例談2020年高考圓錐曲線定義的應(yīng)用

◇ 山東 蘇麗娟

圓錐曲線的定義既是重要的數(shù)學(xué)概念,也是解答許多問題的重要工具,因此成為高考考查的重點(diǎn).在解答問題時(shí),若能靈活、巧妙地應(yīng)用圓錐曲線的定義,就能深化對圓錐曲線概念的理解,同時(shí)還能提高運(yùn)用定義去分析和解決問題的能力,開拓解題思維與視野.下面舉例說明圓錐曲線定義在求解2020年有關(guān)高考題中的應(yīng)用.

1 求參數(shù)的值

例1(全國卷Ⅰ理4)已知A為拋物線C:y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn),點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12,到y(tǒng)軸的距離為9,則p＝( ).

A.2 B.3 C.6 D.9

解析

利用拋物線的定義建立方程即可得到答案.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為9,即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為9,由拋物線的定義知|AF|＝解得p＝6,故選C.

點(diǎn)評

本題主要考查利用拋物線的定義計(jì)算參數(shù)p的值,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸能力.

例2(全國卷Ⅲ理11)設(shè)雙曲線(a＞0,b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為是C上一點(diǎn),且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面積為4,則a＝( ).

A.1 B.2 C.4 D.8

解析

根據(jù)雙曲線的定義、三角形面積公式、勾股定理,結(jié)合離心率公式,即可得出答案.因?yàn)?根據(jù)雙曲線的定義可得|PF2|＝4,即|PF1|·|PF2|＝8.

因?yàn)镕1P⊥F2P,所以|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2,所以(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2,即a2－5a2＋4＝0,解得a＝1或a＝－1(舍),故選A.

點(diǎn)評

本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)以及定義的應(yīng)用,涉及勾股定理及三角形面積公式的應(yīng)用.

2 判斷位置關(guān)系

例3(北京卷7)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O,焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.P是拋物線上異于O的一點(diǎn),過P作PQ⊥l于Q,則線段FQ的垂直平分線( ).

A.經(jīng)過點(diǎn)OB.經(jīng)過點(diǎn)P

C.平行于直線OPD.垂直于直線OP

解析

依據(jù)題意不妨作出焦點(diǎn)在x軸上的開口向右的拋物線,根據(jù)垂直平分線的定義和拋物線的定義可知,線段FQ的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P.如圖1所示,因?yàn)榫€段FQ的垂直平分線上的點(diǎn)到F與Q的距離相等,且點(diǎn)P在拋物線上,根據(jù)定義可知,|PQ|＝|PF|,所以線段FQ的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P,故選B.

圖1

點(diǎn)評

本題根據(jù)線段的垂直平分線和拋物線的定義作出判斷,考查了拋物線的定義的應(yīng)用.

3 求長度

例4(江蘇卷18,節(jié)選)如圖2所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)A在橢圓E上且在第一象限內(nèi),AF2⊥F1F2,直線AF1與橢圓E相交于另一點(diǎn)B.求△AF1F2的周長.

解析

根據(jù)橢圓定義可得|AF1|＋|AF2|＝4,從而可求出△AF1F2的周長.因?yàn)闄E圓E的方程為F2(1,0).由 橢 圓 定 義,得|AF1|＋|AF2|＝4,所以△AF1F2的周長為4＋2＝6.

圖2

點(diǎn)評

本題是橢圓定義的典型應(yīng)用,一般地,已知橢的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)A是橢圓上的點(diǎn),則△AF1F2的周長為2(a＋c).

例5(新高考卷13)斜率為的直線過拋物線C:y2＝4x的焦點(diǎn),且與C交于A,B兩點(diǎn),則|AB|＝________.

解析

先根據(jù)拋物線的方程求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),再利用點(diǎn)斜式得出直線方程,與拋物線方程聯(lián)立消去y并整理得到關(guān)于x的一元二次方程,最后利用拋物線定義求得結(jié)果.

因?yàn)閽佄锞€的方程為y2＝4x,所以拋物線焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0).又因?yàn)橹本€AB過焦點(diǎn)F且斜率為,所以直線AB的方程為y＝(x－1),代入拋物線方程消去y并化簡得3x2－10x＋3＝0,Δ＝100－36＝64＞0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則.過A,B分別作準(zhǔn)線x＝－1的垂線,設(shè)垂足分別為C,D,如圖3所示,則

圖3

點(diǎn)評

本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,同時(shí)考查了拋物線定義的應(yīng)用.

例6(浙江卷8)已知點(diǎn)O(0,0),A(－2,0),B(2,0).設(shè)點(diǎn)P滿足|PA|－|PB|＝2,且P為函數(shù)圖象上的點(diǎn),則|OP|＝( ).

解析

根據(jù)題意和雙曲線的定義,可知點(diǎn)P既在雙曲線的一支上,又在函數(shù)的圖象上,從而可求出點(diǎn)P的坐標(biāo),得到|OP|的值.

因?yàn)閨PA|－|PB|＝2＜4,所以點(diǎn)P在以A,B為焦點(diǎn),實(shí)軸長為2,焦距為4的雙曲線的右支上,由c＝2,a＝1,可得b2＝c2－a2＝4－1＝3,即雙曲線的右支方程為而點(diǎn)P又在函數(shù)y＝的圖象上,所以由解得故選D.

點(diǎn)評

本題主要考查雙曲線定義的應(yīng)用,以及二次曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查了考生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4 求方程

例7(全國卷Ⅱ理19)已知橢圓(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合,C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A,B兩點(diǎn),交C2于C,D兩點(diǎn),且|CD|＝.

(1)求C1的離心率;

(2)設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn).若|MF|＝5,求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解析

(1)橢圓C1的離心率為(求解過程略).

(2)由(1)知a＝2c,b＝ 3c,橢圓C1的方程為的方程為y2＝4cx,聯(lián)立C1與C2的方程,求出點(diǎn)M的坐標(biāo),再利用拋物線的定義結(jié)合|MF|＝5可求得c的值,進(jìn)而可得出C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.聯(lián)立消去y并整理得3x2＋16cx－12c2＝0,解得或x＝－6c(舍去).

因此,曲線C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝12x.

點(diǎn)評

本題第(2)問考查了利用拋物線的定義求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查計(jì)算能力.

圓錐曲線的定義是用圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離來刻畫的,因此涉及圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問題,靈活運(yùn)用定義是問題獲解的根本,它是相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)的“源”,對于圓錐曲線的有關(guān)問題,要有運(yùn)用圓錐曲線定義解題的意識,“回歸定義”是圓錐曲線問題重要的求解策略之一.