專升本高等數學構造函數法證明等式或不等式解析

周隆明

摘? 要：高等數學是專升本選拔考試的一個重要科目，在高等數學考試中，證明題是令考生最傷腦筋的題目之一，證明題是綜合題，一道題10分，如果沒有好的思路，很難做正確。通過對浙江歷年專升本高數試題中的證明題分析，其中很多題目集中在函數單調性極值證明不等式和羅爾定理、拉格朗日定理證明等式兩個方面，這兩方面，均可用構造函數法來證明。構造函數法證明等式或不等式，最為關鍵的就是如何去構造一個合適的函數，如果函數構造得當，問題也就能很容易的解決。

關鍵詞：專升本;構造函數;證明題

一、函數單調性極值證明不等式

已知：lim┬（x→0）? （f（x））/x=1，f（0）>0，證明f（x）>=x

解析：要求證不等式，可以利用函數的單調性或極值來證明。

設F（x）=f（x）-x

因為lim┬（x→0）? （f（x））/x=1，則f（0）=0，f（0）=1。

F（0）=0，F（0）=f（0）>0，則F（x）在x=0處取得最小值F（0）=0

所以有F（x）>=0，即f（x）>=x，得證。

2.證明：當x>0時，cosx>1- x^2/2

解析：本題是利用函數的單調性來證明不等式的典型。

設f（x）=cosx-1+x^2/2，f（0）=0

f（x）=x-sinx，f（0）=0

f（x）=1-cosx，當x>0時，f（x）>=0，則有當x>0時，f（x）>0

當x>0時，f（x）>0，則有f（x）>0，因此cosx>1- x^2/2

得證。

二、羅爾定理、拉格朗日定理證明等式

1.設函數f（x）在（0，1）可導，f（0）=0，f（1）=1，f（x）不恒等于x，證明：在（0，1）中至少存在一點ζ，f（ζ）>1

解析：要證f（ζ）>1，就是f（ζ）-1>0，因為涉及導數，f（ζ）-1的原函數為f（ζ）-ζ。

可以設F（x）=f（x）-x

F（0）=0，F（1）=0

因為，f（x）不恒等于x，所以在（0，1）中至少存在一點k使得F（k）大于0或小于0.

當F（k）>0時，據拉格朗日定理，在（0，k）中至少存在一點ζ，F（ζ）>0.

當F（k）<0時，據拉格朗日定理，在（k，1）中至少存在一點ζ，F（ζ）>0.

得證。

2.設函數f（x）在[0，1]上連續，（0，1）可導，且f（0）=0，f（1）=2.證明：在（0，1）中至少存在一點ζ，使得f（ζ）=2ζ+1成立。

解析：要證f（ζ）=2ζ+1，就是f（ζ）-2ζ-1=0，f（ζ）-2ζ-1的原函數為f（ζ）-ζ2-ζ。

設F（x）=f（x）-x^2-x

F（0）=F（1）=0

根據羅爾定理，在（0，1）中至少存在一點ζ，使得F（ζ）=0

即f（ζ）=2ζ+1，得證。

3.設函數f（x）在[0，1]上可導，且f（1）=0，證明：在（0，1）中至少存在一點ζ，使得ζf（ζ）+f（ ζ）=0成立。

解析：要證ζf（ζ）+f（ ζ）=0，ζf（ζ）+f（ ζ）的原函數為ζf（ ζ）。

設F（x）=xf（x），則F（0）=0，F（1）=0

根據羅爾定理，在（0，1）中至少存在一點ζ，使得F（ζ）=0

即ζf（ζ）+f（ ζ）=0，得證。

4.設函數f（x）在[0，2]上二階可導，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=-1，證明：在（0，2）中至少存在一點ζ，使得f（ζ）+2ζf（ζ）+ζf（ ζ）=0成立。

解析：f（ζ）+2ζf（ζ）+ζf（ζ），可以看作f（ζ）+2ζf（ζ）+ζf（ζ）形式，因為含有f（ζ）、ζf（ζ），可以考慮原函數為ζe^kζf（ζ），經求導比較，k取2。

設F（x）=xe^2xf（x），F（0）=0。

因為f（0）=0，f（1）=1，f（2）=-1，在（0，1）存在一點ζ1，f（ζ1）=1/3，在（1，2）存在一點ζ2，f（ζ2）=1/3。

根據羅爾定理，在（ζ1，ζ2）中至少存在一點ζ3，使得f（ζ3）=0，則F（ζ3）=0。

因為F（0）=0，F（ζ3）=0。

根據羅爾定理，在（0，ζ3）中至少存在一點ζ，使得F（ζ）=0，即f（ζ）+2ζf（ζ）+ζf（ζ）=0，得證。

三、總結

構造函數法證明不等式，一般是利用函數的單調性或極值，構造函數比較容易，函數為不等式兩邊的差。構造函數利用羅爾定理、拉格朗日定理證明等式 ，要找到等式相類似的原函數。

參考文獻

[1]陳沛森.工科高等數學（第二版）[M].浙江大學出版社，2013.

[2]金慧萍.經濟數學（第二版）[M].浙江大學出版社，2014.