基于經驗 促進理解
——兼評兩則《小數的意義》教學設計

周衛東（特級教師）

理解實質上就是一個學習者以信息的傳輸、編碼為基礎，根據已有的信息建構內部心理表征，并進而獲得心理意義的過程。與一般的“理解”相比，數學理解具有典型的學科韻味。首先，理解的對象是數學的概念及其關系,理解意味著對數學概念的內涵和外延的準確把握，對概念之間相互關系的清晰認識。其次，數學理解是過程與結果的統一。從過程方面看，數學理解是學生與數學知識溝通對話，相互融合，不斷生成新的認知結構的過程。從結果方面看，數學理解則可以看成是學生數學學習的一種“獲得”，是外在的數學結構在個體心理上的投射。

基于如上分析，闞尚錦老師設計的《讓新知在經驗中生長》（簡稱設計一）與方芳老師設計的《建立概念表象 讓思維看得見》（簡稱設計二），都能基于經驗、促進理解，在提升學生學科素養方面均有著許多值得廣大同行學習與借鑒的地方。

一、突出原理，讓學生明晰“理解什么”

數學教學教什么？毋庸置疑，擺在第一位的一定是教學內容的本質和內涵。

小數的意義是什么？追根溯源，小數并不是由分數改寫而產生的，而是自然數的十進位值計數規則加以擴展的結果，它是以10 的N 次冪為分母的另外一種表示形式，是十進制計數向相反方向衍生的結果，其本質就是十進制分數的另一種表現形式。小數和整數在形式上是統一的，小數的出現也使十進制計數法從整數擴展到分數，數的內涵更加豐富了。數的形式改變了，但其中不變的是相鄰兩個計數單位之間的進率還是10。

借助生活。兩則教學設計深明此理，并有著不同的教學表達。設計一以生活中常見的測量身高現象為載體構成情境串展開。第一個情境圍繞“小軍的身高是1．4米”，讓學生思考“這里的1 和4分別表示什么”，使其明白，這里的“4”是4 格，表示把1 米平均分成10 份，取了其中的4 份，表示0．4 米；接著以此為基點逐漸建立起一位小數的基本含義，即“一位小數表示十分之幾”。第二個情境圍繞“半個學期后，小軍再一次量了身高，身高到了1．4～1．5 米之間，你能想出辦法知道他現在的身高嗎”展開。引導學生進一步理解，可以把1．4～1．5 之間繼續平均分成10 份，現在高出的3 小格，每一小格是0．01 米，即他現在的身高就是1．43 米，并在大量素材的比較中建立起兩位小數的意義，即“兩位小數表示百分之幾”；然后，以大問題“你覺得還有幾位小數？請你任選一個兩位以上的小數，利用表格或紙片進行研究”驅動，把學生帶到一個更大的空間之中，任學生的思維自由馳騁，在自我感悟、全班共研的環境中形成對更多位小數意義的理解。

關注創造。設計二的教學可謂獨樹一幟，別有洞天。精心創設了讓學生畫“0．46”的大問題，帶領學生的思維一次又一次處于“悱憤”之中。對于畫0．46，大多數學生都會想到要涂出比4 格多一點，多多少呢？在深度卷入中學生逐漸明白，可以將第5 格再平均分成10 份，涂其中的6 份。進而引思：同一幅圖中出現了兩個計數單位，怎么才能統一計數單位呢？從而畫出了更為精確的網格圖，將正方形平均分成了100 份，這樣，計數單位悄悄變化，凸顯了相鄰十進制計數單位之間的關系，進而引出兩位小數的意義。學生在理解一位小數意義的基礎上進行已有學習經驗的正向遷移，通過一系列的追問，促使學生將已有十進制知識進行再創造，經歷“做”數學的過程，建構出兩位小數對應的概念表征，理解了兩位小數的意義。

二、經歷過程，讓學生卷入“怎么理解”

讓學生自己建構數學既是教學的目標，也是理解數學的方式。發展學生的數學理解，重要的是讓學生經歷學習的過程，讓學生自己建構數學知識。

強化“變式”。在設計一中，學生初步理解了一位小數的意義后，讓學生用正方形的紙片，通過折一折、畫一畫等方法表示0.3。在理解了一位小數的意義后，又讓學生拿出剛剛的那張正方形紙片，在原作品上表示想研究的一個兩位小數。并對學生作品進行逐一評析，讓其明白，無論畫的是一維的線段還是二維的平面圖形，只要把它們平均分成10 份、100 份，其中的幾份都可以用小數來表示，促進其進一步加深對小數意義的理解。在設計二中也有同樣的過程。

豐富“表征”。每一個抽象的數學概念，都可以有不同的數學表征。不同表征之間的“互譯”，可以豐富學生對概念內涵的把握和洞察。因此，數學教學中應鼓勵學生用自己有意義的形式表征他們的數學觀點，在不同的表征方式之間形成豐富的聯系，有利于形成豐富的概念意象，促進對數學知識的深入理解。比如，設計一的練習階段，讓學生在線段、長方形和長方體三種圖形中任選一種來表示0.7、0.23 和0.575，從而使其明白：數學知識內部的發展是有規律可循的，盡管每一種圖都可以表示多位小數，但是平均分成10 份、100 份、1000 份，分別對應一維的線段圖、二維的平面圖和三維的方體圖會顯得更方便些。設計二讓學生在方格紙上畫出“0.46”，也體現出同樣的特點，在第5 份中怎么再平均分成10 份呢，有學生橫著分，也有學生豎著分，教師引導學生對兩種表征方式進行對比，在肯定都有道理的前提下，引導學生感覺到，橫著分的優勢更明顯：既美觀又明晰，還能更方便把整個正方形平均分成100 份。

三、多重聯系，讓學生實現“理解深刻”

哈佛大學威金斯教授等人認為，理解不是單方面的成就，而是多方面的，可以通過不同類型的證據表現出來。“真正的理解”可以在六個方面得以體現，即能結構、能解釋、能應用、能洞察、能深入、能自知。理解的六個維度表現為評價學生的數學理解提供了多元的指標，同時也啟示我們：數學教學不僅要關注知識的客觀性標準，也要關注學生在理解數學時的個性化活動。

納入結構。一般情況下，學習過程只能按時間順序先后安排，但理解卻并不是直線式的簡單累積；相反，它是螺旋式地發展、結構式地建造出來的。對于數學來說，無論是一個概念的形成，還是整體認知結構的產生，都需要經歷一個建構的過程。因此，理解不僅僅是把新知識與先前的已有知識產生聯系，而是創建了一個豐富的、整合的知識結構。兩則設計都能關注知識內部聯系的建立。比如設計一出示了三幅圖，讓學生填空并思考“它們之間有什么聯系”；而設計二則通過同一個正方體，依次平均分成10 份、100份、1000 份后所得到一份量，感受不同計數單位1、0.1、0.01、0.001，進一步讓學生感受一位小數、兩位小數與三位小數的研究模型及其計數單位之間的關系。

促進闡釋。面對不同的問題人們通常會采取不同的思維方式?；谡鎸嵢蝿盏膯栴}解決將學校學習視為“現實世界中創造性社會實踐中完整的一部分”，對促進學生的數學理解具有重要的作用。真實任務為學生提供了一個有意義學習并促進知識向日常生活轉化的實踐場。在這一實踐場中，知識、思維和學習的情境是互相緊密聯系的，學生的信念、經驗和背景構成了解決問題的概念工具。在設計一中，精心設計了“上四年級的小馬在學校參加了體檢”這一現實問題，讓學生在有趣富有開放性的問題中，運用已經理解的小數意義進行解釋和應用，同時也有效地建立了數學與生活的緊密聯系。在設計二中，則圍繞“有了分數為什么還要學習小數呢”這一思辨性很強的問題進行研究，并讓學生用分數與小數兩種方法表示結果，從而感受到用小數計算比用分數計算更加快捷與簡單，體現學習小數的價值。