一道高考試題所呈現(xiàn)的“一核、四層、四翼”

李建國(guó) 劉梁華

【摘 要】 由“一核”“四層”“四翼”組成的中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系，解決了高考“為什么考、考什么、怎么考”的問(wèn)題，給出了高考命題的理論指引和方法指導(dǎo). 本文通過(guò)分析2020年的一道高考立體幾何試題，意在探尋高考數(shù)學(xué)學(xué)科命題中如何遵循這一指導(dǎo)方案.

【關(guān)鍵詞】 高考;立體幾何試題;一核、四層、四翼

2019年教育部考試中心制定《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》，在高考“為什么考、考什么、怎么考”的問(wèn)題上給出了明確的理論指引和方法指導(dǎo). 該體系包括了高考的核心功能、考查內(nèi)容和考查要求，即“一核：立德樹(shù)人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué);四層：核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí);四翼：基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性.”[1] 2020年全國(guó)新高考Ⅰ卷（山東卷）數(shù)學(xué)試題就充分體現(xiàn)了該文件的指示精神，本文以卷中的一道立體幾何試題為例闡釋一二.

1 試題呈現(xiàn)

根據(jù)題目條件，四棱錐PABCD是一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)的四棱錐，如圖5（略去圖中的無(wú)關(guān)線段），直線l是棱A1P所在直線，平面QCD即為平面CDQR.

易知平面BCC1B1⊥平面CDQR，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥RC，垂足為點(diǎn)H，則BH⊥平面CDQR，連接OH，∠BOH即為PB與平面QCD（平面CDQR）所成的角，設(shè)∠BOH=θ. 后面的解法同解法3.

上述兩種解法都需要學(xué)生在復(fù)雜的條件下綜合運(yùn)用圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系獲得點(diǎn)B（或點(diǎn)P）到平面QCD的距離，并通過(guò)相互關(guān)聯(lián)的情境確定線段BO（或PO）的長(zhǎng)度，計(jì)算出線面角的正弦值，獲得數(shù)學(xué)模型，并加以優(yōu)化，最終解決問(wèn)題，達(dá)到直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的水平二的要求，甚至接近直觀想象素養(yǎng)水平三的要求 [3]. 對(duì)于解法1，學(xué)生需要根據(jù)日常學(xué)習(xí)的“基本圖形”并結(jié)合圖形中保持不變的量，通過(guò)創(chuàng)造性的思維方法獲得解題思路，過(guò)程中不僅需要有高水平的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)水平，更需要綜合運(yùn)用直覺(jué)、形象、有邏輯的理性思維，提出新視角、新方法，創(chuàng)造性地解決問(wèn)題，是創(chuàng)新思維的能力的具體體現(xiàn).

在關(guān)鍵能力層面，試題第（2）問(wèn)不同的解題方法，展現(xiàn)不同層次的能力水平. 創(chuàng)新性的解法1是在探索研究了圖形中變與不變的關(guān)鍵量之后得出的解答方法，是高水平的創(chuàng)新實(shí)踐能力、空間想象能力、問(wèn)題分析能力、推理論證能力的整合. 解法2（向量法）是立體幾何最為常規(guī)的解題思路，在得出函數(shù)模型以后，對(duì)模型的變形、分析、求解要求學(xué)生有很高層次的運(yùn)算求解能力和問(wèn)題分析能力. 解法3和4展現(xiàn)了學(xué)生高層次的空間想象能力、推理論證能力和函數(shù)模型的求解能力.

在必備知識(shí)層面，立體幾何的主干知識(shí)包括基本立體圖形、基本圖形位置關(guān)系兩部分. 具體構(gòu)成如下圖：

試題以四棱錐為載體，考查了線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面垂直的性質(zhì)與判定，線面角、三棱錐的體積的計(jì)算和空間向量坐標(biāo)、向量的夾角、向量的數(shù)量積、向量的模的運(yùn)算. 囊括了立體幾何絕大部分的主干知識(shí).

2.3 基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的試題四維設(shè)計(jì)理念

“四翼”立足于素質(zhì)教育的基本要求，呈現(xiàn)出高考命題需要把握的四個(gè)維度，是貫穿“四層”內(nèi)容的四條紐帶，通過(guò)對(duì)高考試題“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”的命題要求，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生學(xué)業(yè)水平達(dá)成度的科學(xué)評(píng)價(jià)和試題命制的難度、區(qū)分度、效度的有效調(diào)控.

在“基礎(chǔ)性”緯度上，試題利用立體幾何基本圖形四棱錐作為條件的載體，第（1）問(wèn)是學(xué)生熟悉的證明線面垂直，第（2）問(wèn)直接利用題目中原有的線線關(guān)系就可以建立空間直角坐標(biāo)系，增加了條件“PD=AD=1”后，四棱錐可以補(bǔ)充為一個(gè)正方體，這些條件、所求、解題方法都在考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力和基本素養(yǎng)，所以說(shuō)試題注重情境的典型性、條件的基本性和解題方法的通用性，是“四翼”之基礎(chǔ)性特征的顯現(xiàn). 在“綜合性”緯度上，本題的第一個(gè)綜合點(diǎn)是在直線l的畫(huà)法上，題目沒(méi)有在已知的圖形上給出直線l，而是通過(guò)文字語(yǔ)言“設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l”描繪出直線的屬性，要求學(xué)生在只有一個(gè)公共點(diǎn)的圖形中作出直線l，綜合考查學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)水平;第二個(gè)綜合點(diǎn)是第（2）問(wèn)的探索與解答，難點(diǎn)表現(xiàn)在兩方面，一是線面角的圖難畫(huà)，難以找到斜線的射影，二是最值的尋找，需要綜合運(yùn)用幾何、三角、代數(shù)三方面知識(shí)解決問(wèn)題，考查學(xué)生靈活調(diào)用所學(xué)知識(shí)，采用科學(xué)有效方法解決問(wèn)題的能力水平，呈現(xiàn)出命題人高超的“綜合性”設(shè)計(jì)水平. 本題運(yùn)用空間向量知識(shí)和函數(shù)知識(shí)來(lái)解決立體幾何問(wèn)題，屬于“應(yīng)用性”緯度的展現(xiàn). 在“創(chuàng)新性”維度上，試題一改往年“一問(wèn)證明，二問(wèn)計(jì)算”的傳統(tǒng)套路，展現(xiàn)了一個(gè)探究最值的新面孔，體現(xiàn)了試題創(chuàng)新性的特點(diǎn)，而創(chuàng)新性的解法1，也體現(xiàn)出命題人對(duì)考生創(chuàng)新性解答的期待.

高考試題是一面鏡子也是一盞燈，它反映著考生的能力層次和素養(yǎng)水平，也給下一屆學(xué)生備考提供了努力的方向.在備考時(shí)，要關(guān)注立德樹(shù)人方面對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的具體要求，把價(jià)值觀的引領(lǐng)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生積極思考主動(dòng)探究，充分發(fā)揮學(xué)生理想信念和科學(xué)精神的引領(lǐng)作用;要關(guān)注核心價(jià)值、數(shù)學(xué)素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí)的研究與探索，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);要關(guān)注試題命制的特點(diǎn)，抓基礎(chǔ)、促綜合，注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)

[1] 教育部考試中心制定. 中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系[S]. 北京：人民教育出版社，2019.

[2] 祁平，任子朝，趙軒. 指明改革方向繪就培養(yǎng)藍(lán)圖[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，4（01）.

[3] 中華人民共和國(guó)教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

作者簡(jiǎn)介 李建國(guó)（1969—），男，山東沂南人，中學(xué)高級(jí)教師，山東省臨沂市教育科學(xué)研究與發(fā)展中心數(shù)學(xué)教研員，山東省骨干教師. 近年在省級(jí)以上刊物發(fā)表論文10余篇.