基于“MPCK”的“統計與概率”教學

侯正奎

（鹽城市尚莊小學，江蘇鹽城 224023）

“MPCK”（Mathematics Pedagogical Content Knowl?edge）是“數學學科教學知識”的簡稱，是“數學本體性知識”（簡稱MK）、“一般教學法知識”（簡稱PK）及“學生學習相關知識”（簡稱CK）的交集、整合。基于“MPCK”視角研究小學數學，教師需要考量數學本體性知識的核心內容是什么？學生可能存在哪些困惑？其價值和意義是什么？本文基于“MPCK”視角，研究了小學數學“統計與概率”領域的相關內容。

一、研讀數學，獲得豐富的“MK”

對于數學教師來說，首先面對的是數學本體性知識。一般而言，數學本體性知識是通過教材展現出來的，教師要深入研讀教材，但是教材只是數學知識的一種載體，研讀教材并不能代替研讀數學，因此，與其說是研讀教材，不如說是研讀數學。研讀數學，能讓教師獲得豐富的“MK”，從而能進行科學化的、有效的數學教學。

由于數學知識在教材中是以散點化形態出現的，教師在研讀教材時要把握數學知識點之間的內在關聯。要從數學知識本體的高度對教材知識進行審視和反思。例如，蘇教版小學四年級上冊“可能性”這部分教材內容是屬于“統計與概率”板塊中的“等可能性”的內容。“等可能性”是指實驗出現每一種結果的機會相等。教師要理解“等可能性”，也要讓學生理解“等可能性”。那么，如何讓學生感受、體驗“等可能性”呢？著名特級教師華應龍別出心裁地運用“拋啤酒瓶蓋”和“拋硬幣”等實驗素材來做對比實驗。學生深刻地認識到，啤酒瓶蓋不同于硬幣，它的質地是不均勻的。我們在拋硬幣的時候，正面朝上和反面朝上的可能性相等，而拋啤酒瓶蓋，正面朝上和反面朝上的可能性是不相等的。研究了“等可能性”，學生就能深刻地理解“擲骰子”“摸球”“翻牌”等可能性的大小，也就是出現的概率，要著重引導學生認識“出現的次數”（頻率）與“出現的可能性”（概率）。

研讀數學，能豐富教師的數學認知，從而讓教師能高屋建瓴地把握教材知識。例如，在“統計與概率”教學中，當教師引導學生感受、體驗到“出現的次數”與“出現的可能性”的區別后，就能深刻地理解“等可能事件”的隨機性、規律性。這是小學階段“統計與概率”知識內容的核心、靈魂。

二、探明學情，形成多樣的“CK”

學生在學習“統計與概率”相關知識前，已經在生活中積淀了相關的數學活動經驗，這些活動經驗，一方面是學生數學學習的根基，另一方面卻有可能阻礙學生正確的數學認知。探明“學情”，能讓教師形成多樣的“CK”。例如，在“統計量”教學中，小學生只需要理解、掌握“平均數”的意義和計算方法。事實上，在現代社會生產活動中，學生通常接觸了更為豐富的“統計量”，如“眾數”“中位數”等，學生已經感受、體驗到極端數據對一組數據整體水平的影響。例如，統計一個班級學生的成績，大部分學生的成績都不錯，但是只要有一兩個同學的成績極端偏低，就會拉低、影響班級成績的整體水平。了解到學生的已有認知經驗，教師在教學中就可以超越教材的知識編排，增加一些統計量的教學，讓學生感受、體驗極端數據對一組數據整體水平的影響。通過極端數據的引入，引導學生學習“眾數”“中位數”等相關統計量，感受這些統計量對于“描述一組數據的整體水平”的存在意義和價值。這種從學生已有知識經驗、生活經驗出發的教學，才是有效的、有意義和有價值的教學，這樣的一種教學就是基于“CK”的教學。

探明學情，就是要從學生的已有知識經驗、生活實際出發，盡量選用貼合學生生活實際的素材，滿足學生數學學習的需求。據此，教師可以對教材進行“二度開發”，進行改編、補充、完善，不斷開啟學生數學學習的潛質，不斷發掘學生學習數學的智慧，讓數學教學因“CK”而精彩。

三、基于目標，靈活地選擇“PK”

“PK”包括教學觀念、教育理論知識、課程與教學知識。從某種意義上說，教師的專業發展取決于他的“PK”知識的優劣。基于同樣的教學目標，運用同樣的教學素材，不同的教師會靈活地選擇“PK”。比如，在教學“復式統計表”時，不少教師都是直接列出統計表，讓學生向統計表中填寫數據。這樣的教學，是一種任務式教學，或許能讓學生解決問題，但在這個過程中，學生的數學學習力并沒有獲得有效的提升。筆者在教學中，引用荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾的“再創造”教學思想，引導學生在自主建構、創造中學習。首先，向學生呈現了古箏、葫蘆絲、小提琴、笛子興趣小組的男生和女生人數的統計表。然后，教師引導學生比較這些單式統計表。學生發現，這些統計表中都有男生人數和女生人數，因而猜想能將這些單式統計表合并。在此基礎上，學生積極主動地構建復式統計表的框架，尤其是統計表的表頭設計，更是彰顯了學生數學學習的創造性。通過對復式統計表的構建，學生發現，繪制復式統計表的核心就是表頭，有怎樣的表頭，就會有怎樣的統計表框架，就會有怎樣的統計表。

教師要靈活地選擇“PK”，不僅要重視數學教學的結果性目標，更要重視過程性目標。在教師的知識結構之中，“PK”知識是核心，是教師專業水平差異的根本所在，只有不斷充實“PK”知識，才能不斷完善教學水平，提升學生學習力和數學核心素養。

四、基于興趣，研發多元的“TK”

“TK”包括傳統教學媒體的知識、現代信息技術知識等。在數學教學中，教師可以借助現代信息技術搜集相關的素材，用來研發、制作課件等，“TK”知識成了教師專業發展的關鍵、重要因素。

在學生興趣愛好的基礎上，教師在教學中要借用并研發多元的“TK”知識，啟迪和引導學生。例如，在教學“平均數”時，教師將這部分的內容與信息技術中的WPS表格教學進行整合，引導學生將相關的數據輸入WPS表格。當學生將一組數據輸入WPS表格后，就能拖動鼠標，將每一列、每一行的平均數及整個表格的平均數等數據快速計算出來，讓學生感受、體驗到信息技術的力量。同時，學生借助信息技術，還能真正地“玩數學”，有的學生統計這一組數據中的最大值，有的學生統計這一組數據中的最小值，有的學生用表格求和等。在數學教學中，教師要設計、制作與教學思想相統一的課件、微課等，營造富有吸引力的學習氛圍，讓信息技術更好地為教學和學生的學習服務，有效地發掘學生的數學學習潛質，深化學生的數學思想。

綜上所述，在數學教學實踐中，“MK”知識是根基、“CK”知識是關鍵、“PK”知識是核心、“TK”知識是載體。只有將“MK”“CK”“PK”及“TK”等知識有機地融合，才能真正地創造有利于學生自主學習的氛圍，促進學生在數學學習中主動地思考、探究。通過“MPCK”的整合，不斷優化數學教師的教學，促進教師的專業發展。