一類周期輸入化學(xué)反應(yīng)過程的最優(yōu)控制問題

韓同凱,史洪巖

(沈陽化工大學(xué)，遼寧 沈陽 110021)

1 引言

連續(xù)攪拌反應(yīng)釜的反應(yīng)溫度和反應(yīng)物濃度是化學(xué)反應(yīng)過程中的關(guān)鍵因素，溫度和濃度的有效控制是化工過程的重要研究課題，具有重要的研究意義。國內(nèi)外化工控制領(lǐng)域?yàn)榱烁雍啙嵱行У貙STR的濃度、溫度等變量進(jìn)行控制，相繼開展了一些有關(guān)研究[1-4]。Nikolic等[5-6]利用非線性頻率響應(yīng)(NFR)方法在周期操作下對CSTR進(jìn)行了仿真研究；Zuyev等[7]周期操作下利用方波輸入調(diào)節(jié)反應(yīng)溫度和反應(yīng)濃度，但未考慮時(shí)間周期的優(yōu)化；控制變量參數(shù)化方法(CVP)[8-9]是一種較為常見的控制算法，普遍應(yīng)用于最優(yōu)控制問題的求解,但其求解效率過于依賴初始給定軌跡；Douglas[10]利用正弦輸入調(diào)節(jié)入口濃度和進(jìn)口流速，但沒有考慮切換時(shí)間。

針對上述問題，本文建立了CSTR的無量綱最優(yōu)控制模型，擬采用Bang-Bang控制算法求解該最優(yōu)控制問題，利用等周約束條件求解切換時(shí)間。

2 問題描述

3 CSTR模型分析

根據(jù)熱力學(xué)和化學(xué)動(dòng)力學(xué)相關(guān)知識，首先建立反應(yīng)物A的物料平衡方程[11]

(1)

式中，CA為物料A的出口濃度，CAo為物料A的入口濃度，t為反應(yīng)時(shí)間，V為反應(yīng)釜容積，F(xiàn)為反應(yīng)器的體積流速，k0為反應(yīng)速度常數(shù)的頻率因子，EA為反應(yīng)活化能，R為氣體常數(shù)，T為反應(yīng)釜溫度。

由于原始機(jī)理模型是典型的非線性微分方程，給接下來的分析及控制方案的設(shè)計(jì)帶來困難，所以為了便于分析，方便數(shù)值求解，本文將物料平衡方程(1)進(jìn)行無量綱化處理：

首先引入無量綱變量對系統(tǒng)進(jìn)行無量綱變形，如表1所示。

表1 無量綱變量的定義

同時(shí)引入輔助參數(shù)ε

(2)

則無量綱化后的模型變成

(3)

將上式整理后，CSTR的數(shù)學(xué)模型可由如下非線性微分方程來表示

(4)

式中，τ是時(shí)間變量；x是狀態(tài)變量，表示物料A的出口濃度；u是控制變量，用于控制物料A的入口濃度。

其中控制變量u為

(5)

4 提出最優(yōu)控制問題

(6)

4.1 基于最大值原理的Bang-Bang控制

為了解決這一最優(yōu)控制問題，本文應(yīng)用了具有Hamiltonian函數(shù)的Pontryagin最大值原理進(jìn)行分析。

根據(jù)最大值原理，首先構(gòu)造Hamiltonian函數(shù)[12]

(7)

根據(jù)Hamiltonian函數(shù)，可以得到伴隨方程

(8)

求解得到伴隨方程的通解

(9)

周期邊界條件

(10)

等周約束條件

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

為了驗(yàn)證Bang-Bang控制算法的性能更優(yōu)，利用穩(wěn)態(tài)操作對CSTR進(jìn)行控制，形成對比。

4 MATLAB仿真與結(jié)果分析

為了說明本文最優(yōu)控制設(shè)計(jì)方案的可行性和有效性，參照文[14]提供的動(dòng)力學(xué)數(shù)據(jù)，各參數(shù)如表2所示。

表2 CSTR模型中各參數(shù)的取值

(18)

圖1 Bang-Bang控制

圖2 最優(yōu)軌跡 (實(shí)線)和性能指標(biāo)J(虛線)

5 結(jié)論

針對 這一化學(xué)反應(yīng)過程的最優(yōu)控制問題，建立了無量綱化后的數(shù)學(xué)模型，利用Pontryagin最大值原理對這類具有等周約束條件的最優(yōu)控制問題進(jìn)行了分析，采用Bang-Bang控制策略求解該最優(yōu)控制問題。仿真結(jié)果表明，相對于穩(wěn)態(tài)操作，本文采用的Bang-Bang控制算法效果更好。