動態生產計劃下多工序柔性制造系統預防維護決策

祝米鑫， 葛亞雄， 周曉軍

(上海交通大學 機械與動力工程學院，上海 200240)

符號說明

an—第n臺設備的預防維護改善因子

asys—系統的預防維護方案

asys,*—系統的最優預防維護方案

bn—預防維護后，第n臺設備的故障遞增因子

Dk—第k批產品的數量

E(a)—預防維護方案a下系統的期望維護成本率

hkn(νkn(t))—第n臺設備在生產第k批產品時的故障率函數

ik—第k批產品的類別

K1—階段 I 中的產品種類數

K2—階段 II 中的產品種類數

M—工序總數量

N—設備總數量

Nm—第m道工序中的設備總數量

P(Ω)—生產計劃Ω出現的概率

Qn—第n臺設備的預防維護成本參數

Rn—第n臺設備的預防維護時間參數

Sk—系統在加工第k批產品時單位時間的加工數量

Ui,m—第i個產品類別在第m道工序中的工序能力需求

Vi—第i個產品類別的單位價格

vkn—第n臺設備在生產第k批產品時的實際加工速度

vm—第m道工序中設備的最大(安全)加工速度

Wkn—第n臺設備在生產第k批產品時的啟動狀態

x—負載影響因子縮放比例

βn—第n臺設備的負載影響因子

γn—第n臺設備的故障率函數的形狀參數

ηn—第n臺設備的故障率函數的生命特征參數

μn—第n臺設備的故障加速調整系數

νkn(t)—第n臺設備在生產第k批產品時的虛擬役齡

τk—第k批產品的加工時間

多工序柔性制造系統是多品種小批量生產模式下企業普遍采用的一種生產系統，可根據所需加工的產品種類動態地調整系統結構和設備加工速度，從而快速地響應市場變化并滿足客戶需求.通常，不同的產品種類對加工速度、進給速率等的需求也不同，導致設備工作負荷有所變化，而這會直接影響設備的衰退速率，改變系統的預防維護需求.為此，如何針對多工序制造系統的柔性特征制定有效的預防維護方案，以提高系統穩定性并快速響應客戶需求，是提升企業競爭力的關鍵問題.

現有的預防維護理論多假設設備的生產環境、所生產的產品種類等均處于穩定狀態，進而基于設備的歷史故障信息獲取設備的故障率函數并建立預防維護模型[1-3].金琳等[4]以租賃設備為對象，基于設備固有衰退率模型，提出等周期和變周期相結合的多階段預防性維護策略.董克等[5]以二手設備為研究對象，基于歷史故障數據建立設備故障率分布函數，并提出一種每次維護時設備虛擬役齡減少相同量的周期預防維護策略模型.Wang等[6]研究了產品靈活延長保修策略，基于基礎保修期的維護數據獲取設備的故障率函數，考慮了不同用戶對設備的使用率不同，對客戶群體進行劃分，針對不同客戶提供不同的延長保修服務，且由客戶與企業共同決策設備維護計劃.綜合來說，以上研究忽略了設備在生產過程中負載的動態變化對衰退過程的影響，基于歷史故障信息的設備預防維護模型也欠缺有效識別變負載設備維護需求的能力.為此，部分學者引入生產負載變化對設備故障率的影響機制.胡家文等[7]基于加速衰退模型構建變負載設備衰退模型，并通過等效役齡轉換的方式構建起連續時變工況下設備衰退及預防維護模型，提出批量生產模式下基于當前生產計劃信息的動態預防維護決策模型.You等[8]考慮修復非新和變工況的聯合影響，基于擴展比例故障率模型(EPHM)，構建連續變化的工況下設備的預防維護模型，以設備利用率最大為目標函數，提出基于可靠度的維護策略以及基于故障率的設備維護策略.Kang等[9]引入設備生產率對衰退速率的影響機制，研究變化生產率下單設備生產系統的維護控制策略，進而獲得優化的生產率、預防維護周期和維護水平.Wang等[10]以連續租賃設備為研究對象，考慮設備連續租賃給使用率不同的多個用戶，每次租賃前基于當前用戶使用率和租賃時間，動態決策預防維護周期和維護次數.現有變負載設備的維護研究多針對單設備系統，而沒有從多工序制造系統的整體視角出發，綜合考量柔性作業下生產計劃、產品種類等引起的負載變化對系統設備性能衰退的影響，進而制定有效的整體維護策略.

部分學者也針對多設備系統開展預防維護與生產計劃聯合建模研究.Xu等[11]基于預防維護時間窗策略，研究多設備系統作業順序與預防維護活動的聯合優化問題，同時優化系統的作業安排和維護計劃.Aghezzaf等[12]以多條串行生產線組成的并行離散制造系統為研究對象，以最小化總作業成本為目標，建立作業排序以及預防維護聯合優化模型.陸志強等[13]在考量維護策略的基礎上，構建不確定性環境下預防性維護和生產調度的集成優化模型，在模型中以工件的最終完工時間期望值為質量魯棒性指標、以所有工序的開始加工時間的延遲總和的期望值為解魯棒性指標，最終決策出各工序的開始時間和預防性維護位置.Alimian等[14]以多狀態系統為研究對象，考慮在不確定需求的情況下以系統總生產能力以及維護成本方差為目標函數，應用魯棒性優化方法，決策出最優的系統生產計劃以及預防維護時間.現有的聯合建模研究仍局限于成本層面，而沒有涉及由生產計劃變動影響設備衰退進而改變多設備系統整體維護需求的底層機制，無法表征柔性作業下生產計劃與設備維護需求的動態關聯.

為此，本文針對多工序柔性制造系統面臨的變負載環境，從動態生產計劃出發解析系統的運行負載狀態，基于比例故障率方法對變負載設備進行故障建模，構建了基于故障遞增因子和維護改善因子的雙因子混合修復非新模型，并提出基于動態生產計劃階段的期望維護成本率，以優化預防維護決策.

1 問題描述及維護策略

考慮由M道工序組成的多工序柔性制造系統，每道工序中有Nm臺加工設備，如圖1所示.

圖1 多工序柔性制造系統結構圖

由于客戶需求的變動特性，企業制定短期生產計劃并動態調整產品計劃量，假設在確定計劃周期內加工K1批產品，動態計劃周期內加工K2批產品.為盡量減少維護停機對系統生產過程的影響，預防維護只能安排在每一生產周期結束后的空檔期.在此約束下，預防維護決策時需綜合考慮系統在上一生產周期(即階段 I)以及下一生產周期(即階段 II)的負載狀態，如圖2所示.其中：階段 I 為確定生產計劃周期，由于這一階段的生產任務結束于預防維護之前，在本次維護活動實施時階段生產計劃已知，所以系統負載狀態已成為確定的歷史信息；階段 II 為動態生產計劃周期，該階段晚于本次維護決策，生產計劃未知，系統負載狀態為動態預測信息.

設備的狀態受到運行負載的影響，假設非生產時間范圍內不發生故障，生產期間如發生故障則立刻進行小修.小修可恢復設備功能，但不改變設備的故障率狀態.由于小修時間相對生產時間來說較短，其修復時間忽略不計，對系統的影響只體現為增加小修成本和浪費生產能力.預防維護只能使設備修復非新，其無法使設備回復到全新狀態.

此外，對多工序柔性制造系統做如下假設：

(1)為了提高生產效益，系統以小批生產方式運行，在一個生產批次之內，系統的負載狀態穩定，因此設備的運行負載呈現出分段恒定的特點；

(2)出于對安全和加工質量的考慮，應避免設備的加工速度、進給率、單位時間切削量等參數高于安全上限；

(3)設備所在工序不變，考慮到生產線平衡和提高設備工作效率的要求，在工序內當生產能力過剩時，部分設備停機以避免處于低效運行狀態.

(4)考慮到現場管理的復雜性，企業選擇在維護活動完全結束之后進行下一批產品的生產.

2 考慮動態生產計劃的系統維護決策

基于以上維護策略，動態生產計劃下多工序柔性制造系統的維護建模主要包括3方面內容.首先，需描述運行負載對設備衰退的影響，建立設備故障率函數模型；其次，建立設備修復非新模型，表征維護提高設備性能的機制；最后，依據動態生產計劃下各設備性能的表現，建立系統維護成本率函數模型，以評價系統的預防維護效果并優化維護方案.

2.1 變負載下的設備故障建模

在運行過程中設備會發生自然衰退，其故障率表現出固有特性，同時運行負載的差異會顯著影響設備故障率，如圖3所示.比例故障率模型可有效表征設備故障率固有特性疊加實時狀態的聯合影響[15]，為此，擬基于比例故障率模型對變負載下的設備進行建模，第n臺設備生產第k批產品時的故障率函數hkn(νkn(t))可定義為

hkn(νkn(t))=

(1)

式中：Wkn只有兩種取值，Wkn=1表示設備處于啟動狀態，Wkn=0表示設備處于停機狀態.νkn(t)受到維護活動和設備啟動選擇的影響.

為了分析系統故障水平，首先需要獲取系統中設備的運行狀態以及負載信息.在多品種小批量生產模式下，由于不同產品對各工序的加工能力需求量不同，產品種類的變化不僅會影響設備的加工負載情況，同時會影響設備的啟停狀態，也即影響Wkn的取值.比如，某一品類下某一工序可能不需要啟動所有設備就可以滿足加工需求.在這種情況下，加工設備的選用規則會直接影響設備的后期衰退過程.出于對這一事實的考慮，擬基于設備虛擬役齡動態地選擇啟動設備，具體規則為

(1)同工序內選用設備時，在能夠滿足加工能力需求的前提下開啟盡可能少的設備，以避免設備處于低效運行狀態；

(2)虛擬役齡小的設備被選擇時優先于同工序內的其他設備；

(3)同工序中的啟動設備以相同加工速度運行，以簡化生產現場的管理.

在進行設備選擇之前需依據產品的工序能力需求確定系統的加工能力，進而確定工序內啟動設備的數量以及啟動設備的運行時間.第m道工序在單位時間內加工產品ik的最大數量為

(2)

(3)

在確定了系統加工能力后，可以進一步確認各工序的啟動設備數量.在各工序內，開動設備最大加工能力之和不小于系統的實際加工能力，由此可以計算出各工序應開動的設備數量.第m道工序在加工第k批產品時開動的設備數量為

(4)

τk=Dk/Sk

(5)

確認了設備的啟停動作之后，生產作業計劃就可轉化為各設備具體的作業計劃，在此基礎上可獲得與設備衰退過程相關的信息，包括虛擬役齡和負載狀態.由設備運行時間可計算設備的虛擬役齡為

(6)

(7)

由于設備并非全新狀態，定義ν0n(0)=ν0n為設備在階段 I 的初始虛擬役齡.由設備啟停選擇結果以及產品的工序能力需求量，可以進一步確定設備的負載狀態.工序內開動設備實際生產能力之和等于系統生產能力，所以第m道工序中第n臺設備的實際加工速度為

(8)

至此，可依據vkn計算得到啟動第n臺設備在生產第k批產品時的運行負載Lkn.通常，Lkn與vkn呈現正相關性，故利用設備加工速度定義設備運行負載[16-17].第n臺設備加工第k批產品時的運行負載定義為

Lkn=vkn

(9)

2.2 考慮歷史故障信息的混合因子修復非新模型

在修復非新理論中，預防維護不能使設備修復到全新狀態.設備的綜合故障水平會影響維護后設備的固有故障率演化規律，由于設備故障率隨負載動態變化，維護后設備的固有故障率函數呈現出差異性.此外，預防維護能夠減少設備的虛擬役齡.基于以上考慮，構建混合因子修復非新模型以表征設備的維護效果.在所構建的新模型中，預防維護后設備的固有故障率演化規律為

(10)

k=K1+1,K1+2,…,K1+K2

考慮到故障率加速效應與歷史故障狀態的關聯，定義bn為

(11)

(12)

2.3 期望維護成本率建模

E(asys)=∑Ωc(Ω,asys)P(Ω)

(13)

式中：c(Ω,asys)為確定的生產計劃Ω=(iK1+1,DK1+1),(iK1+2,DK1+2),…,(iK1+K2,DK1+K2)和預防維護方案asys=a1,a2,…,aN下的系統維護成本率.基于以上定義，期望維護成本率的計算分為兩步,首先計算每一Ω下系統的維護成本率，其次根據Ω的概率分布計算其期望維護成本率.

2.3.1確定生產計劃下的維護成本率建模 根據所建立的故障率模型和修復非新模型，確定Ω和asys下各設備的故障率函數及維護效果，系統的維護成本率可定義為

(14)

據此，多工序制造系統的預防維護成本為

(17)

(18)

(19)

(20)

2.3.2動態生產計劃下期望維護成本率建模 在制定預防維護決策時，系統在下一周期的負載分配情況為未知信息，各設備的衰退過程隨訂單信息更新而變化.進行預防維護決策時，以各預期生產計劃下維護成本率的期望值最小為目標函數.根據建立的模型，動態生產計劃下系統期望維護成本率為

(21)

在每一確定生產計劃下，系統中各設備運行狀態及運行負載可根據式(2)～(9)計算，根據式(14)～(20)可計算其相應生產計劃下的維護成本率，最終可得隨機生產計劃下系統期望維護成本率.

3 預防維護方案優化

對于一個由N臺設備組成的多工序柔性制造系統，預防維護決策時需同時優化N個決策變量，假定an的可選水平數為I，則備選解空間大小為IN，這意味著使用枚舉法進行求解的計算復雜度為多工序柔性制造系統中設備總數N的指數級.為了降低求解復雜度，減少計算時間，設計貪婪約束求解算法，具體步驟為添加預防維護時間約束以限制預防維護的停機成本；在此基礎上，各子系統也即各個工序內部分別進行決策變量優化以獲得預防維護時間約束下的最小期望維護成本率；根據所獲得的局部優化解獲取下一輪循環中的預防維護時間約束；依次循環直至系統整體的期望維護成本率不再下降，最終可獲得優化的預防維護時間與維護方案.

(22)

定義簡化變量Ψkn為

根據Ψkn的定義，可得到定理

(23)

(24)

在預防維護時間約束下，第m道工序的期望維護成本率優化模型可定義為

(25)

(1)搜索子系統1的決策變量a1,a2,…,aN1以求解子系統1的最低期望維護成本率；

(2)搜索子系統2的決策變量aN1+1,aN1+2,…,aN1+N2以求解子系統2的最低期望維護成本率；

貪婪約束算法將模型求解復雜度降低為并行機數量的指數級INm，降低了計算量，提高了求解效率.

4 算例分析

考慮由9臺設備組成的串并聯多工序制造系統，該系統生產4種產品，比如型號不同的發動機氣缸體.該系統包含4道工序，工序1為粗銑工序，有3臺銑床；工序2為粗鏜工序，有3臺鏜床；工序3為鉆孔工序，有2臺鉆床；工序4為精鏜工序，有1臺鏜床.采用雙參數Weibull分布描述系統中設備的衰退過程，其一般形式為

(26)

式中：t為設備役齡.

考慮到設備并非全新狀態，增加第n臺設備的歷史故障加速影響因子Bn表示之前維護活動的影響.為此，階段 I 中設備的固有故障率函數可改寫為

(27)

表1 多工序系統的維護參數

各工序中設備的最大加工速度vm=1，階段Ⅰ中的生產計劃參數如表2所示，產品工序能力的需求參數如表3所示.為簡化符號，表3中的Ui,m表示單個產品i在工序m中的產品能力需求，繼而可以獲得各批產品的生產時間τ1、τ2、τ3分別為43.0 h、86.0 h、36.3 h.依據生產計劃信息獲得的階段Ⅰ內各設備的負載狀態如表4所示.進而根據所建立的修復非新模型，可以獲得維護后各設備的故障遞增因子 bn分別為 1.061 2、1.027 0、1.023 3、1.006 9、1.016 6、1.011 2、1.004 7、1.005 3、1.027 5.

表2 階段 I 的生產計劃參數

表3 產品的工序能力需求量

表4 階段 I 內的系統負載狀態

表5 階段 II 的生產計劃參數

編程采用MATLAB 2016a軟件，操作系統為64位Windows 10，CPU為Intel Core i5-8250，1.8 GHZ，內存4 GB.分別采用3種方法進行求解：① 全局枚舉法，對每個候選預防維護方案計算其期望維護成本率，并選擇期望維護成本率最低的方案為最優方案；② 貪婪約束算法，根據貪婪約束算法步驟求解最優維護方案.通過求解發現，全局枚舉法用時6.4 h，最低期望維護成本率為513.56.為獲得相同的成本優化效果，貪婪約束算法用時103.4 s.可以看出，所提出的貪婪約束算法可大大提高模型的求解效率.貪婪約束算法下模型的求解結果如表6所示.

表6 貪婪約束算法下模型求解結果

表7 多種產品組合下工序3的預防維護方案

為了從維護的角度分析所建立的變負載下故障率模型的必要性，考慮以下3種情境進行模型對比.

S1：不考慮負載變化，假定每臺設備都滿負載運行，以設備在最大允許加工速度vm下的運行負載作為故障率模型的輸入，進而求解最優預防維護方案，并按照實際故障率模型計算相應維護方案下的期望維護成本率；

S3：考慮設備運行負載的變動，按照變動負載下的故障率模型求解最優預防維護方案，并計算其相應的期望維護成本率.

3種情境下的預防維護方案如表8所示.由表8可知，在不考慮負載情境(S1)下，所獲得的預防維護方案相比動態負載情境(S3)存在較大的偏差，期望維護成本率高出45.16；平均負載情境(S2)忽視了設備運行負載的實際變化，期望維護成本率比S3高出1.58.以上結果表明，忽略系統運行負載的變動特征將會嚴重影響維護需求的準確表征，進而造成維護資源的浪費.

表8 3種情境下的預防維護方案

表9 負載變動幅度對期望維護成本率的影響

5 結語

針對產品種類變化引起的系統負載狀態變化，本文從多工序制造系統的動態生產計劃出發，基于比例故障率方法建立各設備的變負載故障率模型，以及考慮設備衰退程度的混合因子修復非新模型，進而結合動態生產計劃下系統負載狀態難以預知的特性，構建期望維護成本模型，并設計貪婪約束算法進行決策優化.算例分析及模型對比顯示，產品種類變化對預防維護決策的影響不可忽視，變負載故障率模型能夠更精準地識別系統維護需求，依據變負載故障率模型制定維護決策能夠有效地減少維護不足與維護過度現象的發生.此外，隨著運行負載變動幅度的增大，平均負載模型所引起的決策偏差隨之增大.可以預知，當系統中設備故障率受運行負載的影響明顯時，采用變負載故障率模型更有利于節約維護成本.