以函數為例摭談新教材引發的教學啟示

【摘 要】 2019年國家教材委員會審核通過數學新教材，以第一冊函數主線為例研究布局變化，從核心素養潛移默化、概念教學深層細化、文化拓展校本深化三個方面思考教學策略變化，引發一線教師對新課程背景下數學教學的再思考.

【關鍵詞】 新教材;函數;核心素養;概念教學;文化拓展

1 迎新桃換舊符

2019年國家教材委員會專家委員會審核通過普通高中教科書數學的最新教材[1]，新教材無論從頁面設計、內容布局還是探究實例等方面都呈現出煥然一新的感覺.新教材必修第一冊以函數為主線，依次為集合與常用邏輯用語→一元二次函數、方程和不等式→函數的概念與性質→指數函數與對數函數→三角函數.下面筆者以函數為例從內容布局、教學策略兩方面探究其中的變化.

2 函數布局變化

必修第一冊融合了老版本必修1、必修4、必修5中與函數有關的知識，形成了一個全新的函數體系.如圖1所示，從學生初中最熟悉的二次函數入手，探索二次函數與一元二次方程、不等式之間的關系;由特殊到一般歸納抽象出函數的集合定義，進而研究函數的性質;再由一般到特殊探索冪函數和對勾函數;在函數應用（一）中深化分段函數的應用;探索指數函數和對數函數;在函數應用（二）中介紹函數零點和用二分法求方程的近似解，以及函數模型的應用;詳細探究三角函數體系，將“三角恒等變換”放置在“三角函數圖象與性質”和“函數y=Asin（ωx+φ）”之間.與老版本相比，增加了對二次函數和對勾函數的專門講解，將冪函數提前到指數與對數函數之前，將常用邏輯用語放置集合之后講解，在講解函數之前介紹不等式性質和基本不等式，原來被平面向量打散的三角體系合二為一.

另外布局上比較明顯的變化是增加了“文獻閱讀與數學寫作”環節，分別是“函數的形成與發展”和“對數概念的形成與發展”，又專門開辟了“數學建模”環節，建立函數模型解決實際問題.

3 教學策略變化

新教材新布局勢必會給教學帶來新挑戰和新思考，數學教師需要做的就是深刻領會新教材編寫的意圖，深刻挖掘新教材蘊含的理念，將新教材真正落實到課堂教學.

3.1 核心素養潛移默化

《數學課標（2017）》定義了數學學科核心素養是“具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現”，提出了六大數學學科核心素養：數學抽象，邏輯推理，數學建模，直觀想象，數學運算，數據分析.史寧中教授提出數學學科核心素養的本質就是“三會”[2]，即會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界.新教材尤其突出數學建模與數據分析，因此我們教學中應該讓這兩點綻放得更加絢麗多彩.

函數思想博大精深，貫穿高中數學始終.在數學建模過程中，利用函數思想引導學生運用信息技術進行數據分析、求解模型.數學建模的過程可以概括為如圖2所示，教師可以將創客元素融入其中，引導學生進行數學建模項目研究，教學模式和實施途徑如圖3所示.基于創客教育的核心原則、理念特性和基本組織方式等，結合學生的實際情況，確立“學—做—創”的基本實施路徑，三者在不同環節中呈現齒輪般相互促進的關系.在教學模式確立后，在主動學習、生本課堂的教學理念指導下，通過案例情境，引導學生聯系已有知識，不斷發現問題，并在教師的幫助下進行線上檢索、學習和線下實踐.

教材將“數學建模”設置在指數函數與對數函數之后，且在三角函數之前，起到了拋磚引玉的作用.事實上，數學建模思想可以滲透于任何知識中，比如三角函數刻畫的循環往復、周而復始的規律，地球自轉引起的晝夜交替變化和公轉引起的四季交替變化，月亮圓缺，潮汐變化等自然現象，這些自然現象均可以分建成若干個數學建模項目學習合作小組.在數學建模項目活動過程中，勢必會帶動其他數學核心素養的整體參與提升，而且通過六大數學核心素養的橫縱貫通和互助互推提高學生的領導力，即以前瞻力、決斷力、控制力、影響力、感召力為外延的領導能力，可謂是一舉兩得.

3.2 概念教學深層細化

仔細研究新教材，可以發現教材更注重數學概念的深化細化，這正是在提醒教師需認識到數學概念是有根可溯的，并幫助學生建立起正確的認知.有的數學概念是在現實生活中的數量關系與空間形式上進行合理的抽象而獲得的，有的數學概念則是以基本的知識聯系為依據而形成的，因此，將概念的形成過程概括為簡單的“規定”這一教學行為顯然是不科學的，不僅如此，教師在概念形成的教學過程中不應該進行包辦代替，而應該引導學生進行更多的思考并引領他們進行概念形成的探索，使其在親眼目睹概念誕生的過程中，獲得對概念的透徹理解與熟練掌握和運用.

新教材將指數函數的概念單獨成課，形成一道概念教學亮麗的風景線，李邦河院士說過：“數學根本是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也！”數學概念教學要注重兩個層次，其一是數學概念的實際背景，其二是數學概念的數學抽象.指數函數概念教學如圖4所示務必讓學生經歷由實際問題抽象為數學問題，再通過數學模型進行概念抽象的過程，具體如圖5所示.

從以上指數函數概念生成過程可以看出：從具體到抽象，是“抽絲剝繭”，是尋找共性和規律的過程，是挖掘和深化;從不同角度考察同一事物會得到不同性質的抽象，是“作繭自縛”，是從多個對象的考察中尋找共同的相通性質;從量變到質變，是“化蛹成蝶”，是一種升華，是一種涅槃和再造.

3.3 文化拓展校本深化

在新教材數學第一冊中增加了“文獻閱讀與數學寫作”環節，分別是“函數的形成與發展”和“對數概念的形成與發展”.馬克思說過，“語言是思維的物質外殼”.一個人數學 思維的優劣，既要看他的靈感、奇思妙想，更要看他的表達和交流能力.數學寫作訓練是思維訓練，其真正的價值在于它比機械重復的解題訓練效果更好.函數概念和對數概念是函數教學中兩大難點，而這些概念的歷史發展歷程中富含豐富的數學文化，因此文獻閱讀與數學寫作可以作為數學文化校本課程的拓展與深化.所謂深化是指數學寫作不同于一般的文學創作寫作，它需要引領學生進行深度思考，比如“對數概念的形成與發展”中提供的選題有：（1）對數產生的背景;（2）對數發明的過程;（3）對數的具體應用;（4）對數對簡化運算的作用;（5）對數對人類文明進步的貢獻.引導學生通過文獻閱讀得到如下圖6所示的對數發展歷史，其中的每一個階段都可以作為校本拓展與深化的絕佳素材，讓學生圍繞某一階段或某一角度進行數學論文寫作不僅有助于突破對數這一難點，而且能讓學生感悟數學文化的魅力，增強對概念的深化理解與認識.

為使學生數學論文的寫作更加有針對性和取得最佳效果，教師可以為學生的論文寫作制定標準，比如數學論文中需要注意數學核心概念的表述，注意核心概念的呈現方式，注意記錄論文中的重要知識點以及知識點之間的聯系;注意數學語言表述的清晰度;注意數學問題解決過程的說明程度;注意數學與其他學科的聯系，等等.教師、同學或學生本人可以對數學論文作品進行評價分析，若有不足之處繼續深入學習、研究和修改.

此外，教師立足新教材可以通過數學寫作心得交流會、數學寫作沙龍等活動將學生的優秀作品進行分享交流，在此過程中有靈感的迸發，有思維的碰撞，有思想的共鳴，以這種新型方式學習數學不僅可以一改數學枯燥乏味的舊貌，以煥然一新的面貌出現，增強學生學習數學的積極性與興趣，而且可以讓學生以一種全新的校本研習方式深入學習數學，真正研究屬于自己的數學.最后可以將這些學生的優秀作品集結成冊，比如以“心中有數”為主題編輯成具有濃厚校本特色的教材.作為國家課程的新教材在文化拓展過程中為校本課程深化拋出了橄欖枝，讓基于數學文化的數學寫作校本課程源于教材而高于教材，使校本課程與國家課程完美聯姻，真正落地.

參考文獻

[1] 國家教材委員會專家委員會.普通高中教科書數學必修第一冊[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2] 史寧中.高中數學課程標準修訂中的關鍵問題[J].數學教育學報，2018，27（1）.

作者簡介 俞昕，女，中教高級;碩士學位;主要研究方向：數學文化、數學校本課程等.