MPCK:基于實(shí)證精神的數(shù)學(xué)教學(xué)研究

倪媛媛

[摘要]MPCK是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)稱，指數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)（MK）、教學(xué)法知識(shí)（PK）以及有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)（CK）的綜合與融合其中，本體性知識(shí)研究是MPCK研究的原點(diǎn)，兒童性知識(shí)研究是MPCK研究的關(guān)鍵，教學(xué)法知識(shí)研究是MPCK研究的核心。加強(qiáng)對(duì)教師MPCK知識(shí)的研究，如MPCK知識(shí)培訓(xùn)、教學(xué)觀摩、經(jīng)驗(yàn)反思等，能不斷優(yōu)化教師的教學(xué)，促進(jìn)教師的專業(yè)成長(zhǎng)，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上得到更好的發(fā)展、

[關(guān)鍵詞]MPCK;實(shí)證精神;數(shù)學(xué)教學(xué);研究

[中圖分類號(hào)]G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)] 1007-9068（2020）36-0030-02

MPCK是數(shù)學(xué)的核心知識(shí)教學(xué)基礎(chǔ)，也是教師專業(yè)發(fā)展的重要內(nèi)容。所謂MPCK（Mathematics Peda-gogical Content Knowledge），是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)稱，一般認(rèn)為是數(shù)學(xué)教師開(kāi)展常規(guī)教學(xué)所具備的三類知識(shí)，即數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)（Mathematics Knowledge，簡(jiǎn)稱MK）、教學(xué)法知識(shí)（Pedagogical Knowledge，簡(jiǎn)稱PK）以及有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)（Content Knowledge，簡(jiǎn)稱CK）。MPCK這一術(shù)語(yǔ)最早源于美國(guó)學(xué)者舒爾曼提出的學(xué)科教學(xué)知識(shí)（Pedagogical Content Knowledge，簡(jiǎn)稱PCK），通過(guò)這一概念使人們逐漸認(rèn)識(shí)到教師教學(xué)工作的專業(yè)性、獨(dú)特性。

基于MPCK視角，秉持實(shí)證精神研究小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，能讓教師獲得新的啟示，進(jìn)而改進(jìn)自己的教學(xué)，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上得到更好的發(fā)展。

一、本體性知識(shí)研究：MPCK研究的原點(diǎn)

對(duì)數(shù)學(xué)本體性知識(shí)進(jìn)行深度研究，是MPCK研究的原點(diǎn)。對(duì)教師的教學(xué)來(lái)說(shuō)，首要的問(wèn)題是“教什么”或?qū)W生“學(xué)什么”的問(wèn)題，這是課程本體論的問(wèn)題，是教學(xué)中最為核心的問(wèn)題。正如華東師范大學(xué)著名教育家張奠宙先生所說(shuō)的“‘教什么永遠(yuǎn)比‘怎樣教更重要”，因?yàn)椤敖淌裁础鄙婕敖虒W(xué)方向的問(wèn)題，而“怎樣教”涉及教學(xué)方法、策略等問(wèn)題。

數(shù)學(xué)課程本體論的研究，就是MK的研究。進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，教師要先研讀數(shù)學(xué)教材，因?yàn)椤敖滩氖侵R(shí)最為重要的載體”，知識(shí)是“鑲嵌”在教材之中的。但在教學(xué)實(shí)踐中，教師不能“唯教材”至上，對(duì)教材頂禮膜拜，在這一點(diǎn)上，葉圣陶先生說(shuō)得好“教材只不過(guò)是一個(gè)例子”。這就要求教師進(jìn)行數(shù)學(xué)課程本體論研究時(shí)，既要從教材出發(fā)，又不能為教材所束縛。因此，教師研究數(shù)學(xué)教材時(shí)要瞻前顧后，將分散在教材中的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)、整合起來(lái)，形成“知識(shí)串”“知識(shí)塊”“知識(shí)群”。

例如，統(tǒng)觀蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，嚴(yán)格地說(shuō)，《確定位置》在教材中出現(xiàn)了四次：第一次是在一年級(jí)上冊(cè)，課題為《認(rèn)位置》;第二次是在二年級(jí)下冊(cè)，課題為《測(cè)定方向》;第三次是在四年級(jí)下冊(cè)，課題為《用數(shù)對(duì)確定位置》;第四次是在六年級(jí)下冊(cè)，課題為《用方向和距離確定位置》。從教材編排來(lái)看這一內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)一年級(jí)、二年級(jí)的教學(xué)主要讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)方位、和方向，為四年級(jí)與六年級(jí)的教學(xué)服務(wù)、奠基。認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，教師就要深入研究四年級(jí)《用數(shù)對(duì)確定位置》和六年級(jí)《用方向和距離確定位置》的內(nèi)容，以及研究《確定位置》的編寫(xiě)意圖。為此，我們組織教師進(jìn)行沙龍研討。通過(guò)深度研討，教師達(dá)成共識(shí)：由于《用數(shù)對(duì)確定位置》與《用方向和距離確定位置》分別對(duì)應(yīng)初、高中《平面直角坐標(biāo)系》以及《極坐標(biāo)系》的學(xué)習(xí)，所以從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，小學(xué)階段《確定位置》的學(xué)習(xí)是為了初中、高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠基的。有了這樣的整體性視角，教師的教學(xué)思路就更明朗、更清晰了。

基于MPCK視角的數(shù)學(xué)本體性知識(shí)研究，包括數(shù)學(xué)知識(shí)的核心概念、思想方法等。作為教師，要對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整合、梳理、組織，淡化形式，注重實(shí)質(zhì)，不僅重視顯性知識(shí)的研讀，更要深入發(fā)掘隱性知識(shí)。對(duì)數(shù)學(xué)本體性知識(shí)的研究，尤其要把握其中的數(shù)學(xué)思想方法，因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法是最具活力的知識(shí)，具有遷移性、統(tǒng)領(lǐng)性、概括性等特點(diǎn)。通過(guò)研讀數(shù)學(xué)本體性知識(shí)，使教師形成正確的知識(shí)觀，從而更好地指導(dǎo)自己的教學(xué)。

二、兒童性知識(shí)研究：MPCK研究的關(guān)鍵

著名教育家盧梭曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“在人類的各種知識(shí)中，最有用而最不完備的就是關(guān)于‘人的知識(shí)。”同樣，在數(shù)學(xué)教學(xué)研究中，最不完備的知識(shí)就是關(guān)于學(xué)生的知識(shí)。作為教師，必須基于學(xué)生的立場(chǎng)，從學(xué)生的立場(chǎng)、視角去統(tǒng)觀數(shù)學(xué)知識(shí)，去研究學(xué)生、發(fā)現(xiàn)學(xué)生、引領(lǐng)學(xué)生，而兒童性知識(shí)研究是MPCK研究的關(guān)鍵。正如德國(guó)著名兒童教育家凱斯特納所說(shuō)的：“只有保持童心的人才是完整的人。”從某種意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)教學(xué)成敗的關(guān)鍵，不僅在于對(duì)數(shù)學(xué)本體性知識(shí)的解讀，更在于對(duì)兒童性知識(shí)的解讀。

兒童性知識(shí)研究，不僅需要研究學(xué)生一般的年齡特征、心理特征，更需要深入到學(xué)生之中，研究每一位學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)、認(rèn)知傾向以及迷思概念、相異構(gòu)想等方面。同時(shí)，教師要主動(dòng)地、自覺(jué)地把握學(xué)生的現(xiàn)實(shí)認(rèn)知路徑、可能認(rèn)知路徑，揣摩學(xué)生理解數(shù)學(xué)的歷程，認(rèn)識(shí)到學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的優(yōu)勢(shì)與障礙等。另外，教師還要考慮到學(xué)生的家庭背景、社會(huì)政治文化等外在因素的影響。只有這樣，才能讓數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”相契合，使學(xué)生以積極的態(tài)度投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去。

美國(guó)學(xué)者舒爾曼提出的學(xué)科教學(xué)知識(shí)主要由兩個(gè)因素組成，即教師對(duì)知識(shí)的表征以及教師對(duì)學(xué)生具體學(xué)情的把握。在教學(xué)實(shí)踐中，這兩個(gè)因素是交織在一起的，相互關(guān)聯(lián)、相互依賴、相互促進(jìn)。當(dāng)教師擁有較多的對(duì)學(xué)科知識(shí)的表征方式時(shí)，就越能把握學(xué)生的具體學(xué)情，了解學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙、困惑等;反之，當(dāng)教師能夠把握學(xué)生的認(rèn)知傾向、認(rèn)知特點(diǎn)后，也就能形成多元化的知識(shí)表征方式。例如，江蘇省著名特級(jí)教師柳小梅執(zhí)教《用字母表示數(shù)》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)）一課時(shí)，運(yùn)用“數(shù)學(xué)魔盒”將數(shù)學(xué)知識(shí)“包裝”起來(lái)，以一種近乎魔術(shù)般的教學(xué)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)“好吃又有營(yíng)養(yǎng)”的數(shù)學(xué)，獲得了好的教學(xué)效果。在這節(jié)課中，學(xué)生對(duì)“變量”的理解是難點(diǎn)，尤其對(duì)“兩種相關(guān)聯(lián)的變量”的理解更是有一定的困難。基于此，柳老師通過(guò)“數(shù)學(xué)魔盒”中的“魔盒吐數(shù)”功能，讓學(xué)生在兩種相關(guān)聯(lián)的變量之間尋找關(guān)聯(lián)性。如學(xué)生輸入數(shù)字2，“數(shù)學(xué)魔盒”吐出數(shù)字20;學(xué)生輸入數(shù)字0.2，“數(shù)學(xué)魔盒”吐出數(shù)字2;學(xué)生輸入數(shù)字3，“數(shù)學(xué)魔盒”吐出數(shù)字30-在多次輸入數(shù)字、輸出數(shù)字后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)輸入數(shù)字和輸出數(shù)字之間的關(guān)系，即輸出數(shù)字總是輸入數(shù)字的10倍。在此基礎(chǔ)上，柳老師引導(dǎo)學(xué)生用字母a來(lái)表示任意一個(gè)輸入數(shù)字，用lOa來(lái)表示相應(yīng)的輸出數(shù)字。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生體會(huì)到字母的本領(lǐng)，明白用字母表示數(shù)的作用和意義。上述教學(xué)，由于柳老師設(shè)計(jì)的教學(xué)符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，所以能調(diào)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，引發(fā)學(xué)生的深度探究，催生學(xué)生的深度想象，進(jìn)而挖掘?qū)W生的創(chuàng)新潛質(zhì)，使學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)。

基于MPCK視角，我們認(rèn)為小學(xué)階段的MPCK具有以下特點(diǎn)：（l）數(shù)學(xué)性，即教師教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象、推理和建模等數(shù)學(xué)活動(dòng);（2）多樣性，即在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，教師秉持不同的兒童觀就會(huì)形成不同的教學(xué)方式。可以這樣說(shuō)，每一種對(duì)兒童的理解、解讀都是一把鑰匙，能打開(kāi)神秘的兒童世界;從根本上說(shuō)，每一種兒童觀都只是提供了一種理解兒童的方式，意味著實(shí)踐一種發(fā)展的可能性。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，只有探明與掌握學(xué)生的具體學(xué)情，教師才能具備多樣化的知識(shí)，提高自己的教學(xué)水平。

三、教學(xué)法知識(shí)研究：MPCK研究的核心

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)注重學(xué)生是否掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)，且主要指對(duì)結(jié)果性知識(shí)的掌握。基于教學(xué)法知識(shí)，從教學(xué)法的角度來(lái)審視教學(xué)，我們不僅要考查學(xué)生對(duì)結(jié)果性知識(shí)的掌握程度，還要考查學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的合理性、合情性、合度性。具體而言，教學(xué)法知識(shí)包括教學(xué)觀念、教學(xué)理論知識(shí)、課程知識(shí)等。

事實(shí)上，并不是每一位數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)優(yōu)秀的學(xué)生都能成為一名好的教師。如陳景潤(rùn)當(dāng)年曾經(jīng)在北京的一所中學(xué)任教，事實(shí)證明，教師這一職業(yè)不適合他。從某種意義上說(shuō)，教師的專業(yè)發(fā)展取決于他（她）教學(xué)法知識(shí)的優(yōu)劣。正如張奠宙教授所指出的那樣，“教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要將學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化成教育形態(tài)的數(shù)學(xué)”。因此，如何有效地選擇和組織教學(xué)內(nèi)容與確定教學(xué)方法、如何激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和催生學(xué)生的數(shù)學(xué)想象、如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)與評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果等，就成為在教學(xué)法知識(shí)視角下MPCK研究的主要內(nèi)容。例如，《三角形的內(nèi)角和》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)）一課，許多教師在教學(xué)中常引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究。學(xué)生也很爭(zhēng)氣，運(yùn)用不同方法探究三角形的內(nèi)角和，如“撕角拼角法”“折角拼角法”“量角求和法”等，但無(wú)論運(yùn)用何種方法探究，總有一部分學(xué)生的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為180°左右，所以這些學(xué)生認(rèn)為“三角形的內(nèi)角和大約是180°”。于是，部分教師會(huì)運(yùn)用初中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角等知識(shí)進(jìn)行教學(xué)，將學(xué)生拉人并不適合的邏輯推理之中。事實(shí)上，三角形的內(nèi)角和是一種超驗(yàn)性知識(shí)，一般來(lái)說(shuō)，經(jīng)驗(yàn)性知識(shí)適合運(yùn)用探究式教學(xué)，而超驗(yàn)性知識(shí)適合運(yùn)用驗(yàn)證式教學(xué)。因此，在《三角形的內(nèi)角和》教學(xué)中，教師不妨先出示結(jié)論，然后放手讓學(xué)生運(yùn)用自己的方法去進(jìn)行驗(yàn)證。如此，就能調(diào)動(dòng)學(xué)生驗(yàn)證的積極性，不會(huì)出現(xiàn)上述教學(xué)中的尷尬了。

由于教學(xué)法知識(shí)的差異，面對(duì)同樣的數(shù)學(xué)知識(shí)，不同的教師會(huì)有不同的教學(xué)設(shè)計(jì)，所以有的課堂教學(xué)平平淡淡，而有的課堂教學(xué)則精彩紛呈。也就是說(shuō)，基于同樣的教學(xué)日標(biāo)，運(yùn)用同樣的教學(xué)素材，不同的教師會(huì)選擇不同的教學(xué)法知識(shí)，從而形成對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的不同表征，對(duì)教學(xué)方法的不同抉擇。

總之，知識(shí)結(jié)構(gòu)是教師進(jìn)行有效教學(xué)的條件，其中數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)（MK）是根基，有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)（CK）是關(guān)鍵，教學(xué)法知識(shí)（PK）是核心，只有將三者有機(jī)融合，才能真正創(chuàng)建豐富的教學(xué)場(chǎng)域。因此，作為教師，要不斷地學(xué)習(xí)、不斷地研究、不斷地完善自身的MPCK，逐步建構(gòu)自身最佳的知識(shí)結(jié)構(gòu)。同時(shí)，加強(qiáng)對(duì)教師MPCK知識(shí)的研究，如MPCK知識(shí)培訓(xùn)、教學(xué)觀摩、經(jīng)驗(yàn)反思等，能不斷優(yōu)化教師的教學(xué)，促進(jìn)教師的專業(yè)成長(zhǎng)，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上得到更好的發(fā)展。

（責(zé)編 杜華）