當導數遭遇三角

曹軒 龔芮

去年全國卷Ⅰ出現三角函數為背景的導數壓軸題，今年各大模擬試題也出現了很多導數與三角函數的交匯類型，并且題型相對比較固定，主要側重三個方面的問題：一是以三角為背景的恒成立問題，二是三角背景的導數零點問題，三是以三角為背景的不等式證明問題.由于三角型函數的周期性，對稱性，有界性等方面的性質，無法多次求導使得三角函數消失，學生往往很難處理此類問題.

類型1 三角與恒成立

導數與三角的恒成立問題，往往考查的是“端點”效應，當然這里的“端點”可能是區間端點也有可能是整個函數對稱點處;并且我們在書寫過程中充分性的表述可能會用到三角型函數的有界性，必要性的證明中需要利用三角函數“端點”處的局部單調性（明確的）去尋找到恒成立的矛盾區間或矛盾值.

綜上原不等式得證.

總之，三角函數正逐漸走進導數解答題，并由于它一些獨有的性質，正逐漸受到命題老師的青睞.三角函數與其它函數在一起時，往往需要放大抓小，如果其它函數具有對稱性我們就從整體的對稱性考量.從辯證法的角度看，在局部小的范圍內具有確定的單調性，往往需要求導多次，才能找到一個某階導數恒大于零或小于零的情況，同時三角函數相對于其它函數在運動中相對穩定，可以借助它的有界性進行放縮處理.