非自治強衰減波動方程的適定性

韓英豪， 溫 馨， 崔曉旭， 周雪瑩

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

本文考慮如下非自治阻尼強衰減波動方程：

(1)

其中，s∈,n∈,n≥3,Ω?n是具有光滑邊界?Ω的有界開區(qū)域.假設(shè)非線性項f：→為連續(xù)可微，存在常數(shù)c>0，滿足條件：

|f′(z)|≤c(1+|z|p)，z∈，

(2)

并且，外力項滿足條件：

‖G(·,t)‖L2(Ω)≤c(1+tp+1),t∈.

(3)

β0≤β(t)≤β1,?t∈.

(4)

函數(shù)r:→+為一致H?lder連續(xù)，連續(xù)可微，存在正常數(shù)0

r0≤r(t)≤r1,?t∈.

(5)

當n=1,r(t)≡1時，此方程是黏性介質(zhì)中的均勻弦的橫向震動和均勻桿的縱向震動的數(shù)學(xué)模型.其中，強衰減項-Δut表示系統(tǒng)所受到的與形變成正比的應(yīng)力，對系統(tǒng)構(gòu)成一種衰減因素.當n=3時，此方程是各向同性的、均勻的、具有較短記憶的線性黏彈性固體震動的數(shù)學(xué)模型，對自治情況的此類方程有不少學(xué)者進行過研究[1-4].其中,文獻[1]研究了自治情況下的此類方程的整體解的存在性、漸近衰減性和ω-極限集的性質(zhì)等.本文將研究非自治狀態(tài)下的上述方程的局部與整體解的唯一存在性和關(guān)于初始條件的連續(xù)依賴性.為此，需要如下非自治發(fā)展方程理論.

定義1[5]設(shè)X是一個Banach空間，B(t):D?X→X，t∈[t0,T](D為與時間無關(guān)的集合)是閉的稠定線性算子.

(a)算子族B(t)稱為一致扇形算子，如果?t∈[t0,T],Re(λ)≥0，(λI+B(t))-1存在，并存在常數(shù)M>0，使得

(b)B(t)為一致H?lder連續(xù).也就是說，存在常數(shù)L>0,1≥α>0,對任意t,τ,s∈[t0,T],有

定理1[5]如果Banach空間X上的一個算子族B(t),t∈[t0,T]滿足定義1中的條件(a)與(b),那么在[t0,T]×X上存在唯一發(fā)展過程V(t,s):X→X,對任意t0≤s≤t≤T,滿足

(i)‖V(t,s)‖L(X)≤C.

(ii)V(t,s)X?D,并t→V(t,s)是在X上強可微，其導(dǎo)函數(shù)Vt(t,s)∈B(X)(B(X)為X中的所有有界子集構(gòu)成的集族)，并Vt(t,s)在t0≤s

并且

(iii)對任意x∈D,t∈[t0,T],V(t,s)x在t0≤t≤T上關(guān)于s可微，并且

下面考慮Banach空間X上的柯西方程：

(6)

其中,B(t)為定義1中的線性算子.

定理2[5]假設(shè)方程(6)中的B(t)為一致扇形算子，一致 H?lder連續(xù),F(t,x)∶[t0,T]×X→X是關(guān)于t連續(xù).關(guān)于x一致Lipschitz連續(xù).那么,對任意x0∈X,存在唯一x∈C([t0,T]∶X),使得

把x(t)叫作方程(6)的溫和解.進而，x0→x是從X到C([t0,T]∶X)的Lipschitz連續(xù)映射.

如果f∶[t0,∞]×X→X關(guān)于t≥t0連續(xù)，在[t0,∞)的有界區(qū)域上一致Lipschitz連續(xù)，那么存在tmax>t0,方程(6)在[t0,tmax]上存在唯一溫和解x(t).如果tmax<∞,那么

如果f為連續(xù)可微，那么溫和解就是古典解.

1 方程(1)的適定性

(7)

從而，方程(7)的線性部分和非線性部分為

那么，方程(7)生成的演化過程{U(t,s)|t≥s}滿足如下積分方程，因而可分解成:

C(t,s)ws+S(t,s)ws.

(8)

的解所生成的V上的演化過程.

此外，把算子分解為Aβ(t)=A1(t)+A2(t),其中,

引理1對任意t∈,算子A1(t)是閉的，最大耗散的，而且0∈ρ(A1(t)).其中,ρ(A1(t))是A1(t)的預(yù)解集.

證由于A閉的,因而A1(t)是閉的.另外,一方面由于對任意(u,v)∈VD(A1),有

是方程

(

的唯一解.這就證明了A1(t)是耗散的.

最后，由于算子A1(t)的逆算子是

因而,0∈ρ(A1(t)).證畢.

引理2算子族A1(t)為在V中是一致扇形正定算子.

證如果令Π(λ)=λ2I+λr(t)A+A,那么A與Π(λ)可交換，而且A1(t)的預(yù)解算子R(λ,A1)=(λI-A1)-1為

其中,Re(λ)>0.

下面將證明存在正常數(shù)C(r1),Cr0,r1,使得

(9)

(10)

(11)

首先證明式(10).由Π(λ)的定義，有

因此,對于任意的x∈X,對于任意Re(λ)>0,有

(12)

而且,由式(12)可知，對任意Re(λ)>0,算子Π(λ)A-1/λ是單射的,Π(λ)A-1/λ的值域是整個空間X.因此,對任意Re(λ)>0,式(10)就成立.

其次證明式(9).由Π(λ)的定義，有

(13)

因此,對于x∈D(A),可推出

(14)

(15)

因此，由式(14)和式(15)可得

因此，在假設(shè)情況(a)下，式(9)就得到了證明.

(16)

對于任意Re(λ)>0成立.因此,在(b)情況下,同樣證明了不等式(9).

最后證明式(11):由式(14)有

Π(λ)A-1=I+r(t)λ+λ2A-1=I+r(t)A1/2(λA-1/2)+(λA-1/2)2.

在不等式(9)證明中從式(13)得到式(16)的過程中，把(λA-1/2)用(A1/2/|λ|)來替代.那么，對任意x∈X,有

2Re((λA-1/2)2x,x)+2r(t)(Re(λ))(‖x‖2+‖λA-1/2x‖2)>0, ?Re(λ)>0.

(17)

其中,Re(λ)>0.這就證明了式(11).

根據(jù)以上的估計式(9)～式(11),存在常數(shù)Cr>0,對任意λ,當Re(λ)>0時,對任意x∈X,預(yù)解算子R(λ,A1)X有如下估計式:

這就得出了引理2結(jié)論.證畢.

定理3對任意r>0,以及s∈,存在α,τ>0,對任意w0∈V,=w0=V≤r,存在方程(8)的唯一解w,使得w(·,s,w0)∈C([s,s+τ],V)∩C1((s,t0+τ],V′).并且，如下映射是連續(xù)的:

{w0∈V:‖w0‖V≤r}w0w(·,s,w0)∈C([s,s+τ],V).

證根據(jù)引理(2)以及假設(shè)條件(4)和假設(shè)條件(5),算子A1(t)是一致扇形的，并且算子A2(t)是關(guān)于t一致有界的，且

由r(t)與β(t)的一致H?lder連續(xù)性，存在w>0，使得

=[Aβ(t)-Aβ(s)]Aβ(t0)-1=L(V)≤M|t-s|w.