分類討論思維在小學數學中的培養

江蘇省泰州市姜堰區東橋中心小學鳳凰園校區 張文虎

長久以來，小學數學教學如何在培養能力和熟練學習技巧之間掌握平衡，一直存在爭議。當下一些教師急于求成，正迎合一些家長望子成龍的心理，上課時不先按教學大綱進行常規的能力培養，反而利用數學科目本身題目難度彈性大的特點，給學生布置難題、怪題，讓學生在初步接觸新知識時就產生了巨大的心理壓力，長此以往，給學生留下了數學“雜、繁、難”的印象，甚至讓學生產生了厭學心理。其實對于數學而言，概念是最需掌握的基石，技巧貴在巧勁，但關鍵還在于思維方法。方法正確，解題就有方向。下文即是我對在課堂中培養分類討論這一思維的心得體會。

一、使學生明確分類討論思想的動機

在數學教學所需應用的諸多思維中，分類討論相對比較基礎，也更能讓小學生接受、學習，但每一種思維的成型都需要培養。啟發學生發現分類討論在生活中的實際作用，這樣的教學方案符合小學生數學教育在實際生活中的需要，情理上也更能讓學生迅速適應、反復應用這種思維。有時分類討論是出于計算的需要（如方程的計算），這類題目學生必然面臨分類的考究，并不會一下感到無所適從，而有時候分類討論則需要深入考究學生的思維能力（如排列順序），這類題目最宜啟發學生的分類討論思維，讓他們感受到分類討論是一種化復雜為簡單的思維辦法。

比如，小學數學中的一個經典案例——煎餅問題：一只平底鍋上只能煎兩只餅，用它煎一只餅需要兩分鐘（正面、反面各1 分鐘）。問煎三只餅需幾分鐘?怎樣煎？這個題目如果按生活常識來看，煎三只餅和煎四只餅可能所用時間是一樣的，也就是四分鐘（實際上大部分同學家里可能也是這么煎餅的）。但像這樣的優化統籌問題，如果經過分類討論，發現可以把第三個餅占用的時間拼接開，效率就可以獲得提高，只需要三分鐘就可以煎好三個餅。這類題目充滿極強的新穎性，打破了同學們的常規常識，在班級間迅速引起了討論。正逢當時的數學廣角需要學習很多的優化統籌問題，類似于做家務、種樹等，同學們漸漸明白了分類討論的作用，也開始能接受、應用這種意識了。

二、引導學生總結分類討論思想的步驟

不僅要引導學生接受分類討論，更要鍛煉他們總結出這一思維的分析步驟。通俗來講，要進行正確的分類討論，首先離不開正確的討論對象和正確的研究全域，這也是我們首先需要討論的內容。根據題意得出適用的討論范圍，才能開展下一步。其次是要對討論的問題進行合理的分類，這一部分需要注意不重復、不遺漏、標準統一、分層不越級等。接下來就需要對各項問題進行詳細討論，分層解決。這一部分的引導需要輔助以大量的習題，歸納總結，互相對比，才能總結出相應的步驟。但大部分時候，這些步驟也只是輔助思維方式的形成，學生能大致有意識地重復這些過程即可，無需照本宣科。

比如，在學習圖形概念時，為了增強同學們的圖形認識能力，我經常自己出一些題目，考查大家對圖形的了解程度。有一次我提出讓大家畫一個帶有30°角的不同三角形，要求種類越多越好，分類盡可能詳細。大部分同學簡單將它們分成了普通三角形、銳角三角形、帶有30°角的直角三角形、等腰三角形和鈍角三角形。這樣的分類結果讓人哭笑不得，可以看出，他們的分類方法是按銳角、直角、鈍角來劃分（其中還包括了兩個相等角的情況）。但是我提示，三角形三角之和只有180°（確定研究全域），建議他們除已知的30°外，選定一個角的情況開始進行討論。這一次大家的歸納就比較完全，已經可以把普通三角形和等腰三角形重新歸納到其他幾種三角形之中。三四次的導入啟發后，同學們對分類的認識越來越深入，已經形成了先劃定范圍再討論的思維習慣。

三、鼓勵學生總結分類討論思想的適用范圍

一些同學一旦掌握了分類討論的技巧，思維便縝密起來，甚至有時過于鉆牛角尖。市場上面向兒童的一些腦筋急轉彎圖書，過分討論一些不可能或不符合情理的情況，很多同學看完這些書，反而對分類討論產生了錯誤的理解和印象。其實并不是所有的題目都需要分類討論，當題意表達明確、概念唯一、圖文并存（圖形位置清晰），在計算方法上也只有一種思路時，過度的分類討論是不需要的。在解答或者應試中，只有正確處理哪些情況需要分類討論，提高解題效率，才能達到事半功倍的效果，否則很多時候過于看重分類討論思想，學生的解答大部分在做無用功。

比如，當我在班上講解質數、合數的概念時，有些習題要求寫出一百以內的質數，有些同學自己總結出一套分類討論法，先從一至十的情況開始，挨個把每個數字帶入進去思考，這樣分了十組，效率差強人意，雖然這種方法確實是可行的，但卻沒有掌握質數的真正內涵和題目的潛在要求。實際上，學生應先考慮清楚一到十的質數，大于十而不是這些質數倍數的奇數，絕對是質數，而不需要依次分類討論。何況這樣的分類討論無異于從一數到一百，并沒有討論的價值。經過多次矯正指導后，大部分同學改掉了“萬物皆可分類討論”的定式，而只將其作為一種普通方法去使用。

綜上所述，分類討論對小學生數學思維的不斷培養是一個循序漸進的過程。這種教育方法對學生的教育作用潛移默化，伴隨著學生邏輯能力的提高，同學們在未來學習的各個時期都能合理應用這種能力。與此相似的適用教學方法還有很多，我們教師應當不斷深入探索，提升教育質量。