注重深度思考，追求深刻理解

靳穎

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);方與圓;深度學(xué)習(xí);深度思考;深刻理解

【背景】

教學(xué)這節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了圓、長方體、正方體以及百分?jǐn)?shù)的相關(guān)知識，并能綜合應(yīng)用相關(guān)知識解決一些實(shí)際問題。圓的面積以及與圓有關(guān)的組合圖形面積的練習(xí)靈活多變、計(jì)算煩瑣，學(xué)生解題易錯。筆者認(rèn)為，教師對于方與圓的教學(xué)不能囿于課本、淺嘗輒止，而應(yīng)依據(jù)方與圓的組合中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)規(guī)律，設(shè)計(jì)相應(yīng)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓知識的本質(zhì)活起來，讓學(xué)生的思維動起來，從而使學(xué)生真正實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。因此，筆者將方與圓這兩個有著密切聯(lián)系的內(nèi)容整合設(shè)計(jì)成一節(jié)課——《神奇的方與圓》，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深、由易到難、由薄到厚，循序漸進(jìn)地進(jìn)行探究，尋求方與圓之間“你中有我”“我中有你”的神秘關(guān)系，發(fā)現(xiàn)并找出規(guī)律。同時，將數(shù)學(xué)知識延伸至生活，將“生活中的數(shù)學(xué)”引入課堂，充分利用學(xué)習(xí)資源促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，將知識生活化，讓數(shù)學(xué)思維化。

【教學(xué)過程及分析】

一、談話引入，提出問題

師（出示北京天壇照片）：這是老師假期出去旅游時拍攝的照片，知道是哪里嗎？（北京天壇）建筑師們在設(shè)計(jì)此建筑時考慮到哪些幾何元素？（方形、圓形……）（出示天壇的俯視圖）看到這張圖，你想到了什么？（沒有規(guī)矩不成方圓、外方內(nèi)圓、天圓地方……）你能和大家說說天圓地方是什么意思嗎？老師給大家?guī)砹藥讖垐D片，如果用數(shù)學(xué)的眼光來觀察，你看到了什么？

生：圓和正方形組合在一起，外圓內(nèi)方，外方內(nèi)圓……

師：這節(jié)課，我們就一起走進(jìn)方與圓的世界，共同探究方圓之間的奧秘。

學(xué)生在欣賞北京天壇照片的過程中，感悟到中國自古以來就有“天圓地方”之說。在欣賞中國古代建筑中經(jīng)典造型圖案時，激起了學(xué)生探索方圓之間奧秘的欲望。

二、自主探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1. 初步探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

（1）觀察發(fā)現(xiàn)問題

師（出示幾個具有正方形內(nèi)接圓特征的圖形）：這些圖形有什么共同特征？

生1：這些圖形都是由一個正方形和一個圓組成的。

生2：正方形里都有一個圓，都是正方形內(nèi)最大的圓。

師：觀察得真仔細(xì)！是的，正方形內(nèi)都有一個最大的圓。如果給出正方形的面積，你能求出正方形內(nèi)最大圓的面積嗎？

（2）探究解決問題（出示研究單1，如圖1）

學(xué)生獨(dú)立探究后匯報(bào)展示：

第一題：方法一是直接算出圓的半徑r 再求圓的面積;方法二是通過做輔助線，直觀看到這個正方形面積的四分之一就是r2，知道r2 就能求出圓的面積。

第二題：用40÷4把正方形的面積40cm2平均分成4 份，求出一個小正方形的面積是10cm2，一個小正方形的面積是r2即r2=10，從而算出圓的面積是10πcm2。

師：對比這三道題，第一題可以先直接求出r，也可以先直接求出r2，再計(jì)算圓的面積。后兩題能直接求出r 嗎？（不能）后兩題借助輔助線，可直接求出r2，再求出圓的面積。大家都很聰明，能根據(jù)具體問題，采用靈活變通的方法解決問題。

（3）探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律師：觀察比較表格中的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什

么？（展示學(xué)習(xí)單并匯報(bào)）

生1：我發(fā)現(xiàn)正方形的面積與圓的面積之比是4∶π。

生2：圓的面積∶正方形的面積=π∶4。

生3：圓的面積是正方形面積的π4，我是用分?jǐn)?shù)來表示的。

師：非常好！還有不同的表示方法嗎？

生4：正方形的面積除以圓的面積等于π4，正方形的面積是圓的面積的78.5%。

師：如果我們統(tǒng)一用圓的面積比正方形的面積等于π∶4，它的比值就是——（π4），比值化成小數(shù)是多少？（0.785 ）（ 板書：S圓∶S正= π∶4=0.785）

例題的設(shè)計(jì)由易到難，層次分明。正方形的面積由36到40再到a，解題的難度逐步加大，學(xué)生發(fā)現(xiàn)正方形的面積是36時，可以求出r，也可以求出r?，但當(dāng)正方形面積為40或a時，學(xué)生利用現(xiàn)有知識不能直接求出r，只能通過添加輔助線另辟蹊徑求出r2，再求出圓的面積，呈現(xiàn)出靈活多樣的解題思路。學(xué)生親歷操作、觀察、比較和歸納等活動過程，發(fā)現(xiàn)了方中圓兩者之間的奧秘。

2. 深入探究，內(nèi)化規(guī)律

師：我們已經(jīng)探究出，在正方形內(nèi)畫一個最大的圓，圓的面積與正方形的面積之間的關(guān)系。如果在正方形內(nèi)畫四個盡可能大的等圓呢？（出示研究單2，如圖2）

學(xué)生獨(dú)立探究后匯報(bào)：有的學(xué)生將正方形的邊長設(shè)為8cm，有的學(xué)生直接把圓的半徑設(shè)為r，都推出四個等圓的面積之和∶正方形的面積=π∶4;有的學(xué)生把正方形的邊長設(shè)為2cm，得出四個等圓的面積之和是正方形面積的π4;還有的學(xué)生把大正方形平均分成四個小正方形，由前面推出的在一個正方形里畫一個最大的圓，圓的面積與正方形的面積的比是π∶4，推出在四個小正方形中，相應(yīng)的圓與小正方形的面積之比是π∶4，從而類推出四個等圓的面積之和∶正方形的面積=4π∶16=π∶4。

師：我們通過多種方法證明了四個等圓的面積之和與正方形的面積之間的關(guān)系。其實(shí)，直接利用前面得出的結(jié)論就可以推理得到。一個小圓的面積是小正方形面積的π4，大正方形內(nèi)四個等圓的面積之和就是這個大正方形面積的π4。猜想一下，你還能想到什么？

生1：8個圓。

生2：8個不行，必須是平方數(shù)，如3?=9、4?=16……36個、100個、10000個……

師：到現(xiàn)在為止，能用一句話來概括你們的發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：圖形中圓的面積之和與正方形的面積之比是π∶4。

生2：每個圖中圓的面積之和都是正方形面積的78.5%。

生3：圓的面積之和∶正方形的面積=π∶4=0.785。

此環(huán)節(jié)從正方形內(nèi)切一個圓延伸到正方形內(nèi)切四個圓，學(xué)生再次探究發(fā)現(xiàn)四個圓的面積之和∶正方形的面積=π∶4，此時學(xué)生展開想象的翅膀，正方形內(nèi)切9 個圓、16 個圓、25 個圓、100 個圓、10000 個圓…… 同樣存在這樣的關(guān)系——圓的面積之和∶正方形的面積=π∶4。探究內(nèi)容從一般到特殊、由易到難、由少到多，學(xué)生積極主動地投入“大膽猜想—驗(yàn)證數(shù)據(jù)—總結(jié)規(guī)律”的探究中，思維的大門逐步打開，促成了數(shù)學(xué)思考，提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、巧妙整合，融會貫通

1. 巧妙對比，拓展規(guī)律。

師：研究了正方形內(nèi)切等圓的面積與正方形的面積之間的關(guān)系，你們還想探究什么？

生：圓內(nèi)畫最大的正方形。

師：如果給出這些正方形的面積，你能求出相應(yīng)的外接圓的面積嗎？（出示研究單3，如圖3）

學(xué)生獨(dú)立探究后匯報(bào)：針對第一個圓內(nèi)接正方形，有的學(xué)生通過畫對角線，由正方形的面積=對角線×對角線÷2推出圓的直徑;有的學(xué)生通過畫對角線把正方形平均分成四個小等腰直角三角形，得出14正方形的面積=r2÷2，進(jìn)而求出r2;有的學(xué)生通過畫對角線把正方形平均分成兩個三角形，三角形的面積=底×高÷2，三角形的高=r，三角形的底=d=2r，從而算出三角形面積=2r×r÷2=r2，由正方形內(nèi)有兩個三角形推出r2=9。盡管方法不同，但大家都推出圓的面積是9πcm2。

在學(xué)生探究出方中圓兩者間關(guān)系的基礎(chǔ)上，順應(yīng)學(xué)生的思維接著探究圓中方兩者之間的關(guān)系，學(xué)生親歷從正、反兩個方向思考探究的過程，培養(yǎng)了從多角度思考問題的意識，同時培養(yǎng)了逆向思維能力。

皮亞杰認(rèn)為，隨著學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)的知識越來越多，應(yīng)引導(dǎo)他們認(rèn)清所學(xué)知識之間的聯(lián)系，主動構(gòu)建認(rèn)知圖式。因此，教師順應(yīng)學(xué)生的思維發(fā)展，在探究方與圓兩者間關(guān)系的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生大膽想象把上面兩次研究的圖形組合在一起是怎樣的圖形，并引導(dǎo)學(xué)生探究三者之間的關(guān)系，讓單一知識聚合成結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的知識整體。

圓柱體的體積還沒有學(xué)習(xí)，但隨著教師的追問，學(xué)生展開想象的翅膀，借助已有長（正）方體的相關(guān)知識和課中得出的規(guī)律推理出：正方體內(nèi)切1個、4個、9個……更多個最大的圓柱體，圓柱體積∶長（正）方體體積=0.785;反之，圓柱體里內(nèi)接最大長（正）方體，圓柱體積∶長（正）方體體積=1.57。從面到體，從二維到三維，學(xué)習(xí)由淺入深，學(xué)生的思維得到了跨越式提升。

四、應(yīng)用規(guī)律，升華延伸

師：生活中也有一些神奇的數(shù)字，誰來說說？

生：0.618。

師：這是大自然的杰作——黃金分割點(diǎn)，美麗的蒙娜麗莎、東方明珠中都有黃金分割點(diǎn)，芭蕾舞演員踮起腳尖跳舞也是為了出現(xiàn)黃金分割點(diǎn)，給觀眾帶來美的享受。在生活中，我們不能只看表面現(xiàn)象，還要透過表象看到蘊(yùn)藏在其中的數(shù)學(xué)奧秘。

結(jié)合生活中一些神奇的數(shù)，如0.618，使學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)來源于生活并應(yīng)用于生活，體會數(shù)學(xué)的無窮魅力，激發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的情感。

上述案例，筆者主要從以下兩方面進(jìn)行教學(xué)：一是精心選用素材，挖掘教育價值。三組學(xué)習(xí)素材（方中圓、圓中方和平面到立體）新穎且順應(yīng)學(xué)生的思維特征。整個探究過程由簡到繁、由易到難、由少到多、由面到體，學(xué)生經(jīng)歷了由薄到厚積累知識的過程，這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維發(fā)展順序，促進(jìn)了他們思維的提升和進(jìn)階。二是倡導(dǎo)深度教學(xué)，培育核心素養(yǎng)。這節(jié)課并不滿足于學(xué)生會求“方中圓”和“圓中方”的面積，通過“方中圓”和“圓中方”的相應(yīng)圖形的面積表象進(jìn)一步研究深層次的問題，巧妙整合進(jìn)而拓展到三者、四者之間的關(guān)系，學(xué)生的探究逐步深入，思維的火花在不斷碰撞中自然迸發(fā)，學(xué)生自然步入深度學(xué)習(xí)、深度思考、深刻理解。