多角度破解和思考圓錐曲線中的過定點問題

1 問題的提出

2020年舊課標(biāo)全國Ⅰ卷理科的第20題第二問主要考查圓錐曲線中動直線恒過定點問題.這是解析幾何中的難點問題，也是這些年來高考題中?？疾凰サ臒狳c問題.事實上早在2010年的江蘇高考第18題就是此同類型題目.此類題目的典型特征是條件清晰易懂，但大部分學(xué)生難以將條件一步步轉(zhuǎn)化為“過定點”這個目標(biāo)，同時計算繁瑣，往往半途而廢.那么，此類型題目究竟有何破解策略？有無減少計算量的技巧？解題教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生選擇合適的方法？

筆者對此類圓錐曲線中的過定點問題進(jìn)行了初步探討，現(xiàn)將研究過程和感悟整理成文，借此拋磚引玉.

為了研究的方便，筆者將上述高考題改編和簡化為問題1：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如上圖，已知橢圓x24+y23=1的左、右頂點為A，B，右焦點為F.點P在直線x=4上，過點P的直線PA，PB與橢圓分別交于M，N兩點.

求證：直線MN必過一定點.

2 問題的破解策略

從結(jié)論看要證明的是動直線恒過一定點，這類問題一般有兩種解決思路：第一種思路是先找到一個定點Q，再證明M，N，Q三點共線恒成立;第二種思路是用適當(dāng)?shù)膮?shù)表達(dá)出動直線MN的方程，再從這個直線方程證明恒過定點.進(jìn)一步看，使用第一種思路需要表達(dá)出M，N兩點的坐標(biāo)，并用盡可能少的參數(shù)表示，而使用第二種思路除了可以選擇表達(dá)出M，N兩點的坐標(biāo)后進(jìn)一步表示出直線的方程，也可以設(shè)直線方程為x=my+n后利用已知條件尋找到m，n的關(guān)系進(jìn)而確定是否恒過定點.根據(jù)上面兩種思路，結(jié)合如何設(shè)點或設(shè)線，可以有以下幾種策略：

點評 聯(lián)立曲線方程后直接用求根公式表示出來是比較少見的做法，一般都盡量做到“設(shè)而不求”，即用韋達(dá)定理表示兩根之和與兩根之積，原因在于一般題目的限制條件往往可以通過化簡轉(zhuǎn)化為用兩根之和與兩根之積來表達(dá).然而本題中的限制條件①比較特殊，因此可以考慮直接用求根公式這個更為原始和直接的表達(dá)方法，當(dāng)然由此也可能使計算更加復(fù)雜.值得一提的是從理論上這個解法肯定是行得通的，選擇了這種方法要有信心和耐心去處理較為繁雜的式子，事實上①式全部化為用M，N表示后許多式子可以化簡消去，計算量并不比證法4大太多.

3 對恒過定點問題的反思

3.1 解法上的反思

策略一所用的“設(shè)點而求之”是最為常規(guī)也是最容易讓學(xué)生理解和接受的方法，其解法特點是順著題意由此及彼，步步為營，不過計算需要多點耐心;策略二所用的“設(shè)點而不求”需要較為巧妙的變形技巧，并且對數(shù)學(xué)式子要有一定的敏銳性，比較適合基礎(chǔ)較好、思維敏捷的學(xué)生掌握;策略三所用的“設(shè)線而不求”也是常規(guī)方法，此法要兵分兩路，一路設(shè)直線方程后聯(lián)立曲線方程利用韋達(dá)定理找到根（交點的坐標(biāo)）與系數(shù)（直線的參數(shù)）的關(guān)系，另一路則將題目中的限制條件用交點坐標(biāo)等相關(guān)量表達(dá)出來（此題限制條件較為復(fù)雜，宜使用證法5轉(zhuǎn)化），然后兩路兵馬會師，得到直線參數(shù)間的關(guān)系進(jìn)而確定動直線的定點，此法需要學(xué)生經(jīng)過一定程度的反復(fù)訓(xùn)練和理解，形成套路;策略四所用的“設(shè)線而求之”是“設(shè)線而不求”這個策略的補(bǔ)充，當(dāng)限制條件難以轉(zhuǎn)化為只用“兩根之和”與“兩根之積”表示時，可以考慮這種方法.

3.2 運算上的反思

點評 解法2咋一眼看起來計算很繁雜，事實上很多式子可以快速化簡，因此計算量并不大，對于無法想到解法1中那關(guān)鍵一步處理技巧的學(xué)生來說，解法2不失為一個原始但有效的方法.

5 結(jié)束語

圓錐曲線中的過定點問題的解決策略往往不止一種，雖然不同策略最終結(jié)果是殊途同歸，但每種策略都有它的適用特點和應(yīng)用技巧，在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)對比和分析不同解法的關(guān)鍵步驟，感悟其中的巧妙之處，并學(xué)會根據(jù)不同的限制條件使用最擅長的策略.當(dāng)然，對于接受能力一般的學(xué)生來說，教學(xué)中宜盡量以常規(guī)方法的引導(dǎo)為主，不適合強(qiáng)加太多解法，避免解題思維混亂，增加學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).

作者簡介 鄧城（1983—），男，廣東大埔人，教育碩士，一級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)和研究工作.在數(shù)學(xué)類期刊上發(fā)表20多篇論文，曾獲廣東省數(shù)學(xué)競賽優(yōu)秀指導(dǎo)教師和區(qū)教學(xué)能手稱號.