在“過程”中推理

張琴

摘要：推理能力的發展不是一蹴而就的，而是一個長期的、循序漸進的過程。教學中，教師要把推理能力的培養滲透到學生數學學習的各個階段。具體來說，可以在知識的形成過程中發展歸納推理能力，在知識的聯系過程中發展類比推理能力，在知識的應用過程中發展演繹推理能力。

關鍵詞：推理能力 知識形成 知識聯系 知識應用

推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。《義務教育數學課程標準（2011年版）》把“推理能力”作為核心概念之一。

推理一般包括合情推理和演繹推理：合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果;演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，兩種推理的功能相輔相成：合情推理用于探索思路，發現結論;演繹推理用于證明結論。

推理能力的發展不是一蹴而就的，而是一個長期的、循序漸進的過程。因而，教學中，教師要把培養推理能力滲透到學生數學學習的各個階段，應特別注意引導學生經歷知識的形成過程、聯系過程、應用過程，從而提高推理能力。

一、在知識的形成過程中發展歸納推理能力

數學知識具有抽象性和一般化的特征，它通常（或者說最初）來源（形成）于具體的、特殊的事實或現象。因此，教師要引導學生對具體的、特殊的事實或現象進行分析和抽象，去除其物理的、非本質的屬性，揭示其數學的、本質的屬性，即數和形方面的一般規律。而這一知識形成的過程，是學生思維從具體走向抽象、從特殊走向一般的過程，也是其歸納推理能力發展的過程。

例如，教學“小數的認識”，教師引導學生從具體、特殊的例子入手，經過有層次的、有梯度的歸納與提升，獲得抽象的、一般的數學知識——

師如果用一個長方形表示1元，那么怎么表示0.1元呢？

生把長方形平均分成10份，其中的1份就是0.1元。

師（出示圖1）看到這個圖，你還能想到什么數？

圖1

生我還想到了1/10。

生我發現1/10元=0.1元。

師如果涂其中的3份呢，我們可以得到怎樣的式子？

生3/10元=0.3元。

師如果涂其中的9份呢？

生9/10元=0.9元。

師觀察這三道算式，你有什么發現？

生十分之幾元都可以寫成零點幾元。

師如果把這個長方形壓縮，這就好像一把——

生尺子。

師你能在這把尺子上畫一畫，寫出像前面一樣的式子嗎？

生1/10米=0.1米。

生5/10米=0.5米。

……

師由這幾道算式，你又有怎樣的發現？

生十分之幾米都可以寫成零點幾米。

師再把這個長方形壓縮，發現什么了？

生一條線段。

師如果把這條線段也平均分成10份，你想表示怎樣的算式，又能發現什么？

生1/10=0.1，2/10=0.2，4/10=0.4，…，我發現，十分之幾都可以寫成零點幾。

上述教學中，有三個層次的歸納。前兩個層次是借助生活情境對十分之幾元可以寫成零點幾元、十分之幾米可以寫成零點幾米的歸納;不同的是，相對而言，第二層次比第一層次更具一般性，第一層次中的數是離散的，第二層次中的數是連續的。第三層次則是對前兩個層次歸納的“再抽象”，即去除量的特征，進一步聚焦數，這種歸納真正抵達了“數學的高度”。

二、在知識的聯系過程中發展類比推理能力

不同領域的數學內容之間往往也會有內在的關聯。因此，教師不能通過“切片”的方式機械地教學，而要關注知識的聯系，引導學生比較和聯想，完善認知結構。而這一知識聯系的過程，是學生思維由此及彼、舉一反三的過程，也即類比推理能力發展的過程。

例如，教學“圓錐的體積”，教師引導學生利用知識間的聯系，展開類比推理——

師我們怎么通過圖形的運動得到一個圓柱和圓錐呢？

生以長方形的任意一條邊為軸，旋轉一周就可以得到一個圓柱，以直角三角形的任意一條直角邊為軸，旋轉一周就可以得到一個圓錐。

生如果以長為軸旋轉，圓柱的底面半徑和高分別等于長方形的寬和長;如果以寬為軸旋轉，圓柱的底面半徑和高分別等于長方形的長和寬。

師考慮得真細致！

生圓錐的底面半徑和高分別等于三角形的底和高。

師這里有一個長方形和一個直角三角形，你有什么發現？

生長方形的長和寬分別等于直角三角形的高和底。

師長方形和直角三角形的面積有什么關系呢？

生直角三角形的面積等于長方形的面積的1/2。

師（分別以長方形的長和直角三角形的高為軸旋轉得到圓柱和圓錐）想一想，圓柱和圓錐之間有什么聯系？

生圓柱和圓錐等底等高。

師猜想一下，等底等高的圓柱和圓錐體積有怎樣的關系？

生我覺得圓錐的體積是和它等底等高的圓柱的體積的1/2。

生我覺得圓錐的體積是和它等底等高的圓柱的體積的1/3。

生我覺得圓錐的體積是和它等底等高的圓柱的體積的1/4。

……

師到底是多少，我們不妨用等底等高的圓柱和圓錐來做個實驗。

（學生用手中的材料做實驗，驗證自己的猜想。）

教學“圓錐的體積”，教師通常會直接提供等底等高的圓柱和圓錐，讓學生進行倒沙或倒水的實驗，最終得出圓錐的體積計算公式。因此，對于用等底等高的圓柱和圓錐做實驗，學生往往會有“從帽子里跑出一個兔子”一般的驚奇感。上述教學中，教師很好地運用了知識間的聯系，發展了學生的類比推理能力：從圓柱與長方形、圓錐與三角形的關系出發，由長方形面積和三角形面積的關系，類比推理圓柱體積和圓錐體積的關系。這樣，自然、合理地引入了等底等高的圓柱和圓錐的實驗。

三、在知識的應用過程中發展演繹推理能力

知識應用是利用知識（概念、定理、等式等）解決問題的過程。顯然，這一過程通常是從抽象走向具體、從一般走向特殊的演繹推理過程。一方面，教師要精心設計問題，可以設置判斷題、說理題、探究題、證明題等，引導學生利用演繹推理解決問題;另一方面，教師還要指導學生演繹推理的方法，不僅要言之有據，還要言之有理，進而言之有序。

雖然小學數學并不強調演繹推理，但是在很多內容的教學中都可以設置演繹推理的相關問題。

例如，教學“3的倍數特征”，教師可設置這樣一道題目：舉例想一想，連續三個偶數的和是幾的倍數？為什么？學生不僅能舉出“2+4+6=12，是3的倍數;98+100+102=300，也是3的倍數”這樣的例子，歸納得到結論，而且能開展演繹推理的證明：假設中間數為a，則另外兩數分別為a-2、a+2，三個數的和是a-2+a+a+2=3a，顯然，3a是3的倍數。

再如，教學“三角形的三邊關系”，教師可設置這樣一道題：一個等腰三角形的周長是40厘米，較長邊是較短邊的2倍，它的腰和底分別是多少厘米？此題符合條件的答案只有一種，但是有學生給出了“腰是10厘米，底是20厘米”的錯誤答案，于是其他學生反駁：因為三角形任意兩邊之和大于第三邊，而10+10=20，兩邊之和不大于第三邊，所以這三條邊不能圍成三角形，這個答案錯誤。這就是非常典型的演繹推理。

又如，教學“平均數”，教師可設置這樣一道題：小明班數學考試的平均分是92，小華班數學考試的平均分是90，小明的分數一定比小華高嗎？請說明理由。充分思考后，學生這樣表達：小明班數學考試的平均分是92，小明的分數有可能比92低，比如82;小華班數學考試的平均分是90，小華的分數有可能比90高，比如100，按照這樣的假設，小明的分數就比小華低。這其實就是從平均數定義出發的一種演繹推理——盡管不那么嚴謹。

最后，需要指出的是，以上數學學習的三個階段與三種推理形式之間的對應關系并不絕對，有時甚至是為了敘述的方便。事實上，在數學學習的各個階段，各種推理形式不是單獨出現的，而是表現出綜合性和交替性。