基于啟發式教學思想的數學命題教學設計

梁佩雯 楊豫暉

【摘要】基于啟發式教學思想，以“平行線的判定”為例，結合數學命題學習的三個階段（命題獲得、命題證明、命題應用），進行教學設計及其理論分析.

【關鍵詞】數學命題教學;啟發式教學;教學設計;平行線的判定

【基金項目】數學教學設計與實施，廣東省研究生示范課程研究項目（2018SFKC40）.

一、引言

在初中教學階段，加強數學命題教學是初中數學教學十分重要的任務.數學命題教學是指教師通過挖掘命題內核，遵循學生數學命題學習的三個階段，即命題獲得、命題證明、命題應用，設計出符合數學命題內在邏輯及學生認知的教學活動，進而將數學命題穩定融入學生的認知結構當中.

啟發式數學教學必須依托數學學科的特點（嚴謹的邏輯性、高度的抽象性、應用的廣泛性）和數學學習的特殊性（數學學習本質上是學習數學思維活動）.啟發式數學教學思想的實質是指教師在教學過程中，能結合數學命題產生的思維活動過程，從學生實際即學生的知識含量、認知水平、思維方式出發，采用設問置疑、引發猜想等方式，力求創設“不憤不名，不悱不發”的教學情境，使學生產生在認知與情感上的“饑餓感”，進而誘發學生主動思考、動手探究，并能用語言表達思維過程，最終習得知識，形成技能，提高能力，積累經驗.

事實上，啟發式教學早已滲透在中學數學教學當中，但將啟發式教學融入數學命題教學中成形的理論和模式較少，而單獨研究啟發式教學或數學命題教學的成果已十分成熟.因此，本文試圖探討基于啟發式教學思想的數學命題教學方法，以期為初中數學命題教學提供一定的借鑒和參考.

二、基于啟發式教學思想的數學命題教學設計思路

以啟發式教學思想作為數學命題教學的指導思想，其目標指向學生思考的過程和思考的方法，而不是問題的結果和統一的標準答案.根據不同的教學內容和教學目標，教師可以設計不同的教學模式.不同的數學命題教學模式主要區別在于命題獲得階段，而啟發學生思考的關鍵則體現在每個思維階段的提問環節.

本文在張昕、韓龍淑、屈俊等提出的教學設計流程圖的基礎上，結合數學命題的特點、結構、學習形式及學習的心理過程，建立如下流程圖.

需要指出的是，本文基于啟發式教學思想的數學命題教學設計流程圖，是基于初中階段“平行線的判定”這一節課構建的，同時，該流程圖還明確了教學設計的分析過程、教學的設計過程、教學過程的啟發關鍵點，包括在命題獲得階段創設憤悱的問題情境和在命題證明階段進行思維策略的指導，將設計“平行線的判定”這節課的思考與實施過程進行提煉，以期為中學數學教師對啟發式教學本質的把握提供案例式的參考.

三、基于啟發式教學思想的平行線的判定定理教學設計

1.確定數學命題教學的目標

《義務教育數學課程標準（2011年版）》對“平行線的判定”這節課的兩點要求：①掌握基本事實：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行;②探索并證明平行線的判定定理：兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等（或同旁內角互補），那么這兩條直線平行.其核心內容是三條判定定理的學習，非常適合在命題證明時向學生滲透轉化的思維策略.本文確定的教學目標包括：①認識“∵”“∴”，初步學會用符號語言表示推理過程;②在“利用三角尺和直尺畫平行線”的活動中，發現判定定理1，體會其作為基本事實的合理性;③利用轉化思想探索判定定理2和判定定理3;④能初步運用三條定理進行簡單推理和解決數學問題.

2.啟發學生經歷思考的節點

在學習這節課之前，學生已經認識了同位角、內錯角、同旁內角，以及平行線的定義.同時，學生之前接觸的是一步推理，而且是在因果關系比較明顯的情況下進行的推理.而平行線判定定理的推導需要先通過角的關系，進而找到符合判定定理的條件，因此涉及兩步推理，學生需要思考的問題會復雜一些.

因此，教師在教學的過程中應當注意引導與啟發學生思考，滲透轉化的思維策略，即通過“同位角相等，兩直線平行”的學習，可以轉化為證明“內錯角相等，兩直線平行”的方法，同樣的，“同旁內角互補，兩直線平行”的證明也可以通過轉化為前兩條判定定理進行求證.轉化的思想是本節課要教給學生的一種重要的思維策略.

3.教學預設

活動1：復習舊知.

提問1：我們上一節課已經知道了平行線，同學們請看，這是一組平行線嗎？

追問：你是怎么確定它是平行線的呢？（隱性提問：如何證明兩直線平行呢？）

【設計意圖】激活“平行線的定義”這一節點，同時為本節課的要點“如何證明平行線”埋下伏筆.

活動2：獲得判定定理1

通過畫平行線的活動引導學生產生“同位角相等，兩直線平行”的猜想，此時教師應肯定學生的猜想，使學生獲得命題，而后滲透符號語言的表達，為后續命題的證明做好準備.該活動達成教學目標1和2.

提問2：請同學們拿出直尺和三角板，應用直尺和三角板在練習本上嘗試畫出平行線，畫完后小組討論，看看你能發現什么規律？

請多名小組代表回答，由教師總結：①三角板是沿著同一條直線移動;②這條直線與平行線之間的夾角是同位角;③由于這兩個角都是三角板中的一個角，所以同位角相等.

追問：在畫平行線的活動中，我們發現當確定這兩條直線是一組平行線時，那么其同位角是相等的.反過來說，如果我們能確定有一組同位角相等，能不能證明這兩條直線相互平行呢？

教師引導學生猜想：同位角相等，可以證明兩條直線平行.

【設計意圖】經歷數學活動產生命題猜想，進而得到啟發：同位角相等，可以證明兩直線平行.

PPT展示平行線的判定定理1及板書符號語言：

∵ ∠1=∠2，

∴l1∥l2.（同位角相等，兩直線平行）

【設計意圖】經歷畫平行線的活動獲得判定定理1，體會這是一個基本事實.同時，初步讓學生學會用符號語言表示推理過程，從中體會數學的簡潔美，也為后續判定定理2和判定定理3的推理做好準備.

活動3：獲得并證明判定定理2

通過思考題猜想“內錯角相等，兩直線平行”并證明.在證明猜想的過程中學生會產生由一步推理提升到兩步推理的認知困難，此時是滲透轉化思維策略及啟發學生逆向思維的關鍵.該活動達成教學目標3.

【PPT展示】思考：如果∠1=∠3，能證明AB∥CD嗎？

提問3：既然我們已經知道了同位角和平行線之間的關系，看圖，哪名同學能幫老師找到圖中所有的同位角呢？

追問1：除了同位角，我們還學過內錯角，能否繼續找出圖中所有的內錯角呢？

追問2：你認為內錯角與平行線之間是否也存在關系呢？

教師引導學生猜想：內錯角相等，可以證明兩直線平行.

【設計意圖】獲得命題猜想并試圖證明，學生開始思考，出現啟發關鍵.

緊接著，教師通過問答的方式，先幫助學生理清解題思路，再要求學生作答.

【預案】

問：題目中需要我們求證的是什么？答：AB∥CD.

問：要證明兩條直線平行，需要尋找什么？答：同位角相等.

問：題目中是否告訴我們同位角相等？題目中給出的條件是什么？答：沒有.題目中已知的條件是∠1=∠3.

問：這是一組什么角？答：內錯角.

問：既然沒有告訴我們相關條件，你能否從這個圖中找出一些隱含的條件呢？

……

【設計意圖】學生首次接觸兩步推理，教師通過問答的方式幫學生厘清證明思路，讓學生感知推理證明的思維方式，同時滲透轉化的思維策略，培養學生的逆向思維能力.

活動4：獲得并證明判定定理3.

自主探索并證明判定定理3，進一步體會轉化思想的意義.該活動達成教學目標3.

提問4：請同學們繼續思考，剛才我們已知當同位角相等和內錯角相等時，兩直線平行，那同旁內角與平行線是否也存在關系呢？

【預設】學生產生“同旁內角相等或同旁內角互補，兩直線平行”兩種不同猜想.

【PPT展示】思考：如果∠1+∠4=180°，能證明AB∥CD嗎？

提問5：小組內相互討論，并用不同的方法進行證明.

教師巡視并指導，然后請小組代表作答，展示兩種證明過程.

【設計意圖】在前面學習的基礎上讓學生獨立發現命題并證明，再次強化轉化思想在數學問題解決中的應用.

活動5：命題應用與強化.

解決一道思考題強化學生頭腦中新獲得的命題.該活動達成教學目標4.

【PPT展示】思考題：如圖所示，∠D=53°，∠1=127°，∠2=53°，請說明直線EF與DG，AB與CD的位置關系.

提問6：請同學們小組內討論交流，嘗試用多種方法進行證明，看看哪個小組能做得又多又好.

學生討論交流，教師巡視并指導，要求同學們獨立寫出至少兩種證明過程，然后找1名小組代表展示其中一種證明方法，其他方法則作為課后作業進行補充.

【設計意圖】通過一題多證強化學生頭腦中新形成的新知.

四、基于啟發式教學思想的數學命題教學設計應注意的問題

通過“平行線的判定”這節課的設計以及流程圖的構建，筆者認為教學啟發的關鍵出現在命題獲得和命題證明兩個階段，抓好啟發的本質和關鍵，不僅能幫助學生學到真正有用的數學知識，還能幫助他們提高能力，形成智慧.

第一，數學教學是以數學知識為“物質基礎”的，數學教師必須揭開數學教材中知識邏輯體系的面紗，展露數學知識產生的思維過程.在分析過程中，教學目標的確定應體現該命題有梯度的推理和證明過程，符合學生的認知規律，保證學生動腦思考的積極性.

第二，創設猜想、置疑的情境是啟發式教學思想的起點，也是學生獲得命題的關鍵.在此之前，可以先激活學生頭腦中已有的相關知識，只有原有的知識網絡啟動之后，新的結點才能更好地被大腦接收.學生在問題情境中產生了認知缺口，教師需以提問的方式引導、啟發學生主動思考，體驗邏輯推理的思維過程.比如在證明定理2的過程中，需要運用逆向思維及兩步推理，對于學生來說具有挑戰性，教師可通過提問方式幫助學生梳理思路，由學生自己完成推理過程，進而再自主探索定理3并進行證明.學生只有經歷了主動思考過程，才能學會推理方法，提升數學的理性精神.

第三，命題證明階段是提供思維策略啟發的關鍵.“思維策略的指導即教給學生模式性、策略性的內容，讓學生學會在做任何事之前不沖動、先思考、講策略，進而體驗事半功倍的樂趣”.在“平行線的判定”課例中，證明判定定理2和3的過程滲透了轉化的思維策略，不僅能啟發學生思考，使學生從中學習解決問題的不同方法，還能培養學生的逆向思維品質.

【參考文獻】

[1]陸建.數學啟發式教學研究[D].南京師范大學，2007.

[2]張昕.初中數學現代啟發式教學的研究與實驗[D].華中師范大學，2007.

[3]曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2018.

[4]孔凡哲，曾崢.數學學習心理學[M].北京：北京大學出版社，2012.

[5]喻平.數學教學心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2010.

[6] G·波利亞.怎樣解題：數學思維的新方法[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2011.

[7]何小亞，姚靜.中學數學教學設計[M].北京：科學出版社，2012：64-65.

[8]章建躍.啟發式數學教學的幾個關鍵[J].數學通報，1992（07）.

[9]喻平.論數學命題學習[J].數學教育學報，1999，8（4）.

[10]王光明，戴永.數學命題的整體性教學策略[J].中學數學教學參考，2007（12）.

[11]王光明，戴永.再談數學命題的教學策略[J].中學數學教學參考，2008（5）.

[12]周友士. 基于認知建構理論的數學命題學習研究[J].數學教育學報，2008，17（5）.

[13]鄭慶全，單墫.數學命題的特征及其教學意義[J].數學通報，2009，48（3）.