應該拋物線內的自共軛三角形探究

張皓宇　何毅章

首先我們知道：F關于拋物線，極線為，

關于拋物線極線為

（此外，，等熟知結論不用細說）

那么，我們考慮在通徑上取一點，在上任取一

點，設HT、XT分別與交于P、Q，直線PQ有何特殊性質呢？

設

則點差：

同理：

又

即 ①

即 ②

將①代入②得：

即 ③

將③代入得：

記為W。

點X關于的極線為：

在這條線上

故為自共軛三角形

因此，我們改寫命題：

拋物線準線與x軸交點為H，以H為頂點作自共軛三角形，再在拋物線上任取一點T，設TH、TX分別交拋物線、，則

、、W三點共線。

當在平面上任意位置呢？

則H關于極線：，

設，則X關于極線：

又X在H點對應級線上，

故： ④

聯立：

（這樣找到了這個自共軛三角形）

同理可得：

將分別代入，得：

消去即由⑤⑥

將④代入

將⑦代入

整理，得：

故PQ還是恒過點

這個點，即為W點！原命題成立。

（事實上，對所有二次曲線均有該命題成立，由于篇幅太小寫不下，暫略去證明）

關于拋物線的自共軛三角形，取上任一點T，TH，TX分別與之交于P、Q，那么P、Q、W三點共線。

（PS：此結論一定不能讓出卷老師發現，否則他（她）隨便取一個點，再在其極線上隨便取一個點，然后亂連一些線去證過定點，其后果不堪設想……）