2020年高考數學全國Ⅰ卷圓錐曲線問題研究

周陽 潘紅娟

2020年受疫情影響，全國高考推遲到7月7日舉行.全國Ⅰ卷理科數學第20題、文科數學第21題是同一道關于圓錐曲線的題目，如下：

已知A、B分別為橢圓E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，其中AG·GB=8.P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.

結論7 如圖2所示，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y2=2px（p>0），點P為直線x=-t上任一點，直線PO與拋物線交于另外一點A，與x軸平行的直線PB與拋物線交于點B，則直線AB恒過定點（t，0）.

結論8 在平面直角坐標系xOy中，拋物線y2=2px（p>0），過x軸上任意點F（t，0）的直線交拋物線于A、B兩點（異于點O），直線PB與x軸平行，則直線AO與直線PB的交點P恒在定直線x=-t上.

結論9 在平面直角坐標系xOy中，拋物線y2=2px（p>0），過x軸上任意點F（t，0）的直線交拋物線于A、B兩點（異于點O），直線AO交直線x=-t于點P，則直線PB與x軸平行.

結論10 在平面直角坐標系xOy中，拋物線y2=2px（p>0），過x軸上任意點F（t，0）的直線交拋物線于A、B兩點（異于點O），直線PB與x軸平行，直線PB交直線x=-t于點P，則P、O、A三點共線.

在以上每個結論中，都有一個定點和一條定直線，其實它們都是相應圓錐曲線的極點與極線.因此以上10個結論其實就是圓錐曲線中極點與極線的性質，而且可以推廣到任意的極點與極線.只是如果極點不在坐標軸上，那么計算量會特別大，因此這類問題不適合出現在高考中.因此筆者這里只給出與結論1相對應的結論，其他的結論讀者可以仿照結論2-10自行寫出.

結論11 如圖3所示，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），點Q（x0，y0）關于橢圓C的極線為直線l：x0xa2+y0yb2=1，點P為直線l上任一點，點A、B為直線OQ與橢圓C的兩個交點，直線PA、PB與橢圓交于另外兩點M、N，則直線MN恒過點Q（x0，y0）.

本結論的證明過程計算量十分巨大，有興趣的讀者可以嘗試自行證明.