深度學習視域下數(shù)學學材功能的分析

丁益民

【摘 要】 以蘇教版新教材必修中“常用邏輯用語”為切入口，挖掘相關(guān)學材在激趣、引領(lǐng)、啟發(fā)、探究等方面的教學功能，引導學生進行深度學習活動，達到理解數(shù)學知識本質(zhì)的目的.

【關(guān)鍵詞】 學材;常用邏輯用語;教學功能;深度學習

深度學習是對學習狀態(tài)的質(zhì)性描述，涉及學習的投入程度、思維層次和認知經(jīng)驗等多個層面，強調(diào)對知識本質(zhì)的理解和對學習內(nèi)容的批判性吸收和利用，追求有效的學習遷移和真實問題的解決，屬于高階思維為主要認知活動的有意義學習.杜威的兒童觀和教材觀強調(diào)以學生需要為出發(fā)點，在“學生為本”的理念下，注重學生直接經(jīng)驗和間接經(jīng)驗的相互融合，教材更關(guān)注學生的自主空間，關(guān)注學生的主動學習，關(guān)注學生的主體意識，激發(fā)學生的學習動力，引導學生學會學習，實現(xiàn)學生的自我價值，發(fā)揮教材應有的教育功能.

各版新教材相繼出版并陸續(xù)進入使用狀態(tài)，新教材都突出體現(xiàn)了教材的“學材”屬性，研析這些素材的教學功能，引導學生進行有意義的學習活動，促進學生理解知識本質(zhì)，深度學習.本文以蘇教版必修第一冊第2章“常用邏輯用語”為例談?wù)勔恍┱J識與思考，敬請指正.

1 發(fā)揮學材的激趣功能，激發(fā)學生學習的內(nèi)驅(qū)力

新教材從素材的選取及呈現(xiàn)方式，到先行組織者的設(shè)計、欄目板塊的設(shè)計、正文的敘述方式、習題的編設(shè)等方面都盡可能地以引發(fā)學生學習的好奇心，激發(fā)學生的學習興趣為目的，讓學生帶著濃厚的興趣去學習數(shù)學知識.

本章的“閱讀”欄目給出了兩則著名的“悖論”，“悖論”以故事的形式呈現(xiàn)給學生，學生在感受樂趣的同時也會理性思考“悖論”產(chǎn)生的原因——“悖論”的出現(xiàn)往往是由于人們對某些概念的理解和認識不夠深刻所致.具體來說，“芝諾悖論”是由于以形而上學的觀點看問題，不承認無限是客觀存在的，反而用一系列有限的過程來逼近無限.“理發(fā)師悖論”（“羅素悖論”）的提出，促使許多數(shù)學家去研究集合論的無矛盾性問題，從而產(chǎn)生了數(shù)理邏輯的一個重要分支——公理集合論.在教學中若能將這些素材背后隱藏的數(shù)學史料開發(fā)成顯性材料，以通俗易懂的故事形式呈現(xiàn)出來，必將激發(fā)學生的學習興趣和探求欲望.

在習題方面，教材分別在習題2.1、習題2.3、復習題的“探究·拓展”欄目中設(shè)置了相應的激趣素材.如在習題2.1的這道題：

考察下述推導過程，找出錯誤原因.

若x=y，則有xy=y2，從而有x2-xy=x2-y2，即有x（x-y）=（x+y）（x-y）.

所以x=x+y.又因為x=y，所以x=2x.所以1=2.

這道題旨在引導學生閱讀材料，反思該“偽證”背后的邏輯漏洞，以這樣的示錯過程來啟發(fā)學生在進行推理時要注重步驟間的邏輯性與等價性.很明顯，這樣的學材能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，尤其是誘發(fā)學生學習邏輯用語的積極的心理驅(qū)動，學生在邏輯推理中感受數(shù)學的理性力量.

2 發(fā)揮學材的引導功能，引領(lǐng)學生學習的方向

教材特別重視章首語在引導學生進行數(shù)學學習方面的作用.章首語作為一章之首，提供了與整章內(nèi)容相關(guān)的問題情境，一般以學生熟悉的生活背景或?qū)W習經(jīng)驗作為引子，既是本章核心內(nèi)容的原型，也是引領(lǐng)整章內(nèi)容的問題，是該章的知識生長點、核心內(nèi)容或研究方法，對本塊內(nèi)容的學習起先行組織者的作用.

相對于初中數(shù)學知識，本章內(nèi)容較為抽象，對學生的邏輯推理、數(shù)學語言的運用等能力要求較高，是學生學習難點之一.為了降低學生的認知難度，教材選擇之前學習過的數(shù)學命題作為導引，從數(shù)學內(nèi)部提出問題，讓學生在熟悉的語言環(huán)境中感受邏輯用語在進行數(shù)學表達和數(shù)學推理時的作用，讓學生初步學會運用邏輯用語準確地表達數(shù)學內(nèi)容（對象），為更好地進行數(shù)學交流做好準備.

本章章首語是這樣給出的：

命題1 兩個偶數(shù)的和是偶數(shù).

命題2 和是偶數(shù)的兩個數(shù)一定都是偶數(shù).

為了判斷這兩個命題的正確性，我們換一種語言來表述它們：

命題1 如果a是任意的偶數(shù)，b是任意的偶數(shù)，那么a+b一定是偶數(shù).

命題2 如果a+b是偶數(shù)，那么a和b都是偶數(shù).（活動1）

對于命題1，因為a是偶數(shù)，所以存在m∈Z，使a=2m;

因為b是偶數(shù)，所以存在n∈Z，使b=2n;所以a+b=2m+2n=2（m+n）.

因為m∈Z，n∈Z，所以m+n∈Z，所以a+b為偶數(shù).（活動2）

對于命題2，取a=3，b=5，這時a+b=8是偶數(shù)，但3不是偶數(shù)，5也不是偶數(shù).（活動3）

該章首語包含多個方面的信息：既有數(shù)學命題基本格式（如果……那么……）的呈現(xiàn)，又有邏輯量詞（任意，存在）的使用，也有演繹推理中“三段論”的格式體現(xiàn)，更有“反證法”進行推理的示范，這些都直指本章的學習目標——邏輯用語的含義以及如何使用邏輯用語.進一步地還給出本章的學習定位與核心問題：

數(shù)學研究過程中，提出問題、解決問題需要進行數(shù)學推理，數(shù)學推理要用數(shù)學語言表達，需要使用一些基本用語，例如，“如果”“那么”“因為”“所以”“任意的”“存在”……

●這些用語的含義是什么？

●在推理過程中，怎樣使用這些用語？

在后繼學習中，學生的認知方向是按照上述章首語的引領(lǐng)路線遞進的：首先要能像活動1那樣將命題寫成“若p則q”的形式，并能通過合適的方法（活動2、活動3）判斷真假，當然還需要了解真命題與定理、定義之間的關(guān)系，為后續(xù)進一步學習時進行嚴謹?shù)耐评碜C明提供理論依據(jù)，為此就需深入到命題的結(jié)構(gòu)中去考查條件p與結(jié)論q之間的關(guān)系，具體感受性質(zhì)定理和判定定理之間的區(qū)別，從整體的角度以邏輯的視角理解這兩類定理的邏輯屬性.最后再學習另一類含有量詞的命題，從邏輯的角度理解和表達具有部分與整體意義的命題.在學材的引領(lǐng)下，學生的學習是具有方向和目的性的整體建構(gòu)過程，為學生的有意義建構(gòu)奠定了基礎(chǔ).

3 發(fā)揮學材的啟發(fā)功能，提升學生學習的思考力

教材注重通過文本與學生進行無聲互動，讓學生在問題中思考，在思考中感悟.正文部分每節(jié)均設(shè)計了“節(jié)問題”，通過問題驅(qū)動思考，問題直指概念本質(zhì).除此之外，還通過“思考”“旁白”等欄目來啟發(fā)學生，培養(yǎng)學生進行數(shù)學思考的能力.

以“旁白”為例，旁白是正文的解說詞，是正文的補充與延伸，對正文起支撐、傳承的作用，具有良好的啟發(fā)性，能激發(fā)學生思考與探究，促進他們主動地學習研究，理解知識的內(nèi)涵與本質(zhì).如2.1節(jié)設(shè)置旁白1：“判斷命題為真，需要進行證明.判斷命題為假，該怎么做？”旁白1是啟發(fā)學生運用“舉反例”進行思維活動，“舉反例”是判斷命題為假、驗證“充分性、必要性”時重要的思維操作程式，通過此旁白讓學生體會到判斷命題真假時不同的思維過程（判斷命題為真時需要嚴謹?shù)难堇[推理，判斷為假時則需要尋找反例進行否定）.為了加強“舉反例”在教學中的作用，在2.2節(jié)再次設(shè)置了表述性的旁白2：“還可以通過舉反例來說，如22=（-2）2，但2≠-2.”旁白2是讓學生在進一步學習時更深地體會“舉反例”的邏輯價值，鞏固這種運用逆向思維進行辨析與思考的思維成果，形成批判意識.又如在2.3.1節(jié)設(shè)置旁白3：“在語句（1）～（5）中，哪些是命題？如果是命題，又有哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題？”該旁白是學生初步接觸“全稱量詞命題”和“存在量詞命題”概念后提出的，運用旁白讓學生在解決“節(jié)問題”后進行的深度認知，讓學生從概念的本質(zhì)去理解“全稱量詞命題”“存在量詞命題”，并不是從外在形式進行的表淺認識，而是對抽象概念進行具體操作的同化順應過程，這顯然利于對概念的準確把握.

很明顯這些旁白的活動目標指向明確，通過旁白設(shè)置相應的思維活動，讓學生在目標指向明確的活動中對概念的內(nèi)涵、外延進行理解，是促進學生進行數(shù)學思考、準確理解本質(zhì)的重要途徑.

4 發(fā)揮學材的探究功能，促進學生學習的理解力

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》明確將“閱讀自學”作為數(shù)學教學活動之一，體現(xiàn)了“數(shù)學閱讀”在高中數(shù)學學習中的重要性.信息時代，學生知識的獲取、能力的形成以及情感的培養(yǎng)遠遠不能僅依賴于教材或課堂.如果將閱讀材料視為區(qū)別于正文的內(nèi)容，只是將其視為“閱讀”的文本，則大大削弱了這些資源的教學價值.教材中的閱讀素材所設(shè)置的問題與建議，在拓寬學生視野的同時還關(guān)注學生學習的能力和數(shù)學素養(yǎng)的提高，這其實代表著一種引領(lǐng)學生進行自主學習的導向.

本章習題中設(shè)置兩道“閱讀題”——第2.3節(jié)第6題和復習題第6題，很明顯這兩道題的定位均為“探究·拓展”，這兩道題是基于幫助學生正確理解“含有量詞的命題的否定”“充分條件”“必要條件”等概念而設(shè)計的，分別從生物學科和數(shù)學文化的視角對相關(guān)概念進行理解，拓寬了理解的方式.第2.3節(jié)第6題是從生物學科的視角去理解數(shù)學中的全稱量詞命題及存在量詞命題之間的關(guān)系，而這種關(guān)系又可從集合的視角來進行表征，這樣便溝通了其他學科與數(shù)學，集合與邏輯之間的關(guān)系，由此打開學生思維，讓學生進行更為廣泛的探究，最終定位于從集合角度理解命題與命題的否定的邏輯意義.復習題的第6題則是一道數(shù)學文化題，《墨經(jīng)》中關(guān)于“小故”和“大故”就是我國墨辯邏輯的用語，其分別對應了數(shù)學邏輯中的“必要條件”和“充分條件”，體現(xiàn)了我國古代在邏輯學上研究的卓越成就.

為了適應不同學生學習的個性化需求，教材還設(shè)置一些具有探究性質(zhì)的學材，來幫助學生進行探究拓展的活動，如教材在每章末專設(shè)“問題與探究”，以此引導學生進行探究活動.本章的“DY三角形”是新情境，讓學生從命題的角度對“DY三角形”的定義、性質(zhì)定理、判斷定理進行理性認識，形成關(guān)于命題研究的體系，促進學生對命題價值的深度理解，引導學生在新情境中去解決問題，形成遷移能力.

總之，教師在教材的使用過程中要挖掘?qū)W材的教學功能，讓學材更有利于學生數(shù)學學習力的提升，促進學生理解知識本質(zhì)，促進深度學習.