區間凸函數的量子積分Hermite-Hadamard型不等式

婁天依，葉國菊

（河海大學理學院，南京 210098）

量子微積分又稱為q-微積分，量子微積分沒有極限的概念，它是一類基于有限差分重標思想提出的現代微積分.近些年，量子微積分在組合數學、數論、量子力學及相對論等科學領域中發揮著重要作用，引起了學者的廣泛關注.

2002 年，Kac 等[1]引入了q-導數、q-原函數和q-積分的相關概念，并給出了一些相關性質.此后，關于量子微積分的研究成果日益增多[2-6]，其中，文獻[6]引入了連續函數f：[tk，tk+1]→R 的qk-導數和qk-積分的概念，并討論了該積分的重要性質，同時給出了量子微積分在脈沖微分方程中的應用.作為量子微積分理論的重要組成部分之一，量子積分不等式也受到眾多學者的關注，如，文獻[7]將一些經典不等式與量子積分相結合，得到了q-H?lder、q-Hermite-Hadamard等量子積分不等式.關于量子積分不等式的更多結果可參閱文獻[8-10].

另一方面，自1960年代以來，區間分析理論作為一種解決不確定性問題的重要方法被廣泛應用.近些年，一些學者將經典不等式推廣至區間值函數的情形，得到了關于區間值函數的Minkowski不等式[11]、Jensen 不等式[12]、Hermite-Hadamard 不等式[13]等.

受以上文獻啟發，本文引入區間值函數量子積分的概念，利用區間h-凸函數得到了若干區間值函數量子積分Hermite-Hadamard型不等式，所得結論推廣了文獻[7]和文獻[14]中的一些結果.

1 預備知識

設Kc（R）為R上非空緊凸集構成的空間，即實數u和分別為[u]的左端點和右端點.若，則稱[u]為正的；若，則稱[u]為負的.Kc+（R）（Kc-（R））表示正（負）區間構成的集合.當時，稱[u]為退化區間.

設 λ∈R，對于K（cR）中的元素和其四則運算如下：

定義包含關系“?”為

設J=[a，b]?R為一個區間，f：J→Kc（R）為一個區間值函數，記，其中和是J上的實值函數，且對任意x∈[a，b]有

定義1[15]設h：[c，d]→R為一個非負函數，（0，1）?[c，d]且h?0.若f（x）：J→R是非負的，且對任意x、y∈J，t∈[0，1]，有

則稱f（x）為J上的h-凸函數，用SX（h，J，R）表示J上所有h-凸函數構成的集合.若式（1）中不等號反向，則稱f（x）為J上的h-凹函數，用SV（h，J，R）表示J上所有h-凹函數構成的集合.

定義 2[13]設h：[c，d]→R 為一個非負函數，（0，1）?[c，d]且h?0.若區間值函數f：J→Kc+（R）滿足

則稱f為J上的區間h-凸函數.若式（2）中包含符號反向，則稱f為J上的區間h-凹函數.用SX（h，J，Kc+（R））（SV（h，J，Kc-（R）））表示J上所有區間h-凸（h-凹）函數構成的集合.

定義3[1]設q為常數，且0＜q＜1，f：J→R為連續函數，若對任意x∈J，有

則稱aDqf（x）為f（x）在x∈J處的q-導數.若對任意x∈J，aDqf（x）都存在，則稱f（x）在J上是可微的.

注1若a=0，則有0Dqf=Dqf，其中Dqf（x）=即為q-Jackson導數.

定義4[1]設f：J→R為連續函數，稱

為f在J上的q-積分.用q([a，b])表示J上所有q-可積實函數構成的集合.若c∈（a，x），則有

注2若a=0，則有f（qnx），?x∈[0，∞），這即為q-Jackson積分.

定理1[6]設f：J→R為連續函數，則有

定理2[6]設f、g：J→R為2個連續函數，α∈R，則對任意x∈J，有

2 主要結果

定義5設f：J→Kc（R）為區間值函數，若

則稱f在J上是Iq-可積的.用Iq([a，b])表示J上所有Iq-可積的區間值函數構成的集合.

由定義5易得定理3.

定理3設f：J→Kc（R）為區間值函數，f（x）=則f在J上是Iq-可積的當且僅當和在J上是q-可積的，且

定理4設f：J→Kc（R）為一個區間h-凸函數，且非負，且h（1/2）≠0.若則有

證明由區間h-凸函數的定義可得

對式（3）和式（4）在[0，1]上關于t積分，則有

由q-積分的定義可得

故式（5）和式（6）可改寫為

從而有

即

再由區間h-凸函數的定義可得

進一步有

對式（7）和式（8）在[0，1]上關于t積分可得

定理得證.

注3當且h（t）=t時，定理 4 退化為文獻[7]的定理3.2，即

定理5設f、g：J→Kc（R）為2個區間h-凸函數，且[0，1]→R為2個非負函數.若f、g∈SX（h，J，Kc+（R））且f、g∈Iq([a，b])，則有

證明由區間h-凸函數的定義得

則有

進一步可得

定理得證.

注4當時，定理 5 退化為文獻[14]的定理 4.3（i），即

其中N（a，b）=f（a）g（b）+f（b）g（a）.

定理6設f、g：J→Kc（R）為2個區間h-凸函數，為2個非負函數，且h1（1/2）h2（1/2）≠0.若f、g∈SX（h，J，Kc+（R））且f、g∈Iq([a，b])，則有

其中：N（a，b）=f（a）g（b）+f（b）g（a），M（a，b）=f（a）·g（a）+f（b）g（b）.

證明由區間h-凸函數的定義得

則有

進一步得到

定理得證.

注5當且h（t）=t時，定理 6 退化為文獻[14]的定理 4.3（ii），即