雙曲線的重要性質及應用

◇ 陜西 魏文宏

圖1

1 結合對稱性的應用

例1已知F1,F2是雙曲線的左、右兩焦點,若雙曲線左支上存在一點P與點F2關于直線對稱,則a的值為________.

解析

如圖2所示,P與F2關于直線對稱,連接PF2與直線交于點M,由性質有|OM|＝a,|F2M|＝b＝1,|PF2|＝2b＝2,由OM為△PF1F2的中位線知|PF1|＝2a,結合雙曲線的定義有2－2a＝2a,解得.

圖2

例2已知F1,F2是雙曲線b＞0)的左、右兩焦點,若雙曲線左支上存在一點P與F2關于直線對稱,則此雙曲線的離心率為________.

解析

設P與F2關于直線對稱,連接PF2與直線交于點M,根據雙曲線的性質有|OM|＝a,|F2M|＝b,|PF2|＝2b,由OM為△PF1F2的中位線可知|PF1|＝2a,結合雙曲線的定義有2b－2a＝2a,解得則離心率e＝.

例3過雙曲線的右焦點F作一條漸近線的垂線,垂足為A,與另一條漸近線交于點B,點Q是圓x2＋y2＝a2上的一個動點.若的最大值為6,則雙曲線的方程為________.

解析

圖3

例4已知雙曲線的左焦點為F,A是雙曲線C的左頂點,雙曲線的一條漸近線與直線且FP⊥AM,則雙曲線C的離心率為( ).

解析

如圖4所示,由雙曲線的性質可知,FP⊥OP,|FP|＝b,|OP|＝a,|OF|＝c.又因為且FP⊥AM,所以AM垂直平分FP,AM為△OPF的中位線,所以

圖4

例5已知雙曲線的左、右焦點分別為F1,F2,過點F1作圓x2＋y2＝a2的切線交雙曲線右支與點M,若則雙曲線的離心率為( ).

解析

如圖5所示,由雙曲線的性質知,F1P⊥OP.|F1P|＝b,|OP|＝a,|OF1|＝c.作F2Q⊥F1M于Q,則

圖5

|QM|＝|F2Q|＝2a,,由雙曲線的定義知,|MF1|－|MF2|＝2a,即2b＋,故選B.

2 在高考中的應用

例6(2019年全國卷Ⅰ理16)已知雙曲線C:的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線與C的_兩條漸近線分別交于A,B兩點.若則C的離心率為_____.

解析

圖6

例7(2018年天津卷理7)已知雙曲線1(a＞0,b＞0)的離心率為2,過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點.設A,B到雙曲線同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1＋d2＝6,則雙曲線的方程為( ).

解析

如圖7所示,由d1＋d2＝6,得雙曲線的右焦點到漸近線的距離為3,所以b＝3.因為雙曲線(a＞0,b＞0)的離心率為2,所以所以,解得a2＝3,所以雙曲線的方程為故選C.

圖7

例8(2018年全國卷Ⅲ理11)設F1,F2是雙曲線的左、右焦點,O是坐標原點.過F2作C的一條漸近線的垂線,垂足為P.若則C的離心率為( ).

圖8

解析

如圖8所示,由雙曲線的性質知|OP|＝a,|F2P|＝b,在Rt△F2PO中,|F2O|＝c,|OP|＝a,所以c,所以在△F1PO與Rt△F2PO中,根據余弦定理得

即3a2＋c2－(6a)2＝0,則3a2＝c2,所以,故選C.

例9(2014年全國卷Ⅰ理4)已知F是雙曲線C:x2－my2＝3m(m＞0)的一個焦點,則點F到C的一條漸近線的距離為( ).

解析

例10(2017年江蘇卷理8)在平面直角坐標系xOy中,雙曲線的右準線與它的兩條漸近線分別交于點P,Q,其焦點是F1,F2,則四邊形F1PF2Q的面積是________.

解析

鏈接練習

1.(2018年江蘇卷理8)在平面直角坐標系xOy中,若雙曲線的右焦點F(c,0)到一條漸近線的距離為,則其離心率的值是________.

2.已知F1,F2是雙曲線的左、右焦點,若點F1關于雙曲線漸近線的對稱點P滿足∠OPF2＝∠POF2(O為坐標原點),則C的離心率為( ).

3.已知雙曲線的右焦點為F2,若C的左支上存在點M,使得直線bx－ay＝0是線段MF2的垂直平分線,則C的離心率為( ).

4.已知F1,F2是雙曲線的左、右焦點,漸近線分別為l1,l2,過點F1且與l1垂直的直線分別交l1及l2于P,Q兩點,若滿足則雙曲線的漸近線方程為( ).

鏈接練習參考答案:

1.2.2.B.3.A.4.C.