淺談數形結合在高等數學教學中的應用

楊 莉

（山西省 臨汾職業技術學校041000）

前言：簡單來說，數形結合思想就是將數學圖形與數量關系結合起來，通過相互轉換、轉化來分析、解決相應的數學問題。高等數學中蘊含著十分豐富的數形結合數學觀念，加之高等數學本身具有較強的抽象性與邏輯性，故而在教師的具體教學工作中，引導學生合理運用數學思想則是幫助學生掌握相應數學知識的關鍵所在[1]。通過運用數形結合思想，并將其運用優勢充分發揮出來，不僅能夠有效地降低高等數學知識學習難度，還能夠進一步培養學生的綜合數學學科素質。在下文中，筆者以數形結合思想在高等數學教學中的應用價值為論述切入點，并探究了數形結合思想的相關應用策略。

1 數形結合在高等數學中的應用價值

1.1 深化理解數學概念

在學生們學習高等數學過程中不難發現，不少數學概念都是通過抽象的數學語言來表達的，此時，在理解數學概念的時候不少學生都較為吃力。但借助數形結合思想進行概念理解的話，則可以很好的幫助學生加深對于數學知識的理解及記憶[2]。例如，教師在為學生講解“導數”的相關概念時，教師可以先從變速直線運動的瞬時速度、平面曲線的切線斜率等實際問題著手，從變化的曲線、直線運動中概括出相應的數量關系，使得學生可以初步形成“導數的概念為變化率的極限”這一基本認識。又或者是教師在為學生們講解雙曲拋物面的相關內容時，由于學生們剛剛接觸這部分內容，他們比較難以去理解雙曲拋物面在笛卡兒坐標系中的方程及其構成圖形。此時，教師則可以運用平行切割法將雙曲拋物面形成的動態過程為學生們進行展現分析。高等數學知識概念相對抽象，且具有一定的邏輯性、層次性，因此教師在教學時，可以積極地借助幾何圖形來引導學生逐步觀察、分析，最終以形助數，使其完全掌握所學的數學概念與知識。

1.2 直觀解釋數學定理

大多數學生們認為高等數學知識學習難度較大通常是因為這門課程的相關內容與知識點相對繁瑣，所要求積極、理解的定理、公式更是數不勝數。但在數形結合教學模式時，教師則可以將抽象性的內容以具象化的情境或過程呈現在學生眼前，達到輔助學生學習的目的。例如，羅爾定理、拉格朗日中值定理與柯西中值定理的結論都是切線平行于弦，教師在為學生們講解“羅爾定理”的相關內容時，則可以運用微課教學形式將相應的定理文字以直觀形象的圖例進行展示說明，以此有效激發學生們的探究興趣，活躍其思維。接著，為順利地引出“拉格朗日中值定理”，教師還可以運用flash動畫演示軟件傾斜圖形，此時，學生們則能夠更加積極地認識到“拉格朗日中值定理的一般情形是羅爾定理”、“拉格朗日中值定理更一般的情形是柯西中值定理”等數學根本。由此可見，借助數形結合數學思想，可以有效地反映出圖形與數量之間的關系，而通過這樣的教學形式，學生們對于各定理之間的聯系也或更加了然于心，這對于提升其數學知識學習效率、質量均具有重要推動作用。

1.3 增強學生求簡意識

運用數形結合思想進行數學問題分析與解答，更有利于指導學生抓住數學本質，將復雜的數學問題簡單化，從而提升解題效率，強化學生自身數學問題解題思路的形成[3]。例如，“已知：函數f（x）=（x+a）2+|x+a|在區間（3，+∞）上單調遞增，求a的取值范圍?”在解答這一函數問題時，f(x)=(x+a)2+|x+a|可改寫為f(x)=|x+a|2+|x+a|，改寫后的函數又可以看成是由函數y=|x|2+|x|經過坐標平移得來的。此后，學生們則可以在不同的取值條件下，如當x≥0時、x<0時分別畫出該函數的圖像，將兩個函數合并在一起后，我們則可以發現，圖像的最低點為x=-a,在x<-a時，函數單調遞減，在x>-a時，函數單調遞增。結合已知條件給出的區間范圍，則可以得出a的取值范圍為a≥-3。又或者是“求解函數z=x+y在約束條件下x2+2y2=4時的最值”，通過題干可知，解答這一問題時可以采用拉格朗日乘數法，但運用代數關系進行最值求解，這一過程無疑較為繁瑣。此時，為了有效地簡化解題過程，教師則可以引導學生運用數形結合思想發掘題目中所蘊含的幾何規律。x2+2y2=4可以轉化為橢圓軌跡理解，那么這一題目中函數z=x+y則可以理解為一條斜率為-1的直線，即整個題目可以視為“橢圓上的任意P點沿橢圓運動時，在x軸與y軸的截距最值問題”。當題目被簡化之后，學生只需求解直線x＋y=z與橢圓x2+2y2=4相切的值即可。由此可見，在高等數學教學中教師引導學生運用數形結合思想，借助圖形直觀或幾何理念可使數量關系形象化，此時，數學問題的解答也會變得更加簡便。

2 數形結合在高等數學教學中的應用策略

2.1 強化數形結合引導

在進行具體的高等數學知識教學是，教師自身應當有意識地引導學生利用數形結合思想分析、解決數學問題，無論是在講解數學概念、解釋數學定義、推導定理還是在解題計算時，教師都可以強調數形結合可有效降低學習難度、強化知識點記憶理解的應用優勢[4]。同時，在布置相應的數學習題時，教師也可以強調學生多運用數形結合來思考問題，以此加強教學引導來培養學生們主動使用數形結合思想的習慣。

2.2 利用信息化技術

信息化教學手段深受廣大教師的喜愛，在高等數學教學工作中，教師也應當善于借助微課、云課堂等教學工具，以圖像、視頻、動態圖等多樣化的信息手段來培養運用數形結合展開教學。在信息化學習模式中，原本抽象畫的內容變得具象，而數量關系與數學圖形的結合、動態與靜態的結合都使得所學的高等數學內容生動起來，有效降低了相關知識點的學習難度，學生們在理解與接受后續的數學應用中也會更加得心應手。從另一角度上說，學生也可以根據自身的實際學習需求來調整學習速度、演示進度等，此時，圖形的動或靜、數和形的潛在變化都可以清晰、直觀地呈現在學生眼前。

2.3 形成常態化教學

數形結合思想的培養不應當是局限于某一知識點或者是某一教學單元中，而是應當涵蓋學生整體的高等數學學習過程，將數形結合教學形成常態化，此時則更有助于促使學生形成科學的數學思維習慣。而在教師的教學過程中，則應當善于挖掘出教材中所蘊含的數形結合思想，并切實地從教學目標、教學內容、教學經過、課后練習等諸多緩解有層次地、分階段地滲透數形結合思想。

結語：綜上所述，作為數學思想的重要組成部分，在高等數學教學工作中有機融合、滲透數形結合思想是每位教師都值得深切思考的重點課題，而利用數形結合開展高等數學教學工作，無疑也是極大地優化了學生們的學習過程，幫助其充分提升了學習效率及質量，對于培養其數學學科素質具有重要的意義與價值。