空中目標運動軌跡數(shù)學模型及仿真研究

雷建杰 陳天群 張夢駿 潘永強 李其然

(上海機電工程研究所,上海 201109)

0 引言

利用計算機及其相關(guān)技術(shù)構(gòu)建空中目標運動軌跡數(shù)學模型的仿真平臺,對于涉及火控仿真、導彈飛行、效能評估等科研項目,亦或是對于高效地開發(fā)、研制和評估指揮控制系統(tǒng)起到十分重要的作用[1]。按照用戶需求生成多方向、多批次、多層次空中目標進襲的空情是仿真平臺的一個關(guān)鍵技術(shù),然而逼真的空情態(tài)勢是一個十分復雜的問題,為降低相應(yīng)的難度,將多目標的航跡生成轉(zhuǎn)化為單目標的航跡生成,將單目標復雜運動分為一些典型的軌跡方程,然后在不同典型軌跡基礎(chǔ)上進行組合,以形成較為復雜的目標運動方式,進而滿足仿真平臺的需求[2]。

1 運動軌跡分析及數(shù)學模型

針對空中目標的運動軌跡細化分析可知,目標對地攻擊的航跡不外乎直線航跡、直線或拐彎俯沖航跡、盤旋航跡、圓周航跡、S形航跡等基本航跡,針對典型的航跡可以分解為直線、圓和弧線來近似描述[3]。同時三維航跡可以按照平面層和高度層來組合形成、分段描述,并定義目標初始運動參數(shù),進而得到綜合運動航跡。

1.1 直線航路運動模型

飛機攻擊目標常用直線航路,而水平攻擊也是飛機攻擊地面目標、投放炸彈和發(fā)射空地導彈常用的作戰(zhàn)手段,空間直線航路的軌跡是一條直線,允許多次變速飛行,可采用分段描述相應(yīng)的全航跡運動方程[4]。

假定飛機在初始點A,如圖1所示,其坐標為(x A,y A,zA),速度為vA,加速度為aA,由A點運動到B點的時間為tA,相應(yīng)的俯沖角為φ,故航跡AB段的運動方程為:

由上式可知,當φ=0,aA=0時,則為水平等速直線運動方程;當φ=0,aA≠ 0時,則為水平等加速運動方程;當φ＜ 0,則為俯沖直線運動方程;當φ＞ 0,則為直線爬升運動方程。

1.2 圓弧航路運動模型

1.2.1 水平圓弧航路運動模型

圖1 直線航路垂直面投影

圖2 圓弧航路水平面投影

圖3 垂直圓弧航路垂直投影

飛機調(diào)整航線常采用水平盤旋航路,其主要特點是在水平面內(nèi)作半徑或變半徑的圓周飛行航路,在高度上可以有升降運動[5]。如圖2為圓弧航路的水平投影,其中航路AB段和CD段為直線航路,可用相應(yīng)的直線航路公式表示,當目標飛到B點之后,假設(shè)目標在水平面按B點的速度作圓弧運動,在高度上作等加速運動,假定B點坐標為(x B,y B,zB),B點的水平速度為vB,B點的高度為yB,其垂直方向的加速度為aB,盤旋半徑為R,相應(yīng)的轉(zhuǎn)角為α。

建立相應(yīng)的極坐標系,以P點為極點,ox為相應(yīng)的極軸方向,B C圓弧段的運動方程如下:

其中:圓心P點的坐標為(x P,y p,zP),由B點的坐標以及盤旋半徑R求得,其中w為盤旋角速度,其中w= ±v B/R(順時針方向為負數(shù),逆時針方向為正數(shù)),γ為初始角,即B的極坐標角度,。當運動轉(zhuǎn)角α＞2π時,即為水平圓周運動,當aB＞ 0時為螺旋段上升運動。

1.2.2 垂直圓弧航路運動模型

垂直圓弧航路是飛機對地面目標攻擊和偵察的一種主要航路,指航跡在垂直平面(O_XY)平面的投影,如圖3所示,假定目標由A點沿直線飛行到B點后,沿圓心P、半徑為R的圓弧等速飛行,航跡AB與圓弧相切,假定B點的坐標為(x B,y B,zB),B點的俯沖速度為vB,AB段俯沖航路角為λ,垂直圓弧運動的半徑為R,設(shè)置相應(yīng)的轉(zhuǎn)角為α。

以P點為極點,相應(yīng)的弧BC段運動方程為:

上式中: 圓心P 的坐標為(x P,y P,zP), 相應(yīng)的值為(xB+Rsinλ,yB+Rcosλ,zB),w為圓弧運動的角速度,γ為B點的初始角,其值為

圖4 水平蛇形機動軌跡

圖5 目標螺旋機動軌跡

圖6 水平直線航跡

1.3 蛇形航路運動模型

為提高突防能力,反艦導彈近年來的發(fā)展突飛猛進,一種為高速突防,另一種是機動突防,目前大部分反艦導彈具有高速巡航能力,許多反艦導彈已裝備機動突防技術(shù),如俄羅斯提高突防能列反艦導彈就規(guī)劃有蛇形機動彈道,從而避免防空導彈的攔截。水平蛇形機動理論軌跡在水平面內(nèi),如圖4所示,由長度、半徑均相等的弧線正反交替、首尾相接而成,反艦導彈以恒定的速率沿軌跡運動,其中Tm,Am,n分別為機動周期、機動幅值和機動過載[6]。

建立相應(yīng)的坐標系,得到蛇形運動軌跡方程如下:

1.4 螺旋航路運動模型

螺旋運動又稱為滾筒機動,如圖5所示,Xl是螺旋軸心線,目標沿著Xl軸運動,同時繞Xl軸作等速率圓周運動,l為相應(yīng)的螺距(目標一個周期內(nèi)沿X軸飛行的距離),mA為相應(yīng)的螺旋半徑,由圖可知,目標螺旋機動軌跡與螺距、螺旋半徑有關(guān),適當調(diào)整這些參數(shù),可以得到不同的軌跡圖[7]。

建立相應(yīng)的坐標系,得到螺旋航路的運動軌跡方程:

式中:(x0,y0,z0)為目標初始位置,ρi為機動目標飛行拐彎半徑,ω為目標機動飛行角速度,0V為目標初始速度,Ni為過載系數(shù),γ為初始相位角。

2 典型運動軌跡仿真

仿真模型主要包括兩個模塊,分別是初始參數(shù)設(shè)置模塊和目標軌跡生成模塊。其中初始參數(shù)設(shè)置模塊設(shè)置目標飛行方案和運動參數(shù)等;目標軌跡計算模塊根據(jù)運動模型,生成相應(yīng)的運動軌跡,下面針對幾種典型的航跡模型進行軌跡仿真[8]。

2.1 水平直線航跡模型

目標進行水平直線航路運動時,飛行段由等速直線與變速直線航路組成,初始速度v=800m/s;加速度a=2m2/s;飛行時間t=15s,航捷P=500m軌跡示意圖如圖6所示。

2.2 水平機動航跡模型

目標進行水平機動航路運動時,飛行段由水平等速和水平機動段組成,初始速度v=800m/s;初始航捷P=500m,加速度a=4m2/s;飛行時間t=20s,拐彎半徑R=800m,軌跡示意圖如圖7所示。

2.3 水平蛇形機動航跡模型

目標進行水平蛇形航路運動時,飛行段由水平等速和水平蛇形機動組成, 初始速度v=800m/s; 初始航捷P=500m,水平蛇形機動周期t= 2s;水平蛇形機動穩(wěn)態(tài)半周期次數(shù)q= 4,飛行時間t=20s,軌跡示意圖如圖8所示。

圖7 水平機動航跡

圖8 水平蛇形機動航跡

圖9 垂直機動航跡

圖10 眼鏡蛇機動航跡

圖11 螺旋機動航跡

2.4 垂直機動航跡模型

目標進行垂直機動航路運動時,飛行段由水平等速和垂直機動段組成, 初始速度v=800m/s; 初始航捷P=500m,加速度a=4m2/s;飛行時間t=20s,爬升角λ =20°,軌跡示意圖如圖9所示。

2.5 眼鏡蛇機動航跡模型

目標進行眼鏡蛇航路運動時,飛行段由水平等速、爬升機動段和俯沖階段組成,初始速度v=800m/s;初始航捷P=500m;爬升角 λ1=20°;俯沖角λ2=40°;飛行時間t=40s。軌跡示意圖如圖10所示。

2.6 螺旋機動航跡模型

目標進行螺旋機動運動時,初始速度v=800m/s;初始航捷P=500m;垂直機動過載系數(shù)Ni= 2;飛行時間t=40s。軌跡示意圖如圖11所示。

3 結(jié)語

針對空中不同目標的典型飛行軌跡, 分析相應(yīng)直線航路、圓弧航路、蛇形航路以及螺旋航路的數(shù)學模型,并采用Matlab仿真軟件,模擬出空中目標的運動軌跡,對于不同飛行目標、環(huán)境,改變基本參數(shù),獲取相應(yīng)目標的運動信息,對于指導雷達航跡模擬具有一定的參考意義[9]。