培養高中生數學建模素養的課例及分析

傅海倫 曾冠予 王彬

【摘 要】 數學模型搭建起了數學與外部世界的橋梁，數學建模是應用數學解決實際問題的基本手段，也是推動數學發展的動力.基于此，高中數學教學中應該高度重視數學建模素養，并將其納入數學核心素養之中.本文旨在從高中數學課堂教學層面出發，對數學建模素養進行案例分析，并以三種課型為例，對如何培養高中生的數學建模素養進行詳細闡述.

【關鍵詞】 高中數學;課堂教學;數學建模;核心素養;課例

為適應時代發展對人才培養的需要，普通《高中數學課程標準》（2017年版）的課程目標中明確提出通過高中數學課程的學習，學會用數學的思維分析世界，發展數學建模素養.將數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析作為數學學科的六大核心素養全面培養學生的數學品質.在數學核心素養中，數學建模素養是其他五大素養的升華和整體體現.首先，模型分析過程中，需要學生有一定的數學抽象素養，善于發現其中隱含的數學關系，將抽象的現實問題轉化為數學問題;其次，模型建立過程中，需要學生有較強的邏輯推理、直觀想象素養，可以根據所學的知識建立合適的數學模型;最后，模型求解過程中，又需要學生具有一定的數學運算和數據分析素養，對模型進行求解.因此，數學建模素養與數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象、數據分析素養緊密相連，數學建模素養的培養和提高對于提高整個數學核心素養具有重要意義.

數學建模素養的培養以解決實際問題為中心，以培養學生的數學應用意識和分析、解決實際問題的能力為目的.在數學課堂教學中，需要教師指導學生將實際問題抽象轉化為數學問題，建立相關的數學模型并利用所學知識進行求解.數學建模教學過程大致分為四個環節：

（1）以實際問題為“原胚”，激發學生的學習興趣，促進知識的理解; （2）指導學生通過數學抽象進行數學建模; （3）模型求解;（4）檢驗求得實際問題的解.

在教學環節中融入數學建模是培養高中生數學建模素養的有效方式.數學建模的教學不是建模理論知識的機械講解，也不是局限于實際問題的引入，重要的是根據所學數學知識與實際問題的聯系，在教學中適時地引導，重在使學生明確建模的步驟、發現問題的過程、公式推導的過程以及其中蘊含的數學思想方法，將建模知識的講授與數學思想方法的教學有機地結合起來，根據不同的實際問題向學生滲透函數與方程、數形結合、分類討論、轉化等重要的數學思想方法.課堂教學中應以“問題情境—模型分析—建立模型—求解、應用”的基本模式呈現知識內容，讓學生經歷“數學化”與“再創造”的過程，形成自己對數學概念的理解.提倡在關注獲得知識的同時，形成自己對數學的理解.

下面，筆者嘗試從不同課型出發對數學建模素養進行案例分析.

1 基于問題情境的新課數學建模教學

教材每一章的課前問題、背景引入都是很好的建模原型，教師在新課教學時，應注意滲透數學建模思想，將實際生活中與數學知識相關的案例引入課堂教學，結合新授課讓學生掌握基本的數學模型，培養學生模型思想，引導學生將案例內化為數學應用模型，以此激發學生對數學學習的興趣.

示例1 三角函數模型的簡單應用

師：前面我們已經學習了正弦函數、余弦函數的圖象、性質及其簡單的變換.我們知道三角函數是刻畫周期現象的有效工具，而潮汐是一種具有周期性的自然現象，那么能否將三角函數與潮汐現象聯系起來呢？能否借助三角函數解決實際問題呢？

海水受日月的引力，在一定時候發生漲落的現象叫潮.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢;卸貨后落潮時返回海洋.下面是某港口在某季節每天的時間與水深關系表：

（1）請你選用一個三角函數來近似地描述這個港口的水深與時間的函數關系.

（2）若某船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規定至少要有2.25米的安全間隙（船底與洋底的距離），試問該船何時能進入港口，在港口能呆多久？

大家小組討論一下，如何利用三角函數模型求解？

（將現實生活中的潮汐現象作為情境引入，設置問題串，引導學生將三角函數與潮汐現象建立聯系，將抽象的生活現象轉化為學生熟悉的數學問題.）

生1：首先根據已知數據作出散點圖，根據散點圖的形狀大致選取三角函數模型，然后代入具體數據求解.

師：其實這是數學建模的第一步——模型分析，確定三角函數模型，再進行精確的求解計算.在這里我們要特別說明一下模型假設，該模型中我們對自變量只考慮0≤x≤24，下面大家思考一下如何建立模型？

（有意識的向學生滲透數學建模的步驟，從模型分析、模型假設再到建立模型，培養學生邏輯思維能力和規范嚴謹的數學態度.）

生2：以時間為橫坐標，水深為縱坐標，在直角坐標系中畫出兩變量的散點圖，如下圖所示，根據所做的散點圖可以看出圖象近似正弦函數，因此考慮用對正弦函數進行相應變形構建本題模型. ?師：好，下面我們進入模型求解階段，大家可以相互討論，各抒己見.

生3：根據圖象該函數模型是在正弦函數的基礎上橫縱坐標分別進行拉伸，然后函數圖象整體又進行了上移.

生4：觀察圖象可知該函數周期為12，由T=2πω=12得ω=π6.

師：很好，現在我們可以得到一個已知量ω=π6，下面假設橫坐標不變，縱坐標擴大A倍，假設函數圖象整體上移h個單位.

（正弦型函數是學生有待學習的內容，教師引導學生從已學的正弦函數和圖象的變換出發，數形結合，從圖象中挖掘新舊知識之間的連接點，縮小對新知識的認知差距.）

生5：由正弦函數的值域為[-1，1]可知，該函數最大值為A+h，最小值為-A+h，代入具體數據，聯立方程可得A+h=7.5，

-A+h=2.5，所以A=2.5，h=5，將各系數代入得到y=2.5sinπ6x+5 ，所以該港口水深與時間的關系可用y=2.5sinπ6x+5（0≤x≤24）近似描述.

（模型求解階段，啟發學生從函數與方程的角度思考問題，設未知數列方程，將有一定難度的正弦型函數問題轉化為已學的知識，培養學生函數與方程的思想以及數學運算能力.）

師：很好，現在我們已經構建了一個三角函數模型，我們期望模型可以解決實際問題，如何利用模型解決第二問的實際問題呢？

生6：根據條件，貨船需要的安全水深為4+2.25=6.25（米），從而將實際問題轉化為數學問題即為當y≥6.25時貨船安全.

令2.5sinπ6x+5≥6.25，得 sinπ6x≥12 ，由正弦函數性質可知：

2kπ+π6≤π6x≤2kπ+5π6 ，k∈Z，所以12k+1≤x≤12k+5，k∈Z.

又0≤x≤24，所以1≤x≤5或13≤x≤17.

因此貨船可以在1點左右進港，早晨5點左右出港.或在13點左右進港，下午17點左右出港，每次在港口呆4小時左右.

（數學模型的重要之處在于模型應用，因此，得到模型結論后教師接著設問，讓學生利用已得到的模型結論解決實際問題，使學生經歷發現問題解決問題的過程，體會數學建模的意義，初步接觸運用新知.）

師：很好，在該題的求解過程中我們建立的函數模型為y=2.5sinπ6x+5，如果我們將這一函數模型更為一般化，即為y=Asin（ωx+φ）+h，這也是我們接下來要研究的重要內容，下面我們進入正弦函數的學習.

（通過情景引入，引導學生建立模型思想，從已學三角函數角度思考問題，利用數形結合、函數與方程思想，建立模型解決實際問題，增強學生數學應用能力，同時學生已對正弦函數有了解，自然引入新課.）

2 基于專題綜合應用的數學建模教學

中學數學是一個脈絡清晰，有機聯系的整體，數學問題更加注重知識的綜合考查，思維的靈活性較強.專題綜合復習教學環節，應注重提煉和總結解題模型，讓學生多方位認識和運用數學模型，使各個模塊橫縱聯系，提升學生的數學應用能力.

示例2 函數模型的綜合應用

師：到目前為止，我們已經初步接觸了常函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數，對于這些基本初等函數我們主要研究了函數的哪些性質呢？

生1：對于基本初等函數我們研究了函數的圖象特點、單調性、奇偶性、定義域、值域、導數以及最值和極值.

師：很好，知識之間是相互貫通的，下面，我們看一下如何利用函數的有關知識來解決實際問題：某公司為了實現1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數不超過5萬元，同時獎金不能超過利潤的25%.現有三個獎勵模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，分析與推導哪個函數模型能符合該公司的要求？（注：1.002500=2.7）

對于這一問題，同學們可以嘗試建立數學模型并求解嗎？

（復習引導，引領學生回顧基本初等函數及其有關的研究內容，使學生對函數模塊的內容有一個清晰的認識，為解決問題做知識鋪墊，在此基礎上設置問題情境，引起學生的求知欲.）

師：題目中的文字描述很復雜，大家能否轉化為簡潔的數學語言呢？這一步是非常關鍵的，同學們要理解題意，挖掘題干中的限定條件，發現題目中隱含的數量關系，將其一一對應.

生2：根據題意：（1）獎金總數不超過5萬元，即當x∈[10，1000]時，函數的最大值不超過5;（2）獎金不超過利潤的25%，即當x∈[10，1000]時，y≤x·25%;（3）獎金隨銷售利潤增加而增加，即當x∈[10，1000]時，函數為增函數.當依據函數模型進行獎勵時滿足這三個條件，即為符合公司要求的模型.

師：很好，我們通過分析思考，將實際問題抽象成數學問題，這一過程是數學建模中的模型分析環節，也是整個數學建模的基礎和關鍵環節.對于本題，公司的利潤目標為1000萬元，因此，我們模型假設只需在x∈[10，1000]上，檢驗三個函數模型是否符合條件即可.下面我們該進行哪一環節？又該如何做呢？

（題干內容復雜繁瑣，數學關系不明顯，模型分析階段啟發學生挖掘隱含的數學關系，轉化為簡潔明了的數學語言，降低解題的難度，引導學生循序漸進的按照數學建模的規范步驟進行思考.）

生3：下面應該建立模型了.問題中涉及的函數分別是一次函數、對數函數、指數函數，函數圖象并不復雜，我們可以在同一坐標系中先作出三個函數的圖象，通過觀察，得到初步的結論，再提供具體的計算，得到確定的結果.

師：畫出圖象后，大家小組討論交流，結合圖象，進行數學建模中最重要的環節——模型求解.

（建立模型過程中，在同一坐標系下畫出一次函數、對數函數、指數函數，使求解過程更加直觀清晰，既復習了不同函數的圖象性質特點又培養了學生直觀想象素養和動手能力.）

生4：觀察圖象，結合一次函數和指數函數的性質可以得到f1（x）=0.25x，f3（x）=1.002x在[10，1000]內單調遞增.f1（1000）=250，f3（1000）=1.0021000 =（1+0.002）5002≈2.722=7.29.二者都大于5萬元，因而第一、三兩個函數模型均不符合公司要求.

生5：對于函數f2（x）=log7x+1，在[10，1000]上也是單調遞增的，f2（1000）=log71000+1 ? ? 師：我們一起來看一下，y≤x·25%代入函數，即log7x+1≤0.25x，且x∈[10，1000]，是不是變為一道函數在區間恒成立問題了？想一想區間的恒成立問題解題思路是什么？

（對于第一、三模型學生很容易對其進行否定，但是第二個模型如何驗證條件二對于學生來說有一定的難度，需要教師啟發學生將問題轉化為區間恒成立問題.對于函數專題，恒成立問題是重要甚至必考題型，引導學生一起總結恒成立問題的解題思路.）

生6：構造新函數.將log7x+1≤0.25x移項，為log7x+1-0.25x≤0，構造新函數：

令f（x）=log7x-14x+1，只要驗證f（x）≤0對x∈[10，1000]是否恒成立即可，也即f（x）最大值小于或等于0. f′（x）=1x·1ln7-14≤110×1ln7-14<110-14<0 ，函數為減函數，所以fmax（x）=f10=log710-32 ，但是如何比較log710與32的大小呢？

師：任意一個對數，我們都可以知道它與1的大小關系，大家思考一下能不能將上面的式子變形，只需比較對數與1的大小呢？

（對數的大小比較也是考點，對于學生而言，以往接觸的都是較為簡單的大小比較，復雜對數與常數的比較是學生沒有接觸過的，需要教師引導學生根據對數的特點進行轉化，對學生數學運算素養要求較高，同時也復習回顧了對數運算的內容.）

生7：可以這樣變形：fmax（x）=f（10）=log710-32=3223·log710-1，將log710化為同底對數的比，即：fmax（x）=f10=log710-32=3223·log710-1=322·ln103·ln7-1=32ln100ln343-1=32log343100-1<0.

這就驗證了當x∈[10，1000]時，y≤x·25%恒成立，因而符合第二個要求.

綜上所述，只有函數模型y=log7x+1符合公司要求.

師：很好，大家再回顧一下這道題，體會其中的數形結合思想、求導問題、恒成立問題做題思路以及復雜對數的比較大小的方法.

（本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建以及學生分析解決問題的能力，既解決實際問題，又全面復習了三個不同函數性質的應用，體會直線上升、指數爆炸、對數增長的不同，體現了數學的應用價值.簡單函數問題背后卻蘊藏著多種數學思想方法以及求導、恒成立等復雜問題，對于提高學生數學素養意義重大.）

3 基于變式拓展的數學建模教學

高中數學問題千變萬化，變式拓展題型對學生的轉換能力要求較高，教師應適當引導，合理啟發，對解答題思路進行分析，逐步系統地構建重點題型的解題模型.通過構建問題模型拓展學生的思維空間，深刻領悟蘊涵的思想與方法，多方位認識和運用數學模型.

示例3 等比數列變式拓展

師：前面我們學習了等比數列的通項公式以及前n項和公式，我們知道等比數列與日常生活是息息相關的，下面一起來看一下如何用等比數列解決實際問題.

師：按揭貸款是近年中央推行的積極財政政策，眾所周知，按揭貸款中都實行按月等額還本付息，那么若干月后，還應歸還銀行多少本金？這些是人們需要關注卻又很難精確知曉的，下面從我們已學的數列角度，嘗試建立數學模型，尋求解決辦法.大家小組討論一下這道題應該如何求解呢？（設貸款數額為a0元，貸款月利率為p（p>0），每月等額還本付息a元，第n月還款后的本金為an）

（在學習完等比數列的基礎上，以生活情境為背景引入新模型——一階線性非齊次遞歸數列.該數列是等比數列的變式拓展，也是易考的題型，對學生而言又有一定的難度.這里以學生感興趣的形式引入，降低了新知識的學習難度.）

生1：根據假設，第一個月還款后的本金為：a1=a0（1+p）-a ，第二個月還款后的本金為：a2=a1（1+p）-a ，第三個月還款后的本金為：a3=a2（1+p）-a ，以此類推，可得到a1，a2，a3，…an，…的遞推公式：

經檢驗，所有等式成立.

生5：由此可得，an-ap是一個以a0-ap為首項，（1+p）為公比的等比數列，類比等比數列通項公式，可得到an-ap=a0-ap（1+p）n，an=a0-ap（1+p）n +ap （n≥1）.

（模型求解過程中，需要學生對遞推公式進行轉化，以方程的視角，設未知數等價轉化求解，得到新的等比數列，最后從等比數列通項公式化歸到原數列的通項公式，該環節更有利于提高學生數學運算能力，有利于多種數學思想方法的運用.）

師：很好，通過本題可得到按揭貸款問題的模型以及一般結論：第n月還款后的本金an為：an=a0-ap（1+p）n +ap，日常生活中一切有關按揭貸款問題，均可根據此計算.

（本題模型實質為等差數列與等比數列的結合，高中并沒有給出此類數列的通項公式，但是在做題時尤其是拓展題，經常會有此類型題.對于該模型，采用化歸思想將其巧妙地轉化為一階線性其次遞歸數列.通過本題的模型分析、模型建立、模型求解等環節，能夠開拓學生思維，提高學生數學素養以及分析問題解決問題的能力，體會數學在實際生活中的作用.）

參考文獻

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[2] 馮永明，張啟凡.對“中學數學建模教學”的探討[J].數學教育學報，2000，9（02）.

作者簡介 傅海倫（1970-），男，山東曹縣人，山東師范大學數學與統計學院教授、博士生導師，主要從事數學課程與教學研究.

曾冠予（1996—），女，山東濟南人，山東師范大學附屬中學教師，主要從事高中數學教學研究.