運(yùn)算能力的培養(yǎng)要緊扣『理』『法』『境』
——以《兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）筆算》教學(xué)為例

蔣敏杰 潘小福（特級(jí)教師）

數(shù)的運(yùn)算是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)。“運(yùn)算能力”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出的應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展的十項(xiàng)素養(yǎng)之一，培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》將“數(shù)學(xué)運(yùn)算”定位為六項(xiàng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，主要表現(xiàn)為：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果。基于小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)科性質(zhì)及小學(xué)生年齡特點(diǎn)，小學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)應(yīng)注重理解運(yùn)算、實(shí)施運(yùn)算和估算。計(jì)算教學(xué)中要重視學(xué)生獨(dú)立思考，多元表征理解運(yùn)算的算理，構(gòu)建算法，靈活選擇合適算法解決問題，發(fā)展思維能力。

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”是小學(xué)四則運(yùn)算的重要內(nèi)容，是后續(xù)學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)以及小數(shù)乘法的基礎(chǔ)。乘數(shù)由一位數(shù)拓展為兩位數(shù)，是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)由舊知向新知的一次拓展，更是整數(shù)乘法學(xué)習(xí)中的一次跨越。不少教師在教學(xué)豎式時(shí)認(rèn)為，學(xué)生已會(huì)兩位數(shù)乘一位數(shù)豎式，只需要引導(dǎo)遷移就行；或是學(xué)生在教師的帶領(lǐng)下僅完成了例題就放手讓學(xué)生獨(dú)立練習(xí)。而現(xiàn)實(shí)是：學(xué)生不會(huì)算，第二層積不會(huì)對(duì)位，乘的順序有誤……可見，兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算豎式結(jié)構(gòu)、運(yùn)算程序與原有經(jīng)驗(yàn)的差異，學(xué)生認(rèn)識(shí)跨越的客觀性，這些決定了理解及實(shí)施運(yùn)算不能簡單地遷移與講授。人教版、蘇教版教材將此內(nèi)容均編排在三年級(jí)下冊(cè)，兩位數(shù)乘一位數(shù)、整十?dāng)?shù)口算教學(xué)之后，都以解決實(shí)際問題為情境引入。具體編排上，人教版承接已往學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和工具，利用點(diǎn)子圖引導(dǎo)學(xué)生圈一圈、算一算，借助幾何直觀，學(xué)生不僅明確口算方法的算理，還溝通了內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生將口算方法遷移到筆算方法中。蘇教版則充分應(yīng)用問題情境“又搬來2 箱”，引導(dǎo)學(xué)生借助認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，聯(lián)系實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系來感悟算法，連接筆算豎式，進(jìn)而掌握算法。可見，兩個(gè)版本教材都遵循學(xué)生思維發(fā)展過程，強(qiáng)調(diào)算理聯(lián)通，構(gòu)建算法，靈活應(yīng)用，于此，教學(xué)中緊扣“理”“法”“境”三要素，是提升學(xué)生運(yùn)算能力的可行策略。下面以王妍老師和王暑雅老師《兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）筆算》的同課異構(gòu)教學(xué)為例，談一談小學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的教學(xué)培養(yǎng)。

一、注重“算理”理解的探究與建模

算理為算法提供理論依據(jù)，核心在明理、會(huì)意、成型，懂得“為什么這樣算”的道理，因此理解算理是正確掌握計(jì)算方法的關(guān)鍵，缺乏算理支撐的算法是機(jī)械的，只有既明白怎樣算又明白為什么這樣算，算法才具有意義。本課的算理關(guān)鍵在于理解為什么分兩步乘，以及每一步乘的結(jié)果為什么要寫在規(guī)定的位置上。“理”如何講清講明，兩位教師采用了不同的表征方式加以支持。理解為什么分兩步乘，由于三年級(jí)學(xué)生沒有學(xué)過乘法分配律，不可能聯(lián)系運(yùn)算律來理解和解釋兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法，因此王妍老師通過點(diǎn)子圖的圈、畫表達(dá)算的過程，提出要求，借助幾何直觀，引導(dǎo)學(xué)生理解這樣“拆開來”計(jì)算的必要性與合理性。王暑雅老師，結(jié)合著“買鉛筆”的現(xiàn)實(shí)情境，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)用生活經(jīng)驗(yàn)，聯(lián)系實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系感悟理解。如“把12 盒拆成2 盒和10 盒，先算2 盒，24 乘2 等于48 支，再算10 盒，24 乘10 等于240 支，最后加起來就是288支。這樣分更容易口算。”對(duì)建立在現(xiàn)實(shí)情境中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析，為學(xué)生理解算理提供幫助。

對(duì)于理解“每一步乘的結(jié)果為什么要寫在規(guī)定的位置上”，兩位教師的做法趨于一致。兩節(jié)課都非常注重溝通“拆開來計(jì)算”的過程與已有豎式計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生在比較聯(lián)系中理解每一步算出的是什么，在豎式中如何表達(dá)等，從而較好地理解豎式計(jì)算的程序。

教學(xué)研究可知，算理的理解離不開對(duì)問題構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型抽象，理解算理需要通過多種形式，多元表征算法內(nèi)涵，以促進(jìn)已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的遷移與再創(chuàng)造，幫助學(xué)生形成計(jì)算模型。這種幫助一般表現(xiàn)為提供一定的思維支架，如本課研究中對(duì)點(diǎn)子圖操作與結(jié)合情境圖理解等，都為學(xué)生搭建了“為什么這樣算”的平臺(tái)，通過“動(dòng)手做”“用嘴說”“落筆記”的方式，促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理進(jìn)行主體性構(gòu)造分析。此外，兩位教師在教學(xué)中不約而同地設(shè)計(jì)了操作、口算（橫式）與豎式表達(dá)的溝通環(huán)節(jié)，進(jìn)一步在掌握算法中強(qiáng)化了算理理解，使算理融于計(jì)算認(rèn)識(shí)的不同節(jié)點(diǎn)，如此有意義的聯(lián)系，使“算理”理解成為一個(gè)整體綜合的內(nèi)循環(huán)過程。

二、體現(xiàn)“算法”建構(gòu)的創(chuàng)造與遷移

計(jì)算能力包含著對(duì)算法的構(gòu)造、設(shè)計(jì)、選擇。算理、算法互為支撐，讓學(xué)生經(jīng)歷算法的“創(chuàng)造”過程，既是對(duì)算理理解的強(qiáng)化，也有助于學(xué)生理解及掌握算法，提高計(jì)算技能，是學(xué)生運(yùn)算能力提升的重要保證。上述兩個(gè)教學(xué)中，雖然算理理解的表征切入方式不同，但都注重了基于“理”的算法自主探索，以順應(yīng)學(xué)生的思維方式，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)“生長”的過程。

第一層次：根據(jù)需要解決的問題，調(diào)用原有經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)思考。“借助點(diǎn)子圖，把你的想法記錄下來”“你能根據(jù)以前學(xué)過的知識(shí)想辦法解決嗎？”基于問題解決，教師提供學(xué)習(xí)工具，提出探究任務(wù)。其后，學(xué)生借助圖式、具體情境將問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的一位數(shù)乘法進(jìn)行計(jì)算，并通過比較分析，理解不同算法的合理性，并類推出更多“拆”的方法。王妍老師在這個(gè)過程中還特別設(shè)計(jì)了變式辨析的過程，讓學(xué)生感受到有的兩位數(shù)不能拆成兩個(gè)數(shù)的乘積，但是總能拆成整十?dāng)?shù)和一位數(shù)的和，為后面的豎式計(jì)算、理解算理做了很好的鋪墊。

第二層次：溝通不同算法之間的聯(lián)系，讓學(xué)生自主“創(chuàng)造”兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式。兩個(gè)版本教材，都是從分步計(jì)算的角度引導(dǎo)學(xué)生向筆算進(jìn)行遷移的，較好地蘊(yùn)含了豎式計(jì)算的算理和計(jì)算程序，但如果僅此而已，常會(huì)出現(xiàn)“分步計(jì)算直觀易懂，但到了豎式計(jì)算時(shí)，每一步計(jì)算的是什么就不那么直觀”的現(xiàn)象，如何幫助學(xué)生從分步計(jì)算過渡到豎式計(jì)算，完成對(duì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法建構(gòu)呢？兩位教師都關(guān)注到了“操作”與“思維”，將豎式創(chuàng)造與記錄表達(dá)有機(jī)聯(lián)系起來，引發(fā)思考：“先算什么，再算什么，怎樣書寫豎式可以清楚地記錄計(jì)算過程，并計(jì)算出結(jié)果？”兩者不同的是，點(diǎn)子圖較直觀，情境圖則更貼合生活情境。正如教學(xué)中出現(xiàn)了有的學(xué)生是分三個(gè)豎式，有的是對(duì)位出錯(cuò)等等，這些都通過想、說、辯等過程得以從“理”的視角糾正，這種承接理解，接的就是運(yùn)算本質(zhì)的地氣。這個(gè)教學(xué)過程中，不是簡單地告訴學(xué)生兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法，而是讓學(xué)生經(jīng)歷“尋求”合理運(yùn)算途徑的過程，是個(gè)人的運(yùn)算“創(chuàng)造”。

第三層次：逐層構(gòu)建，掌握算法。對(duì)于豎式計(jì)算的算法突破，并非一次例題教學(xué)就能突破，而需要進(jìn)一步豐富例證，以降低學(xué)習(xí)難度，提升計(jì)算技能。王妍老師通過“示范指導(dǎo)——回顧反思——比較溝通”的閉環(huán)方式，幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握豎式計(jì)算程序，在練習(xí)后嘗試總結(jié)計(jì)算方法。王暑雅老師則結(jié)合問題情境，設(shè)計(jì)“聯(lián)系情境——指導(dǎo)講解——演繹應(yīng)用”的過程，促進(jìn)學(xué)生歸納算法。兩種方式的教學(xué)都承接“算法創(chuàng)造”的過程，體現(xiàn)對(duì)實(shí)施運(yùn)算能力的落實(shí)。

教學(xué)研究可知，要讓學(xué)生自然地理解、掌握計(jì)算方法，首先需要教師設(shè)計(jì)貼合兒童思維的多樣化探究活動(dòng)，從已有經(jīng)驗(yàn)與方法出發(fā)，逐步向具體算法進(jìn)行遷移與轉(zhuǎn)化，并在過程中不斷優(yōu)化認(rèn)識(shí)，豐富理解。兩個(gè)教學(xué)中，學(xué)生借助思維工具的支持（點(diǎn)子圖、問題情境），憑借原有經(jīng)驗(yàn)遷移、轉(zhuǎn)化能夠想到算法，并通過直觀化手段引導(dǎo)思維，展開分析、綜合、比較、抽象和推理等思維過程，使學(xué)生能夠從乘法的意義、具體情境中理解算理，支持算法形成，不但使算法有根據(jù)，還發(fā)展了學(xué)生的思維能力。其次，要聚焦核心關(guān)鍵，注重引導(dǎo)算法創(chuàng)造。如本課中“如何對(duì)位書寫”的問題就是核心關(guān)鍵，教師要聚焦相似性，幫助學(xué)生對(duì)算法進(jìn)行主體性構(gòu)造分析，給予學(xué)生研究、交流的平臺(tái)，在“講道理”中實(shí)現(xiàn)特殊向一般的轉(zhuǎn)化。最后，還需要設(shè)計(jì)溝通比較環(huán)節(jié)，以提升對(duì)算法的歸納。教學(xué)中教師需要以例題指導(dǎo)為基礎(chǔ)，開展指向算理理解與算法建構(gòu)的梯度練習(xí)，并通過多個(gè)例子的分析比較后，再進(jìn)行算法歸納，使“算法”落地。

三、強(qiáng)調(diào)“情境”應(yīng)用的思維與習(xí)慣

運(yùn)算能力并非是一種單一的、孤立的數(shù)學(xué)能力，而是運(yùn)算技能與邏輯思維等的有機(jī)整合，是以數(shù)學(xué)認(rèn)知、數(shù)學(xué)思想、個(gè)人發(fā)展三個(gè)維度融合架構(gòu)形成。計(jì)算教學(xué)始終要以問題解決為目的，經(jīng)歷“從現(xiàn)實(shí)情境中提出問題——探索計(jì)算方法——解決實(shí)際問題”的過程。因此運(yùn)算能力的培養(yǎng)，不僅要處理好“理解算理”“掌握算法”，更需要結(jié)合“現(xiàn)實(shí)情境”，培養(yǎng)學(xué)生判斷與選擇的意識(shí)和靈活敏捷的思維品質(zhì)，提升運(yùn)算能力。正如學(xué)者指出的：應(yīng)用這種意識(shí)靈活解決問題的能力，其核心是指計(jì)算策略中的靈活性和創(chuàng)造性，而非“沒有思維”的計(jì)算程序。

兩位老師在教學(xué)的設(shè)計(jì)中，無論是點(diǎn)子圖操作還是數(shù)量關(guān)系分析，都伴著具體的問題情境，結(jié)構(gòu)性地呈現(xiàn)學(xué)生的思維成果，引導(dǎo)學(xué)生比較異同，加深對(duì)算理的理解，再溝通算法之間的聯(lián)系，借助“怎樣表達(dá)計(jì)算過程”的步驟，建立對(duì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算中“每一步乘的結(jié)果怎樣寫”的問題。在練習(xí)中，王妍老師采用不同情境應(yīng)用的方式，如在“你會(huì)找聯(lián)系嗎？”練習(xí)中，啟發(fā)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)豎式計(jì)算與圖中各部分有怎樣的關(guān)系”，以進(jìn)一步清晰地感受到豎式計(jì)算中每一步的意義。當(dāng)然，其中也暗含著乘法、面積之間的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生感受整體與部分、筆算與圖式之間的關(guān)系。王暑雅老師則采用連續(xù)情境切入的方式，在“小熊文具店”的購物情境中，實(shí)現(xiàn)豎式的優(yōu)化；借助豎式計(jì)算比較，獲得對(duì)“調(diào)換兩個(gè)乘數(shù)的位置，積不會(huì)改變”的感性認(rèn)識(shí)，為以后認(rèn)識(shí)乘法交換律積累經(jīng)驗(yàn)。又如兩節(jié)課都注重了在具體情境下計(jì)算方法的選擇問題，王妍老師設(shè)計(jì)的“裝蘋果一共需要多少個(gè)箱子”的問題，在比較辨別中，體現(xiàn)了基于數(shù)量關(guān)系及數(shù)據(jù)特點(diǎn)，靈活計(jì)算的價(jià)值取向。王暑雅老師設(shè)計(jì)的“600 元夠不夠”的問題，體現(xiàn)出教師對(duì)學(xué)生具體情境下估算能力的有意識(shí)培養(yǎng)。

教學(xué)研究可知，計(jì)算教學(xué)中的情境需與具體問題聯(lián)系，才能使運(yùn)算成為解釋現(xiàn)象的工具，成為交流、加工、解釋信息的量化方法，發(fā)揮最大功能。比如錯(cuò)例分析（改錯(cuò)）是計(jì)算教學(xué)的常用方式，針對(duì)容易出錯(cuò)處，化錯(cuò)解錯(cuò)，弄清錯(cuò)誤的根源，將有助于學(xué)生對(duì)計(jì)算方法的掌握。如何使計(jì)算能真正解決學(xué)生的疑難？錯(cuò)例的問題情境設(shè)置就需把握兩個(gè)方面：一是計(jì)算本身的難點(diǎn)，這是學(xué)生面對(duì)新知時(shí)產(chǎn)生的困難，如位值理解及口算技能等；二是學(xué)生的現(xiàn)實(shí)難點(diǎn)，這是學(xué)生的真正困難所在，如第二層積的書寫對(duì)位問題。教學(xué)中，借助錯(cuò)例及時(shí)反饋學(xué)生的問題所在，為解決學(xué)生的疑難而教。當(dāng)然，開展具體問題情境的“基礎(chǔ)練習(xí)”“挑戰(zhàn)問題”等也將幫助學(xué)生合理分析，掌握算法。

需要特別關(guān)注的是，計(jì)算靈活性意識(shí)與習(xí)慣的培養(yǎng)。有意識(shí)地積累問題解決的經(jīng)驗(yàn)將為學(xué)生問題識(shí)別分析、算法合理選擇等提供現(xiàn)實(shí)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。比如兩位教師在教學(xué)中都關(guān)注到了先估再算的習(xí)慣培養(yǎng)，讓“估”真正為計(jì)算結(jié)果是否合理進(jìn)行“導(dǎo)航”，王暑雅老師還特別注重了“估”與正確結(jié)果的比較，讓學(xué)生體會(huì)到“估”的價(jià)值。良好的運(yùn)算能力也體現(xiàn)在面對(duì)不同情境的具體問題解決方式，以往我們較為強(qiáng)化筆算出精確值作為學(xué)生解決問題的主要方式，忽視了估算、口算、靈活選擇計(jì)算等方法。事實(shí)上，單一固化的技能訓(xùn)練往往使學(xué)生思維發(fā)展淺層與弱化。本課中，兩位教師在問題情境設(shè)計(jì)上充分關(guān)注到了能力發(fā)展節(jié)點(diǎn)，通過“能讀完嗎？”“夠不夠呢？”“□7×□8 的乘積可能是多少？”等問題，帶動(dòng)學(xué)生結(jié)合情境選擇筆算、口算、估算的應(yīng)用，體現(xiàn)了“有思維”的算法選擇，提升了運(yùn)算能力。

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算”的同課異構(gòu)教學(xué)，兩位老師均緊扣計(jì)算的“理”“法”“境”，通過學(xué)生對(duì)算法的自我創(chuàng)造，架起了經(jīng)驗(yàn)與方法的橋梁，在理解算理、掌握算法、情境應(yīng)用中促進(jìn)了思維發(fā)展，這些正是發(fā)展學(xué)生運(yùn)算能力的重要要素與可持續(xù)研究的方向。