，且等效重力做功與小球運動的路徑無關.

8)注意：當小球的初始位置和懸點的連線與“等效力”方向所成的夾角θ大于90°時，釋放小球后，小球將先做一段直線運動至線產生張力后再做圓周運動.

例1如圖2所示，水平光滑絕緣軌道AB與半徑為R的光滑絕緣軌道BCD平滑連接，場強為E的勻強電場方向水平向左；一個質量為m的帶負電滑塊所受電場力等于重力，在A點由靜止釋放，它能沿軌道運動到與圓心O等高的D點.問AB至少多長?

圖2

分析滑塊在AB段受水平向右的電場力作用而做勻加速直線運動，然后進入BCD段在電場力、重力及軌道約束力的作用下做圓周運動.故滑塊在BCD段中的平衡位置P的受力及偏角α如圖3所示.由于電場力與重力相等，故偏角α＝45°，等效重力.要使滑塊能沿軌道運動到D點，只需滑塊能經過P點相對圓心O的對稱點P′點即可，故對滑塊經過點P′受力分析如圖3所示，根據圓周運動規律得，且FTP′≥0，解得滑塊在點P′的速度需滿足

再對滑塊從A經B到P′全過程應用動能定理有其中WAB＝qEsAB，WBP′＝mgR，故有，解得

例2如圖4所示，一條長為L的絕緣細線上端固定，下端系一質量為m的帶電小球，將它置于電場強度為E、方向水平向右的勻強電場中，當小球平衡時懸線與豎直方向成α＝30°角.則：

(1)小球帶何種電荷?電荷量是多少?

(2)若將小球向右拉到懸線成水平的位置A，然后無初速度釋放，問小球運動到何處時的速度最大?最大速度多少?線上最大張力多大?

(3)小球在位置A時至少要給它多大的垂直于細線向上的沖量才能使它能繞O點在豎直平面內完成圓周運動?

圖4

(4)若將小球向左拉到使懸線成水平的位置B，然后無初速度釋放，問小球經過多長時間懸線才能對它產生力的作用?

分析(1)如圖5所示，點P為平衡位置，則qE＝mgtanα，故，且帶正電.

(2)小球從點A由靜止釋放后必將以平衡位置P為中心做往復運動，故經過P點時速度、線上張力取得最大值.其等效重力，小球從A到P過程中有G′·(L－Lsinα)，故最大速度；此時P點小球受力如圖5所示，由圓周運動規律可得，故最大張力

圖5

(3)要使小球能從點A逆時針繞O點完成圓周運動，則小球必能經過平衡位置P相對于圓心O的對稱點P′點，則有，且FTP′≥0，故

(4)將小球從B點釋放后，小球在等效重力的作用下必沿與等效重力方向平行的BC線做勻加速直線運動，加速度；當小球到達點C時線恰被拉直而對球產生作用力，由圖5可知BC＝L，故小球從B到C有

例3在例2中當小球恰能逆時針完成圓周運動而經過點P時，懸線突然被燒斷，則此后小球經過多少時間距過P點的水平直線距離最大?小球與該水平線的交點距P多遠?

分析由例2中“(3)”知小球恰能繞點P完成圓周運動時其經過點P′的速度；小球從P′點到P點的過程中有，得

小球經過點P時線斷了，此時小球的速度必沿x軸，而受到的等效重力沿y軸，故小球必做類平拋運動，如圖6所示，且當小球運動中的速度方向與直線PH平行時小球必距直線PH最遠，對點K的速度進行分解有vKy＝vPtanα，由運動學規律有

圖6

設小球從P點運動到H點的時間為t′，則有