注重“消元”思維訓(xùn)練 發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

葉媛媛

[摘? 要] “消元”作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，貫穿在整個初高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，也是近幾年中高考的命題熱點(diǎn)，其地位不言而喻. 文章結(jié)合七年級學(xué)生的學(xué)情特征，針對七年級教學(xué)，就“消元”思維訓(xùn)練要達(dá)到的層次目標(biāo)和日常教學(xué)抓手進(jìn)行簡單的探討.

[關(guān)鍵詞] 消元;層次目標(biāo);教學(xué)抓手

時下，“核心素養(yǎng)”“立德樹人”等教育理念和目標(biāo)成了我們?nèi)粘＝虒W(xué)和教研的研討主題. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)直指學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng). 學(xué)生數(shù)學(xué)能力是否得到發(fā)展，在很大程度上反映了學(xué)科核心素養(yǎng)教學(xué)的有效性. 學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，往往回歸到數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué). “消元”作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，貫穿整個初高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，其地位不言而喻. 這一點(diǎn)，從近幾年的福建數(shù)學(xué)中考試題就可以看出端倪. 因此，學(xué)生如果能夠具備“消元”意識，掌握相關(guān)方法，或許就能像我們期許的那樣，在數(shù)學(xué)之路走得更遠(yuǎn). 那我們該怎么做呢？其實(shí)，“消元”的思維訓(xùn)練在學(xué)生剛?cè)氤踔袝r就應(yīng)著手進(jìn)行. 在此，筆者針對七年級學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué)，就如何進(jìn)行相關(guān)訓(xùn)練，談幾點(diǎn)自己的心得. 簡言之，就是做到“兩個明確”，找準(zhǔn)“兩個抓手”.

做到“兩個明確”

1. 明確七年級學(xué)生的學(xué)情特征

正所謂“知己知彼，百戰(zhàn)百勝”. 要想在“消元”思維訓(xùn)練中取得預(yù)期的效果，我們就要明確七年級學(xué)生的學(xué)情特征. 學(xué)生在七年級的學(xué)習(xí)中需要完成從數(shù)到式的過渡. 小學(xué)階段的數(shù)學(xué)較為具體形象，初中數(shù)學(xué)開始往抽象發(fā)展. 抽象思維要求學(xué)生學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決相關(guān)問題，這對學(xué)生的要求較高，而“參數(shù)”恰好又是一個很抽象的東西，所以學(xué)生遇到相關(guān)問題時普遍會覺得困難.

教學(xué)上的難點(diǎn)，往往也是思維的生長點(diǎn). “含參”類題目雖然難度較大，但是如果學(xué)生在解決此類題目的過程中，能夠獲得良好的數(shù)學(xué)體驗(yàn)和成就感，就能逐漸建立解決此類問題的信心，這也是在七年級進(jìn)行“消元”思維訓(xùn)練得天獨(dú)厚的優(yōu)勢. 因此，作為教師，我們要 善于利用這些思維的生長點(diǎn)，在教學(xué)中把握好節(jié)奏，由淺入深、由易到難，層層推進(jìn).

2. 明確“消元”思維訓(xùn)練要達(dá)成的三個層次目標(biāo)

對于“消元”，如果我們能夠明確“消元”思維訓(xùn)練要達(dá)成的層次目標(biāo)，就能在日常教學(xué)中有的放矢、事半功倍.

第一層次：學(xué)生初步擁有“消元”意識，在遇到含參問題時能夠從“消元”的角度尋找解題突破口. 培養(yǎng)學(xué)生的“消元”意識，其實(shí)是要求學(xué)生初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題，嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式來思考和解決問題，這是發(fā)展學(xué)生應(yīng)用意識的前提.？搖

第二層次：學(xué)生掌握有效的“消元”方法. 在人教版教材中明確提到“將未知數(shù)的個數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫作消元思想”，也就是說學(xué)生在“消元”過程中，要明確一個原則——由多化少、逐一解決. 把握住這個原則，學(xué)生就能獲得分析和解決含未知數(shù)問題的一些基本方法.

第三層次：“無中生有”——學(xué)生在遇到問題時通過主動設(shè)元的方式尋求解題途徑. 如果題目條件含有未知數(shù)，學(xué)生能夠捕捉到相關(guān)信息，并順著“消元”這條路走下去，這其實(shí)可以通過長年累月的訓(xùn)練和積累達(dá)成，只是學(xué)生在這個過程中收獲得更多的是方法，還停留在技能形成層面，屬于前兩個層次. “無中生有”，顧名思義，就是題目條件不含未知數(shù)或者情境新穎，表面與“消元”關(guān)聯(lián)不大. 在這種情況下，學(xué)生還能主動設(shè)元，探索解題方向，就意味著學(xué)生的推理能力、數(shù)學(xué)建模、應(yīng)用意識和創(chuàng)新思維等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，都得到了一定的發(fā)展.

找準(zhǔn)“兩個抓手”

明確了七年級學(xué)生的學(xué)情特征和“消元”思維訓(xùn)練要達(dá)成的三個層次目標(biāo)，我們就可以立足于日常教學(xué)，從兩方面入手：典型章節(jié)教學(xué)和典型題目剖析.

1. 精心設(shè)計(jì)典型章節(jié)教學(xué)

七年級要想有效培養(yǎng)學(xué)生的“消元”思維，應(yīng)特別注意兩個章節(jié)的教學(xué)：“一元一次方程”和“二元一次方程（組）”.

初中階段正式涉及“消元”的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該是“一元一次方程”，只是教材內(nèi)容沒有明確出現(xiàn)類似“消元”的字詞. 學(xué)生在這個章節(jié)的學(xué)習(xí)中需要掌握三個內(nèi)容：一元一次方程的概念，解一元一次方程的依據(jù)及步驟，列方程解決實(shí)際問題. 由于小學(xué)已經(jīng)學(xué)過“簡易方程”，很多學(xué)生自然會把“一元一次方程”的學(xué)習(xí)視為“簡易方程”的規(guī)范和延伸，但是教師在教學(xué)時，絕不能只停留在這個層面. 如果我們在教學(xué)過程中有意識地引導(dǎo)學(xué)生去感悟——解一元一次方程就是“消元”，列方程解決實(shí)際問題其實(shí)是一個“從無到有”，先設(shè)元再消元的過程——那么，我們就能在孩子的心中埋下一顆“消元”的種子，為日后的教學(xué)做好準(zhǔn)備. 因此，在進(jìn)行這個章節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)時，我們應(yīng)精選恰當(dāng)時機(jī)拋出兩個問題：通過“設(shè)元”解決問題的優(yōu)勢在哪里？什么情況下可以通過“設(shè)元”解決問題？前者可以通過與小學(xué)的算術(shù)方法進(jìn)行對比，讓學(xué)生感悟;后者則需讓學(xué)生明白一個原則——當(dāng)題目中含有未知量時，即可“設(shè)元”. 如果這類引導(dǎo)能夠反復(fù)出現(xiàn)在章節(jié)教學(xué)中，我們就成功把握住了一個培養(yǎng)學(xué)生“消元”意識的契機(jī).

如果“一元一次方程”幫助學(xué)生勾勒出了“消元”的雛形，那么“二元一次方程（組）”的教學(xué)就應(yīng)該是“消元”學(xué)習(xí)中濃墨重彩的一筆. 在本章節(jié)教材中（人教版七年級下冊教材91頁）明確提出了“未知數(shù)的個數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫作消元思想”. 這句話統(tǒng)領(lǐng)了后續(xù)“代入消元法”和“加減消元法”的教學(xué). 但是從以往學(xué)習(xí)效果來看，大部分學(xué)生往往只記住了“代入”和“加減”兩個詞，解題技能是掌握了，卻忽略了“消元”的本質(zhì). “消元”二字對學(xué)生而言如同蜻蜓點(diǎn)水、雁過無痕. 想要最大限度地發(fā)揮這部分內(nèi)容的教學(xué)價值，就必須讓學(xué)生對“消元”印象深刻，這意味著我們在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時，必須突出代入消元法和加減消元法內(nèi)含的“消元”本質(zhì). 結(jié)合自身的實(shí)踐探索和教學(xué)效果，筆者建議將“代入消元法”的第一課時分為以下四個步驟來幫助學(xué)生感悟“消元”思想.

首先，拋磚引玉. 對于一個結(jié)構(gòu)特征明顯的二元一次方程組，學(xué)生在沒有學(xué)習(xí)特定解法的情況下，完全能夠自行求解，只是大部分學(xué)生在求解過程中依賴的是感覺和經(jīng)驗(yàn). 以求解二元一次方程組y=x-1①，x+y=1②.為例，學(xué)生馬上能夠想到將①式代入②式，他們的心中已有“代入”，卻無“消元”. 這個時候教師只需要適時地提點(diǎn)一句：“你們知道將①式代入②式這件事有一個什么‘高大上的名稱嗎？”便能引發(fā)學(xué)生的興趣和思考，從而引出“消元”這個主題.

其次，剝繭抽絲. 上述例題的解題過程并不復(fù)雜，學(xué)生在解題的時候心中只有一個念頭——“把未知數(shù)解出來”——只是他們并不知道正在做的事就是“消元”. 可見，學(xué)生早已具備簡單的消元技能，教師要做的就是引導(dǎo)他們反思總結(jié). 因此，教師可以通過層層追問的方式，引導(dǎo)學(xué)生思考：“為什么會想到將①式代入②式？”“化簡后得到的是什么？”“與原方程組比，有何區(qū)別？”……最后，撥云見日，剝離出解題步驟背后的指導(dǎo)思想——消元，讓這兩個字在他們心中留下不可磨滅的印象.

再次，融會貫通. 總結(jié)歸納是思維上的點(diǎn)撥，“消元”的價值主要還是體現(xiàn)在解題過程中. 要訓(xùn)練學(xué)生的“消元”思維，讓他們體會解方程的本質(zhì)就是消元，配套練習(xí)的設(shè)置就顯得尤為重要. 作為“代入消元法”的第一課時，除了相應(yīng)的題型外，我們還應(yīng)該有意識地設(shè)置一些題目來增加本節(jié)課的深度. 例如，解二元一次方程組x+y=1①，2x+y=2②.學(xué)生在獨(dú)立完成、合作討論的基礎(chǔ)上一般會得到三種解法：選擇①式或②式變形，代入另一個方程求解;將①式與②式相減求解;將①式整體代入②式求解. 第一種方法就是本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，不需要贅述. 后面兩種方法卻是寶貴的課堂資源，可以借機(jī)引導(dǎo)學(xué)生思考：“這樣做可不可行？”“為什么會想到這樣做？”“用意是什么？”……有了這樣的分析，學(xué)生就能進(jìn)一步感受到解方程的本質(zhì)就是“消元”，不管是代入消元法，還是后續(xù)要學(xué)的加減消元法，只是“消元”的策略不同而已. 那么，只要能達(dá)到“消元”的目的，將未知數(shù)由多變少，無論采用何種方式，都是可行的. 有了這樣直指本質(zhì)的剖析，后續(xù)加減消元法的教學(xué)也就水到渠成了.

最后，畫龍點(diǎn)睛. 完成上述教學(xué)步驟后，授課教師可以讓學(xué)生回歸教材，翻閱課本91頁至92頁，標(biāo)記出自己覺得重要的內(nèi)容. 相信還有一部分孩子會漏了“消元思想”的相關(guān)描述，此時，教師再重申一下它的地位，能讓更多孩子印象深刻.

有了這樣的教學(xué)過程，相信學(xué)生對于代入消元法的感悟，就不僅僅只是停留在技能層面.？搖“消元”的種子一旦在學(xué)生心中生根發(fā)芽，在相關(guān)題目中，他們就能迅速判斷出解題方向，體驗(yàn)獲得成功的樂趣，建立信心.

2. 利用典型題目滲透“消元”訓(xùn)練

涉及“消元”的題目紛繁復(fù)雜，在七年級比較典型的大致有兩類：一是題目條件含有多個未知數(shù)，需要通過消元解決問題;二是題目沒有直接給出未知數(shù)，但是通過設(shè)元能夠大大縮短思維鏈條，優(yōu)化解題過程.

對于前者，教師在分析題目時應(yīng)從題目特征和解題策略兩個角度引導(dǎo). 題目特征：此類題目的共性是含有多個未知數(shù)，這些未知數(shù)往往能夠通過已知條件構(gòu)建等量關(guān)系，并借助代換等方式實(shí)現(xiàn)化歸和統(tǒng)一. 解題策略：學(xué)生可以通過觀察結(jié)構(gòu)特征、挖掘已知條件、分析題目設(shè)問等方式找到消元的順序和途徑，達(dá)成“消元”目的. 因?yàn)榇祟愵}目“消元”的指向性比較明確，教師可以通過變式訓(xùn)練等形式在日常教學(xué)中滲透，幫助學(xué)生達(dá)成“消元”過程自動化、程序化，從技能層面進(jìn)行固化.

第二類題目是消元訓(xùn)練中的重難點(diǎn)，此類題目情境豐富，指向性不明確，對于學(xué)生而言，最難的就是“我怎么能想到要設(shè)未知數(shù)？”因此，在遇到此類題目時，教師要舍得花時間讓學(xué)生充分經(jīng)歷解題過程，并通過對比等方式豐富學(xué)生的體驗(yàn)內(nèi)容，幫助他們感悟“設(shè)元”解決問題的優(yōu)越性，體會數(shù)學(xué)的魅力. 現(xiàn)在舉一個例子加以說明：現(xiàn)對某商品降價20%促銷，為了使銷售總金額不變，銷售量要比按原價銷售時增加百分之幾？

這道題學(xué)生很輕易就能設(shè)出銷售量增加的百分比為x，并尋找到等量關(guān)系：原售價×原銷量=現(xiàn)售價×現(xiàn)銷量. 但是售價和銷量題目均未給出，學(xué)生進(jìn)行到列方程這一步就會遇到困難，用小學(xué)的算術(shù)方法也無法解決. 在講解這道題時，教師可以讓學(xué)生進(jìn)行多種嘗試，最后將原售價設(shè)為a，原銷量設(shè)為b，列出方程ab=（1-20%）a（1+x）b（a≠0且b≠0），再根據(jù)等式的性質(zhì)化簡得到1=（1-20%）（1+x），進(jìn)而完成解答. 有了這樣的過程體驗(yàn)，學(xué)生就能充分感受到“設(shè)元”解決問題的優(yōu)越性，只有當(dāng)他們心中有了這樣的感受——“哇！這種方法真是太棒了！”——才會愿意去模仿和嘗試.

學(xué)生愿意嘗試只是開端，教師必須指導(dǎo)學(xué)生明白：只要題目含有未知量就能“設(shè)元”;參數(shù)的個數(shù)可以不唯一;所設(shè)的“元”最終不一定能求解出來，卻能幫助我們梳理題目條件，簡化思維過程;當(dāng)題干中有一些特殊的條件，如比例關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系等，往往能通過“設(shè)元”解決問題……這些總結(jié)能夠幫助學(xué)生明確什么問題情境適合“設(shè)元”求解.？搖

總之，“消元”思想是學(xué)生能力形成的必備環(huán)節(jié)，如果我們在初中起始階段就能未雨綢繆，幫助學(xué)生打好基礎(chǔ)、樹立信心，那么隨著教學(xué)的推進(jìn)，學(xué)生或許就能像我們期望的那樣在能力形成的路上越走越順，在素養(yǎng)發(fā)展的路上越走越好！