例談線段和角的類比學習

李志東

[摘? 要] 線段和角是幾何圖形中最基本的知識，對于后續學習三角形、四邊形、多邊形，全等、相似、銳角三角函數等都起著基石和鋪墊的作用. 學生不僅要學會線段和角的知識，更要學會學習它們的方法和思考它們內在的聯系.

[關鍵詞] 線段;角;類比學習

線段的概念和角的概念的類比

滬科版七年級教材中對于線段和角都是描述性的，但可以歸納為：

1. 線段是“兩點一線”. “兩點一線”中的兩點是指線段的兩個端點，一線是指連接兩點的是直線.

2. 角是“兩線一點”. “兩線一點”中的兩線是指角的兩條邊（是兩條射線），一點是指角的頂點.

線段的命名和角的命名的類比

1. 線段的命名是“姓+名”

第一種是姓后面跟兩個端點的大寫字母，兩個端點的大寫字母沒有書寫順序的要求，如圖1：線段AB或線段BA.

第二種是姓后面跟一個小寫的字母，如圖2：線段a.

一般地，若題目中已經告訴了或者標記過了某個線段，那么線段的命名就已經確定了，如果沒有可以根據需要自己命名.

2. 角的命名也是“姓+名”

第一種是姓后面跟三個大寫字母，頂點字母必須寫在中間，另外兩個大寫字母沒有書寫順序的要求，如圖3：∠AOB或∠BOA.

第二種是姓后面跟一個小寫的希臘字母或角碼或大寫的頂點字母（不引起混淆的情況下），如圖4：∠α或∠1.

類似于線段，一般地，若題目中已經告訴了或者標記過了某個角，那么角的命名就已經確定了，如果沒有可以根據需要自己命名.

線段條數與角個數的計算方法

的類比

在計算線段條數和計算角的個數中，同學們很容易計算錯，一種是漏算，一種是重復計算，還有就是無從下手的. 針對這三種情況，我們可以把數線段和數角進行類比學習，做到舉一反三，觸類旁通，已經學會的同學也可以錦上添花.

如表1、表2，類比學習數線段，我們研究數角.

與線段的計數方法類似，先選一邊為始邊，確定以這條始邊為一邊的角的個數，再依次把后面的邊看作始邊，數出角的個數，最后相加即可得角的總數（注意：向同一個方向數）. 在學習時一定要弄清楚式子中“n”“n-1”分別是什么意思，以及“2”的真實含義，重復的不算，要除以2;重復計算就不用除以2.

剛剛研究的是理論問題，實際上現實生活中這樣的應用是無處不在的，比如足球世界杯的小組賽中每個小組共比賽多少場;NBA比賽中分東西部和主客場，怎么統計比賽的場次;多人相互之間握手或碰杯多少次;某路公交車有n個站點，售票員需要記幾種票價和準備幾種車票……理論來源于生活，更重要的是學會了要能應用于生活.

線段和角的和差表示方法類比

1. 在線段的問題中經常要求某條線段的長度，通常可以用幾條線段之間的加減運算得到. 如圖5：（1）AB=AC+BC，（2）AC=AB-BC，（3）BC=AB-AC.

2. 在角中，同樣會涉及求某個角的度數，也是通過幾個角之間的加減運算得到，如圖6：（1）∠AOB=∠AOC+∠BOC，（2）∠AOC=∠AOB-∠BOC，（3）∠BOC=∠AOB-∠AOC. 通過類比的學習方法，發現一個線段的和差問題，就有一個與之對應的角的和差問題.

線段和角比較大小的方法類比

1. 線段的長短比較方法

方法一：觀察法，從目測直觀的角度進行線段長短的比較，適合差距比較大的線段長短的比較.

方法二：度量法，從“數”的角度比較（用有刻度的直尺量出線段的長度，再比較）.

方法三：疊合法，從“形”的角度比較（起點對齊，看終點）.

2. 角的大小比較方法

方法一：觀察法，從目測直觀的角度進行角的大小比較，適合差距比較大的角的比較.

方法二：度量法，從“數”的角度比較（用量角器測量出角的度數，再比較）.

方法三：疊合法，從“形”的角度比較（頂點、始邊對齊，看終邊）.

線段的中點與角的平分線的

類比

1. 線段的中點與角的平分線概念的類比

（1）線段的中點.

概念：點C在線段AB上且使線段AC，CB相等，這樣的點C叫作線段AB的中點（如圖7）. 這時有AC=CB= AB或AB=AC+CB=2AC=2CB.

性質定理：因為點C是線段AB的中點，所以AC=CB= AB.

由條件到結論，其中條件反映了位置關系，點C在線段AB上，這是隱性的，教學時要注意;結論反映了數量關系AC=CB= AB，其中數量關系共三個，可根據需要來寫，不一定全寫出來.

判定定理：因為AC=CB= AB，所以點C是線段AB的中點.

由條件到結論，其中條件反映了兩種關系：一是位置關系，點C在線段AB上，這是隱性的，教學時要注意;二是數量關系AC=CB= AB，這里的三個等式只要有兩個成立就行了.

（2）角的平分線.

概念：射線OC在∠AOB的內部，且使∠AOC，∠COB相等，這條射線OC叫作∠AOB的平分線（如圖8）. 這時有∠AOC=∠COB= ∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠COB.

性質定理：因為射線OC是∠AOB的平分線，所以∠AOC=∠COB= ∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠COB.

由條件到結論，其中條件反映了位置關系，即射線OC在∠AOB的內部，這是隱性的，教學時要注意;結論反映了數量關系∠AOC=∠COB= ∠AOB，其中數量關系共三個，可根據需要來寫，不一定全寫出來，但教學時需要教會學生類比線段的問題進行思考和學習.

判定定理：因為∠AOC=∠COB= ∠AOB，所以射線OC是∠AOB的平分線.

由條件到結論，其中條件反映了兩種關系：一是位置關系，射線在角的內部，這是隱性的，教學時要注意;二是數量關系∠AOC=∠COB= ∠AOB，這里的三個等式只要有兩個成立就行了.

通過比較兩個概念，可以發現共同點. 線段的中點與角的平分線在核心問題上都是一種平分，并且幾何語言書寫的格式也是一脈相承的.

2. 線段的中點與角的平分線知識拓展的類比

線段中涉及中點的知識：

（1）線段上一點+兩個中點的知識.

已知：點C是線段AB上一點，點P，Q分別是線段AC，CB的中點.

①若點C是線段AB的中點且AB=10，求PQ;

②若點C是線段AB上的任意點，AB=10，求PQ;

③若點C是線段AB上的任意點，PQ與AB的數量關系是什么，為什么？

變式一：點C是直線AB上任意點，點P，Q分別是線段AC，CB的中點，試問PQ與AB的數量關系，為什么？

變式二：點C是直線AB外任意點，P，Q分別是線段AC，CB的中點，試問PQ與AB的數量關系，為什么？（拓展到三角形的中位線知識）

（2）線段上兩點+兩個中點的知識.

已知：點P，Q是線段AB上兩點，點M，N分別是線段AP，QB的中點，AB=a，PQ=b，a>b，求MN.

角中涉及角的平分線的知識：

（1）一個大角內有一條射線+兩條角平分線的知識.

已知：射線OC在∠AOB內，射線OP，OQ分別是∠AOC，∠COB的平分線.

①若射線OC是∠AOB的平分線且∠AOB=100°，求∠POQ;

②若射線OC是∠AOB內任意射線，∠AOB=100°，求∠POQ;

③若射線OC是∠AOB內任意射線，求∠POQ與∠AOB的關系，并說明理由.

變式：射線OC在∠AOB外，射線OP，OQ分別是∠AOC，∠COB的平分線，∠POQ與∠AOB有什么關系，為什么？

（2）一個大角內有兩條射線+兩條角平分線的知識.

已知：射線OP，OQ分別是∠AOB內的兩條射線，射線OM，ON分別是 ∠AOP，∠BOQ的平分線，且∠AOB=α，∠POQ=β，α>β，求∠MON.

變式：射線OP，OQ分別是∠AOB外的兩條射線，射線OM，ON分別是∠AOP，∠BOQ的平分線，且∠AOB=α，∠POQ=β，α>β，求∠MON.

我們利用線段中點的概念類比角平分線的概念，充分了解角平分線與線段中點在本質上都是一種等分，利用這個特點可以解決線段中點與角平分線的相關問題，希望給大家帶來一定的幫助. 處處留心皆學問，線段和角的出題形式和書寫格式都是非常相似的，能幫助我們舉一反三，達到事半功倍的效果.

線段中的比例、倍數關系和角

中的比例和倍數關系的類比

1. 已知：點C在線段AB上，BC=2AC，點D是線段AB的中點，CD=4，求AB.

這是一道經典的原型題，是在線段中點的基礎上進行的再拓展，認真研究后發現，這題條件中的倍數關系還可以改成比例問題.

例如：“點C在線段AB上，BC=2AC，點D是線段AB的中點，CD=4”，問題部分難道只能求AB，能不能求BC或是AC呢？難道這個比例只能是2 ∶ 1嗎？能不能是其他的呢？帶著這些問題可以繼續研究，為學生開闊眼界、訓練思維.

這就是知識的傳承性，解題的思路和格式基本上是一模一樣的，關鍵是倍數、比例的轉化，以及對要求的未知量的把握，當然也可以改成份數問題的研究. 一看到未知量，很多同學想到了方程，類似的也可以應用方程的思想去完成，在教學中會發現建立的等式有多種，需要教師和學生反復揣摩和推敲，以到達思維嚴謹、格式規范、答案準確.

2. 已知：射線OC在∠AOB內，∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，∠COD=19°，求∠AOB.

比較上下兩題，它們的內核是相似的，可見應用類比學習的方法，不僅可以快速解題，更可以對試題進行變式和推廣.

線段的分類討論和角的分類討

論問題的類比

1. 線段的分類討論問題

已知：點A，B，C三點在一條直線上，AB=16，BC=6，（1）求AC;（2）若點P，Q分別是線段AB，BC的中點，求PQ.

線段是圖形，線段中的分類討論問題一般是將“數”和“形”相結合，注意方向，分類討論，問題（1）就解決了. 問題（2）是在問題（1）的基礎上結合線段中點的知識進行的拓展，依然是“數形”與分類討論相結合，先畫圖分類，再計算. 當然也可以將其中的線段用字母表示，這樣就從特殊推廣到了一般.

2. 角的分類討論問題

已知：∠AOB=100°，∠BOC=40°，（1）求∠AOC;（2）若射線OP，OQ分別是∠AOB，∠BOC的平分線，求∠POQ.

本題類比線段問題的解題思路和解題格式，可以很快地完成，更可以推廣到一般，不僅僅是形似，更是神似. 當然也可以在分類討論的基礎上涉及線段中點、角平分線、比例、倍數、份數問題，這又加大了難度，更拓展了數學思維.

簡化思路、訓練思維、加深理解是類比思想的核心，本文通過類比學習線段和角的相關知識，一是可以加深學生對線段和角這兩個基本圖形的理解，二是可以讓學生理清已有知識脈絡，并進行有機整合.