問題解讀剖析，解后反思教學

陳小瓏

[摘? 要] 二次函數是初中數學的重點內容，常以綜合題的形式出現，并且問題的命制形式和考查方式對實際教學有導向作用. 開展問題探究可以引導學生辨析問題知識點，掌握思路的構建策略，提升學生的思維. 文章以一道函數與幾何綜合的試題為例，開展解后反思、教學思考，并提出相應的建議.

[關鍵詞] 二次函數;幾何;三角形相似;兩直線平行

二次函數與幾何綜合是中考常見的壓軸題，其解法具有一定的代表性，因此需要對解題思路的構建過程加以剖析. 實際解題時，建議采用“題干深剖，逐問解決;以點聯面，幾何建模”的策略，即關注題干信息，挖掘隱含條件，把握幾何與函數的紐帶作用，結合幾何性質建立模型.

題干呈現，條件解讀

問題? （2020年江蘇南京市模考題改編）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=a（x-3）（x+1）與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，- ），連接AC和BC.

題干解讀? 上述是二次函數與幾何的綜合題，給出了拋物線與坐標軸的交點. 分析拋物線的解析式后發現，其乘積形式透露了兩個信息：一是與x軸的兩個交點分別為（3，0），（-1，0）;二是兩交點關于拋物線的對稱軸對稱，于是可以求出其對稱軸為x=1. 后續解題時除了可以充分利用拋物線與坐標軸的交點外，還可以從點的坐標出發，推導直線解析式，由幾何性質與點的坐標的關聯構建方程.

逐問剖析，解法探究

該壓軸題共分為三小問，各小問的條件相互獨立，又具有一定的關聯性，探究解法時需要對條件進行剖析，結合圖像來構建解析思路.

第（1）問：試求拋物線的解析式.

該問求拋物線的解析式. 由y=a（x-3）（x+1）可知，實則是求a的值，故只需要將拋物線上異于A，B的點的坐標代入其中即可.

將C（0，- ）代入y=a（x-3）（x+1）中，可解得a= ，所以拋物線的解析式為y= （x-3）（x+1），即y= x2- x- .

第（2）問：拋物線的對稱軸與x軸交于點D，連接CD，點E是第二象限拋物線上的一個動點，且EF∥BC，直線EF與拋物線的另一交點為F. 設直線EF的解析式為y=kx+b. 如圖1，直線y=kx+b與拋物線的對稱軸交于點G，連接DG，如果△DGF∽△BDC，試求k和b的值.

該問的核心條件有兩個：①EF∥BC，②△DGF∽△BDC. 對于條件①，需根據B，C的坐標，結合兩直線平行來確定k的值;對于條件②，則需要關注“相似三角形對應點確定”這一條件，后續聯系相似三角形的性質來確定E，F的坐標.

過點F作DG的垂線，垂足為H，如圖2. 易知A（-1，0），B（3，0），所以直線BC的解析式為y= x- . 因為EF∥BC，所以k= . 由拋物線的對稱軸為x=1可知D（1，0），所以CD= =2. 所以CD=BD=2. 在Rt△COD中，因為OD=1，OC= ，所以tan∠ODC= . 所以∠ODC=60°，∠CDB=120°. 因為△DGF∽△BDC，所以DG=FG，∠DGF=120°. 設DG=FG=2m（m>0），在Rt△FGH中，有∠HGF=60°，則HG= FG=m，HF= m. 所以F（1+ m，3m）. 因為點F在拋物線上，將其坐標代入拋物線的解析式y= ·（x-3）（x+1）后，可解得m1= ，m2= （舍去），故F（5，4 ）. 將點F的坐標代入EF的表達式y= x+b后可解得b= .

綜上可知，k= ，b= .

第（3）問：變更第（2）問的條件，將“直線y=kx+b與拋物線的對稱軸交于點G，連接DG，如果△DGF∽△BDC”替換為“直線y=kx+b與y軸交于點M，與直線y= x交于點N”，如圖3，如果滿足 - = ，試求b的值.

該問是變更問題（2）的部分條件，則問題的兩個核心條件變為：①EF∥BC，② - = . 同樣地，由條件①可求出k= ;對于條件②，可對其適當變形，得到 - =1，對于其中的斜直線，可以采用“化斜為直”的策略，分別過相關點作y軸的垂線，顯然可以根據相似三角形的性質建立平行直線之間的線段關系，后續只需借助點的坐標來構建方程求解即可.

分別過F，N，E三點作y軸的垂線，垂足分別為P，Q，S，如圖4. 聯立y= x與直線EF的表達式y= x+b，可得N b， b;聯立直線EF的表達式與拋物線的表達式，化簡后可得x2-3x-3- b=0，其中E，F的橫坐標就是方程的兩個解，可分別設為x1和x2. 由韋達定理可得x1+x2=3，x1·x2=-3- b. 因為ES∥NQ∥FP，所以△MNQ∽△MES，△MNQ∽△MFP. 由相似性質可得 = = ， = = ，又 - =1，所以 - =1. 所以 · =-1，可解得b=2 .

解后反思，拓展變式

上述是對一道幾何與二次函數相結合的壓軸題的逐問剖析，所呈現的分析思路、模型構建和計算推理過程具有一定的研究價值. 完成解法探究后有必要進一步開展解后反思.

1. 反思問題的突破關鍵

本題共三個小問，其中第（2）問和第（3）問為核心之問，呈現了拋物線與幾何的綜合. 第（2）問求直線解析式的系數，突破的關鍵是對兩個幾何條件的分析與轉化;如何將兩直線平行和三角形相似關系轉化為相應的函數關系，上述從直線斜率、三角函數視角完成了解答. 第（3）問同樣求直線解析式的系數，但條件變更為多條線段長度的代數關系，突破的關鍵是如何利用該關系轉化為點坐標之間的關聯，上述采用的是“化斜為直”的策略，結合相似三角形來實現. 因此，解決函數與幾何的綜合題時，需要關注問題的核心條件，從函數與幾何的綜合視角來探索突破的關鍵點.

2. 反思與歸納問題的解法

深入分析上述綜合題，可將第（2）問視為函數背景下的三角形相似問題. 對于該類問題，解析時需要充分利用相似三角形的特性，從兩大視角來構建思路：一是基于相似三角形的對應邊成比例，結合點的坐標構建線段比例關系;二是把握相似三角形的對應角相等，從幾何視角進行拓展分析，引入三角函數，結合直角三角形構建線段比值關系. 而第（3）問則可視為函數背景下的線段比值問題，實則是根據幾何線段關系來轉化代數式，同樣有多種方法，包括三角形相似時的對應邊比例式、直角三角形的勾股定理、三角函數比例式等，在實際求解時需要充分利用點的坐標.

3. 思考問題的拓展方向

本題屬于函數與幾何的綜合題，其中涉及直線與拋物線相交、兩直線平行、三角形相似等知識，從相似、線段比例等視角進行了考查，實際上還可以圍繞動點，從幾何面積、特殊三角形的視角進行函數與幾何的綜合，充分拓展學生的思維.

（1）變式方向1：幾何面積

問題：點E是第二象限拋物線上一個動點，且EF∥BC，直線EF與拋物線的另一交點為F，設直線EF的解析式為y=kx+b，點G是直線EF上一個動點，若△BCG的面積為10，試求直線EF的解析式.

思路點撥：點B和點C的坐標已知，于是BC的長固定，結合EF∥BC可確定k的值. 同時可將△BCG視為以BC為底、點G為頂點的三角形，則高為點G到直線BC的距離，由面積為10可確定高的值，再由距離公式即可確定b的值，從而確定直線EF的解析式.

（2）變式方向2：特殊三角形

問題：點E是第二象限拋物線上一個動點，且EF∥BC，直線EF與拋物線的另一交點為F，設直線EF的解析式為y=kx+b，連接EB，FB，若△EFB是以EF為底邊的等腰三角形，試求直線EF的解析式.

思路點撥：同樣地，由EF∥BC可確定k的值，由條件可知BE=BF，則點B在EF的垂直平分線上，于是可用參數b表示出點E和點F的坐標，并求出EF的中點H的坐標，顯然BH⊥EF，則有kEF·kBH=-1，從而可解出b的值，求出直線EF的解析式.

教學思考，學習建議

1. 培養學生的圖形分離意識

對于函數與幾何的綜合題，圖形線條較為繁雜，如果不能根據條件排除干擾，很容易陷入思維誤區，造成推理、演算不暢，因此，教學中教師需要培養學生的圖形分離意識，引導學生掌握從復合圖形中分離圖形的方法. 解題教學中需要分兩步進行：第一步，讀題，理解圖形構建的過程;第二步，提取圖形，結合問題中的幾何條件，進行核心圖形分離，如相似三角形、直角三角形等. 教學中可引導學生熟悉常見的幾何模型，提升圖形分離與提取的意識.

2. 引導學生開展知識綜合

“整合知識，構建體系”是中考復習的重要階段，尤其是以函數為核心來進行知識關聯探究，如上述所涉及的三角形相似、兩直線平行、三角函數等，這些知識均具有極強的綜合性. 教學中，教師有必要引導學生從基本的定理、定義入手，把握知識關聯，整理出條理清晰的知識網絡，并結合具體問題總結相應的分析思路. 為追求良好的學習效果，教師可以結合知識進行綜合練習、拓展練習，設置相應的檢測環節，以強化知識應用.