構建微積分知識圖譜 助推一流課程建設

涂建華 肖珺怡?姜廣峰

摘 要：微積分具有知識點多、概念抽象及邏輯性強等特點。帶著如何強化現代信息技術與教育教學深度融合，幫助學生高效梳理微積分知識點之間的聯系，從而構建課程整體知識體系等問題，我們首先考慮了將知識圖譜這一智能高效的知識組織方式引入微積分教學中。知識圖譜借助圖論、統計學、計算機技術等手段，能以可視化的圖譜方式展示知識點之間的聯系以及知識體系整體框架。從知識圖譜的基礎理論出發，詳細分析了如何構建基于本體的微積分知識圖譜，以及在教學中如何利用它來引導學生進行智能高效的學習，最后對知識圖譜在教學中的應用做了展望。

關鍵詞：微積分;知識圖譜;人工智能;大學數學教學

一、前言

微積分是人類智慧的偉大成就之一，在分析和解決來自數學、物理學、工程學、經濟學、管理科學等各領域問題中都有著巨大的作用。正因為如此，微積分已經成為所有理工科大學生的必修課程，對培養學生的邏輯思維能力、分析與解決實際問題的能力至關重要。但另一方面，微積分知識點眾多，各知識點之間的聯系千絲萬縷，學生經過一年的學習，雖然可以基本掌握各個知識點，但很難貫通知識點之間的聯系，把它們構建成一個整體，形成完整的知識體系。

近年來，一流課程建設成為高等教育的熱點話題。課程作為高校人才培養體系中的最基本單元，是高校立德樹人的重要載體，是專業建設的核心要素[1]。教育部在《關于一流本科課程建設的實施意見》中指出，強化現代信息技術與教育教學深度融合，解決好教與學模式創新的問題。知識圖譜是一種智能、高效的知識組織方式，借助于圖論、統計學、現代信息技術等手段，以可視化的圖譜方式來展示某領域的核心結構、發展歷史、各個節點之間的聯系以及整體框架。利用其強大的語義處理功能和快速分析能力，知識圖譜已經成為可以快速、準確地獲取信息資源的智能化搜索與組織工具，在金融、公安、電信、醫藥、農業、政務等領域已得到了深入廣泛的應用。但在數學教育領域，知識圖譜的應用還沒有得到足夠的重視和開發。鑒于此，本文主要探討如何將知識圖譜這一信息技術應用到大學數學教育教學中，詳細分析了如何構建基于本體的微積分知識圖譜，以及在教學中如何利用它來引導學生智能高效地建立知識體系。

二、微積分知識圖譜的構建

1.知識圖譜概述

知識圖譜的概念由谷歌于2012年正式提出，其初衷是改善其搜索服務。在知識圖譜中，知識通過關系相互聯結，構成網狀的知識結構[2-3]。知識圖譜中知識總是以SPO三元組（Triple）的形式出現：<主語（Subject），謂語（Predicate），賓語（Object）>。其中主語表示個體，可以是一個人、一個地點或者一個組織;賓語可以表示個體，也可以是數據類型的實例;謂語是一個屬性，可以連接兩個個體，也可以連接一個個體和一個數據類型的實例，用以表達主語和賓語之間的語義關系。知識圖譜用圖模型來描述知識和建模知識之間聯系。每條知識中的主語和賓語由節點來表示，謂語部分由有向邊表示，進而完成該領域知識圖譜的構建。例如，我們可以從語句“微積分的研究對象是函數”中提取出三元組<微積分，研究對象，函數>，其中主語“微積分”和賓語“函數”均為個體，“研究對象”作為謂語連接兩個個體。再比如從其他材料中我們得知，函數這一概念的提出時間為17世紀，從中提取三元組<函數，提出時間，17世紀>，其中主語“函數”為個體，賓語“17世紀”為數據類型“年份”的實例，“提出時間”作為謂語連接一個個體和一個數據類型的實例。再利用知識圖譜對提取出來的三元組建模，將兩個三元組中主語和賓語的部分作為圖譜的節點，謂語部分作為有向邊，用來連接主語和賓語，如圖1所示。

從數據模型的角度來看，知識圖譜的本質是一種圖數據庫，該數據庫的數學基礎源于數學分支——圖論。在圖論中，圖是由二元組G=（V，E）表示，其中V是節點的集合，E是邊的集合，正對應著知識圖譜中的節點和邊。正是依賴這種特殊的數據模型，知識圖譜擁有極強的關系表達能力，并且基于圖論相關知識和算法，可以快速準確地完成知識的遍歷和知識體系的建立。

將知識圖譜技術與特定領域應用相結合，知識圖譜的價值能得到更大的發揮。領域知識圖譜的實體屬性與數據模式需要根據領域的特點來進行構建，同時需要考慮到特定的應用場景和使用人員。思知（OwnThink）開源了史上最大規模（1.4億）中文知識圖譜，在其平臺上搜索“微分中值定理”，查詢結果如圖2所示。

從檢索結果可以看到，現有的知識圖譜項目中，對微分中值定理只有簡單描述，而沒有提到與其他知識點之間的聯系。據我們所知，目前尚沒有可以很好用于微積分教學的知識圖譜。我們將以知識點之間的邏輯關系為主要關注點來構建微積分知識圖譜，同樣以“微分中值定理”為例，我們構建的知識圖譜將幫助學生了解到：微分中值定理是羅爾中值定理的推廣，是柯西中值定理的特例，是0階的泰勒公式，還能用來研究函數的單調性與凹凸性，在積分學中可以用來證明積分中值定理等。微積分知識圖譜主要服務于學習微積分的學生，切實幫助他們理解微積分的知識框架，理清邏輯脈絡。

2.微積分本體的構建

知識圖譜在邏輯上可分為數據層與模式層兩個部分。其中，數據層由一系列具體數據信息構成，知識將以具體事實為單位進行存儲;模式層構建在數據層之上，是經過提煉的知識，也是知識圖譜的核心。目前，基于本體工程的知識描述和表示是知識圖譜建模的主流方法，知識圖譜利用本體來管理模式層和規范數據層。本體是某一領域的概念模型，是通過鑒識相關概念，然后對其加以抽象而獲得的。利用本體，我們可以將領域中公認的術語以及術語之間的關系用計算機可以理解的語言描述出來。微積分本體即是對該領域的知識以及知識之間關系的形式化表達。構建一個完備的微積分本體庫可以為后續建立微積分知識圖譜奠定基礎，并保障其完整性和準確性。

不同類型的本體存在不同的應用目的，因此選擇合適的本體編輯工具和本體構建方法是重要的準備步驟。本文選擇利用斯坦福大學醫學院開發的Protégé軟件并結合“七步法”構建微積分本體[4-6]。Protégé是基于Java語言的本體編輯和本體開發軟件，其設計操作簡單便捷且功能齊全，是國內應用較為廣泛的本體編輯器之一。本體的構建方法依賴于本體的類型和應用領域，每一個本體庫的構建方法都有其獨特性。構建本體的方法有許多，上述“七步法”的強可行性和適用性可滿足我們的構建需求。下面將詳細說明建立微積分本體的操作步驟，并使用Protégé軟件進行實現。

（1）確定領域的本體。我們參考了同濟大學數學系編寫的《高等數學》（第七版）以及其他權威資料，并根據構建微積分本體的目的和需求，確定了本體研究領域的范圍，定義了相關知識與術語。

（2）檢索可供利用的現有本體，即考查復用現有本體的可能性。但目前高等數學領域還沒有比較成熟規范的本體庫可供直接使用，因此我們選擇手工構建微積分本體庫。

（3）列舉領域的重要概念，并進行歸納和總結。依照課本和資料，從中抽取微積分的核心概念，并將知識進行嚴密的歸類和合并。例如，抽取出的“極限”“微元法”等均為研究微積分的方法，即可將這些概念歸結為“研究方法”。依照這一方法，我們最終總結出“研究主體”“概念”“研究方法”“研究對象”“應用”“結論”“人物”“時期”八個知識集合。

（4）定義類以及類之間的層級關系。將上一步驟中總結出的知識集合，以“類”來定義，即“類”可被理解為包含若干個具有相同特征的知識集合，并從微積分本體的創建目標出發，在保證邏輯性和實用性的前提下，選擇合適的層級關系。構建類及其層級關系可采用兩種方式[7]：自頂向下與自下向上。由于微積分本體屬于較為成熟的數學領域，知識體系具有較強的完備性，因此采用自頂向下的建模方法來構建本體的邏輯關系，即首先構建最頂層概念，再逐步向下細化。Protégé軟件中的默認頂級類為“Thing”，它是所有類的父類，并選擇“subclass of”建立概念的父子類關系。將微積分的以上八個知識集合定義為“研究主體”類、“研究對象”類、“研究方法”類、“概念”類、“結論”類、“人物”類、“時期”類和“應用”類，并定義“研究主體”類為頂級類的子類，剩余七個類均為“研究主體”類的子類并且為同級關系。再在每個類下建立子類，比如，在“應用”類下建立三個子類：“導數的應用”“微分的應用”“積分的應用”;再在“積分的應用”下創建第三層概念類“幾何”“物理”。表達為：“積分的應用”隸屬于“應用”這一概念類，同時包含了“幾何”和“物理”兩個子概念。

（5）定義類的屬性。屬性用來創建類之間的二元關系，即從某一類中的個體出發，連接到另一類中的個體。除了類之間存在的父子關系以外，微積分知識點之間還存在大量的邏輯關系。選擇Protégé軟件中“Object Properties”標簽，根據微積分概念之間存在的關系，本文利用了7個對象屬性來刻畫類與類之間的內在聯系，分別為：“基本概念”“主要結論”“研究工具”“研究”“發明者”“提出時間”和“應用”。

（6）定義屬性的分面。即定義屬性約束。屬性值的集合稱為屬性類，屬性類也有屬性，這些屬性定義為屬性約束。屬性約束用于描述屬性值的類型范圍等方面。本文描述了對象屬性的定義域和值域，分別為作為屬性的陳述對象和支配對象。Protégé軟件中，分別用描述框中的“Domain（intersection）”和“Range（intersection）”來建立對象屬性的定義域和值域，如“發明者”的定義域為“研究主體”，值域為“人物”。

（7）添加個體，為每個個體進行數據屬性的構建。Protégé軟件中個體的建立是在“Instances”標簽中實現的。將個體創建完畢后，在“owl：Types”中編輯每個個體所屬的類，用于完成將個體填充到各個類的工作。依照微積分核心知識的特點，分別建立了“分類”“計算方法”“概念”“定義”“幾何意義”“性質”和“本質”7個數據屬性，并定義每個數據屬性的值域為“string”。例如：將個體“函數”添加到“研究對象”類中，再在個體編輯界面中，在描述框中選擇“Data property assertions”為個體“函數”分別編輯了“定義”“分類”“性質”三個數據屬性。其中屬性“定義”的具體描述內容為：定義域和值域;屬性“分類”的具體描述內容為：分段函數、隱函數、初等函數、反函數、復合函數;屬性“性質”的具體描述內容為：有界性、單調性、奇偶性、周期性。將微積分的核心知識添加到對應類中，并為每個個體編輯數據屬性，微積分本體的構建最終完成。

3.微積分知識圖譜的存儲

我們將利用網絡知識庫Neo4j進行知識圖譜的存儲，這樣不僅可以滿足對微積分知識的存儲，同時依賴網絡還能夠達到優質教育資源共享的目的。Neo4j是主要基于Cypher語言的圖數據庫，它將數據以圖形方式存儲、處理、查詢和呈現。圖數據庫的每個節點都有指向鄰居節點的有向邊，使得可以在時間復雜度為O（1）的情況下遍歷到鄰居節點，且該數據庫將節點與節點之間的關系單獨存儲，更有利于提高圖遍歷的速度，從而提高搜索的速度。

微積分知識圖譜是以事實為單位進行存儲的，因此我們需要將上一步驟微積分本體庫中的知識整理為三元組結構，再根據Cypher的語法規則對微積分知識圖譜進行編譯，進而完成微積分知識圖譜的存儲。我們可在編譯欄中利用Cypher查詢語句檢索“微積分”，查詢結果如圖3所示。

通過對“微積分”的搜索，可以快速查詢到微積分的基本概念、研究工具等知識，并且每條知識都具體呈現了與微積分的相關性和它們之間的邏輯關系。

4.實現web前端展示界面

微積分知識圖譜應用系統，可實現基于微積分知識圖譜的可視化展示、智能搜索、知識問答等功能。在微積分知識圖譜界面的搜索窗口，學生可輸入關鍵詞進行知識的搜索，關鍵詞將生成查詢語句在Neo4j圖數據庫中查詢對應的結果，最后將結果返回前端，學生就可以看到以所查詢知識點為中心的知識圖譜。

三、微積分知識圖譜在教學中的應用

微積分知識圖譜以圖的形式存儲與展示知識點與知識點之間的關系，對提高微積分教學效果有重要意義。

（1）有利于知識點相關聯的“小知識框架”建立。根據學生輸入的知識點，將關聯的知識點按照圖譜的方式進行展示，方便學生按照關聯關系來學習。更重要的是，讓學生以更宏觀的角度來掌握知識點的來龍去脈。比如，檢索“定積分”，能查詢到它與不定積分、微分、幾何與物理應用等的不同關系，這些關系將以圖譜的方式可視化展示。

（2）有利于課程知識體系的建立。學生借助于微積分知識圖譜，對重要知識點進行檢索查詢，并不斷地追本溯源，從而理清微積分的邏輯脈絡，建立課程整體的知識體系。同時，學生也容易整體把握微積分要解決的主要問題、核心概念、重要結論以及邏輯基礎。

（3）個性化學習路徑推薦。為進一步發揮知識圖譜的作用，還可以將知識圖譜與大數據技術、機器學習等相結合。知識圖譜可以針對個人構建模型，利用大數據技術關注每一個學生的學習記錄，包括其在在線平臺觀看視頻的時長、每次在線測試的成績、提交作業的成績等。利用學生的以上數據，分析學生對各個知識點及相關內容的掌握程度，進而給出個性化學習推薦。對不同學生，做出學情分析，推薦需要加強學習的資源和推送相關習題。

（4）輔助教師提升教學效果。教師可以借助微積分知識圖譜來優化課程教學，以提升教學效果和效率。一是教師可以借助知識圖譜的幫助和啟發去設計教學思路，向學生展示知識點之間的邏輯關系，使學生理解一節課要解決的主要問題和要學習的重要知識點。二是教師可以讓學生通過知識圖譜去建立某章節的知識框架以及與下一章節的聯系，并帶著問題去預習下一章節。

四、總結與展望

微積分是一座宏偉的大廈，由基石、梁柱和磚木構成。學生學習的過程往往看到的是一個個磚木，走廊，而沒法理解大廈的結構，因此學習的動力不足，興趣不高。知識圖譜更能體現出知識的脈絡和邏輯，將知識點之間的關聯關系以圖譜的方式可視化展示。本文中我們探討了如何將微積分的知識點以知識圖譜的形式有機串聯起來，講述了構建微積分知識圖譜的具體步驟。在教學過程中，教師可以引導學生利用微積分知識圖譜進行高效學習，使學生能理解微積分的整體框架，知道知識點的來龍去脈，用更宏觀的視角來理解和學習微積分。再者，通過將知識圖譜與大數據、機器學習等相結合，優質教育資源共享的目標有望更好實現。利用網絡知識庫，知識圖譜可以幫助學生更高效地獲取知識，同時通過個性化學習推薦幫助學生進行針對性學習。

知識圖譜在大學數學教學領域還未得到廣泛的應用，我們對微積分知識圖譜的構建仍處于探索階段，后期還有非常多的工作要做，比如本體的進一步補充，對關聯關系的進一步改進，圖譜可視化的實現等。未來我們也將進一步研究如何將微積分知識圖譜與人工智能技術結合，使得教學中一些深層次問題得到解決。我們也希望我們的工作能對其他教師有所啟發。總之，教師對教育領域中新興方法的適應、學習與應用將有助于其更好地順應時代的潮流和探索優秀的教育模式，進而在教學工作中不斷創新突破。

參考文獻：

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[責任編輯：余大品]