借“模型”之力促教學相長

王青虹

摘 要：數學知識往往通過“類型化”的界定產生較為固定的模型，從“尋找模型的起點”“搭建模型的框架”“夯實模型的基礎”三個方面解讀小學階段如何借構建“數學模型”之契機，引導學生看透數學問題的本質，巧妙理清解決問題的思路，以此實現教學相長、師生共進。

關鍵詞：模型;教與學;小學數學

小學數學核心素養中指出：模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。筆者認為，模型思想始終貫穿于整個小學階段的數學學習中，無論是符號、字母公式、定律、性質、數量關系等，還是正兒八經以滲透“模型思想”為教學目標的“烙餅問題”“植樹問題”“鴿巢問題”等，無一不是循“數學建模”的途徑來解決問題的。在實際教學中，我們要立足學生的年齡和思維方式，為學生搭建自主探索的平臺，讓學生在解決問題的過程中經歷模型的建構，并能合理地運用模型來解決某一類問題。

一、追根溯源，尋找模型的起點

數學來源于現實生活，卻又“低”于現實生活。很多數學模型，往往是我們限定并刨除大部分干擾因素后的一種理想化狀態，即對現實生活的一種抽象。因此這種“低配版”的“數學模型”很多時候并非我們想象得如此“高深”，尤其是小學低年級，我們要做到的是充分“讀懂”學生，搭建起數學模型與學生發展認知的橋梁。如在教學一年級時，經常會碰到這樣一類錯題：

（1）2=（ ）-（ ），學生會填出2=（3）-（5），2=（2）-（4）這種錯誤答案;

（2）7-3=（ ）+1=（ ）+2=（ ）-4，學生會填出7-3=（4）+1=（5）+2=（7）-4這種錯誤答案。

很明顯第二種錯例，是學生不明白“=”的意義造成的，一味地單向計算出結果，與“開火車”口算7-3→（4）+1→（5）+2→（7）-4=3這類型的題目混淆起來。但第一種錯例，我們往往會覺得匪夷所思，心里犯嘀咕“學生怎么連小數不能減大數都不知道？”面改作業的時候，就會很嚴肅地告訴孩子“只有大數可以減小數，3怎么能減5！”孩子們會乖乖地把錯誤答案訂正了。若反復出現這種錯誤，老師大抵會反復強調。

深究原因，筆者聯系第二種錯例，發現了其中的“奧秘”。其實對于“=”，幼兒園和家長給孩子建立了一個錯誤的符號化模型：“=”的作用其實就是類似于“→”，即從左往右得出結果，下一步是什么。此后，對于“=”的意義再無涉及。課堂上教師也往往更注重“>”和“<”的教學，殊不知，孩子們固有的思維起點把“=”當作“→”，看到2=（ ）-（ ），算式的結果2在前面，就很自然地將算式翻譯成2←（ ）-（ ），因此才會有2=（3）-（5），2=（2）-（4）這種錯例，并非是學生不知道小數不可減大數。故（1）（2）兩種錯例其實是如出一轍，屬于同一類錯誤，是因為學生腦海中并沒有建構起“=”表示兩邊相等的這種符號化模型思想。而這一模型的建立，人教版教材在五年級上冊“簡易方程”這一單元中給出了最為形象、直觀的載體——天平。一年級的學生即使對天平不熟悉，但天平和生活經驗中的蹺蹺板是同一道理，學生易于理解。兩邊不一樣重，天平就無法平衡，只有兩邊一樣重的時候，天平才能保持平衡，就像“=”一樣。借助天平在學生心中建立起“=”即為兩邊相等的模型思想。

二、因勢利導，搭建模型的框架

在平時的教學中，組建一個數學模型并不是一蹴而就的，這個過程完全彰顯了教師作為教學引領者的功能。老師通過適當的數學化訓練策略，引導學生巧妙地抓住數學問題的核心本質，吸引學生自然而然地落入老師精心組建的模型“圈套”中。有時候因為學生對文字描述理解上的偏頗——難以理解或把握不住要點，無法將其形成準確而鮮明的表象。這時，可以借助形象的力量，把文字所描述的、所要揭示的、所要表達的數學本質通過圖示（圖形、圖表等）的方式形象地表示出來，給抽象的數學披上形象的外衣。如人教版三上“倍的認識”這一課，筆者摘錄了一部分教學片段：

課件出示：

師：仔細觀察，除了海星少、海螺多，海星和海螺之間還有什么關系？

生1：海星個數是海螺的一半。

生2：海螺數量是海星的2倍。

師：如果把3個海星看作一份，海螺有這樣的幾份？

師：怎樣可以清楚地表示出這樣的2份，讓大家一眼就看明白？（將6個海螺3個1份圈出來）

師：海螺的個數里有2個3，我們還可以說，海螺的個數是海星個數的2倍。

課件出示：海星增加1個，海螺增加2個。

師：那現在海螺的個數又是海星個數的幾倍呢？

生：2倍。

師：怎么想的？請你圈一圈。

生1：海螺的個數里有2個4。

生2：把海星的個數看作1份，海螺的個數有這樣的2份。

課件出示：繼續增加海星和海螺的個數。

師：你們現在還能看到海螺的個數是海星個數的幾倍嗎？

課件出示：

師：仔細觀察，你有什么發現嗎？

師：為什么每組海星和海螺的數量不一樣，卻都可以說是2倍的關系？

師：不管海星和海螺的個數怎么變化，把第一行海星的個數看作1份，第二行海螺里都有2個。

這樣的1份，我們就說海螺的個數是海星個數的2倍。

課件演示：

師：第一行有這么多，第二行就擺出2個這么多，我們就說第二行是第一行的2倍。

這個教學片段，教師非常注重模型教學。從一開始引入海星、海螺的實物模型，幫學生理清“幾個幾”與“幾倍”的關系，再通過幾次增減海星、海螺的個數，引導學生發現，只要把海星的個數作為標準量即一份數，在海螺的個數中找到這樣的幾份，那海螺的個數就是海星的幾倍，逐步實現對“標準量×倍數=幾倍數”數量關系模型的初步感知。而這“圈一圈”的動作，又將具體的實物模型半抽象成圖形模型，尤其是到后面直接略去實物，完全抽象成圖形模型，堪稱亮點，形象的圖形倍比關系一目了然，根植學生腦海，為接下來教學線段圖中的“倍比關系”作鋪墊。

三、厚積薄發，夯實模型的基礎

我們要試著“以新觀舊”，有思考性地把新知置于舊知的結構之中，夯實原有的數學模型，用以解決新的數學問題，促進前后數學模型的合并統一。在教學完人教版四年級下冊“三角形的認識”畫“高”這一內容后，總有學生在作業練習中經常會手足無措，拿著手中的三角尺無處安放，不知道三角尺該與三角形的哪條邊重合，明明給出了相應的“底”，卻不自覺地把“高”畫到了不對應的“底”上去了，更有甚者，拿著三角尺隨便畫一條“豎線”就自以為和“底”垂直了，還自信滿滿地標上直角記號。

從上圖三個錯例中可以看出，學生對三角形“高”的定義沒有理解到位。于是，筆者又重新幫學生分析了三角形“高”的定義，尤其強調“畫高”的三個步驟：一定頂點，二找對邊，三畫垂線。若已經指定“底”了，那就直接找到對應頂點畫垂線即可。結果類似圖1、圖2這種錯誤已不多見，但對于鈍角三角形“形外高”的畫法部分學生依舊很迷茫，特別是“底”不是水平的時候，就毫無頭緒了。盡管畫鈍角三角形的“形外高”是“畫高”的拓展延伸，但學生出現困難，就說明他們對“相對應的底和高”的掌握是不到位的。

重新翻看教材對三角形和平行四邊形“高”的定義，發現圖形畫“高”這個模型的原型其實就是四年級上冊中“過直線外一點畫已知直線的垂線段”，只不過多了幾條干擾的邊，造成學生的迷茫。學完“過直線外一點畫已知直線的垂線段”，我們所有的練習中，直線外的這一點總是“老老實實”地待在直線的一側，最多把直線從水平旋轉成傾斜角度。學生從來不需要對直線進行延長加工，就很順利地畫出了垂線段。

于是，筆者重塑了“過直線外一點畫已知直線的垂線段”的模型，增加下圖（2）（3）兩個類型的習題。學生在練習的過程中，發現直線“不夠長”時，就主動地延長了直線。同時，在作業中又布置了直線發生傾斜的情況如（4）（5）。

接著我們標上頂點，連上線段，學生一眼就分辨出這其實就是三角形“畫高”的方法，尤其是對于畫鈍角三角形“形外高”時，為什么要延長對邊也了然于心。出于這次模型改進的經驗，筆者在新一輪四年級上冊“過直線外一點畫已知直線的垂線段”的新授課時，就加入了上面的練習，為之后學習各種圖形“畫高”打下基礎。

一個好的數學模型其本質是對數學知識的吸收、拓展、消化及靈活應用，數學的教學無論是化抽象為形象，還是化新知為舊知，思考的核心都是著力實現“舉一反三”“舉綱張目”的教學成效，從而使學生能夠有更多的時間、精力，生長出更豐富的思維觸角，去進行有個性的、有生命力的、有創造性的數學學習，最終走向教學相長、師生共進的“共同富裕”。

參考文獻：

[1]竺新波.巧用天平糾正等號認知的誤區[J].數學月刊：小學版（數學），2018.

[2]張香等.注重模型教學 加強結構思想：“倍的認識”教學實錄與評析[J].小學數學教育，2019（5）：33-34.

[3]許貽亮.為學生數學模型的建構做兩道“減法”[J].小學數學教育，2013（Z1）：85-86.

編輯 王彥清