開放性練習，讓學生走向數學本質

孫貴合

數學到底要學習什么？只是簡單的加減乘除嗎？只是對概念、公式的反復記憶嗎？只是能夠解決一些數學問題嗎？教師到底如何教數學？學生又應該學些什么？答案只有一個——從表象學習走向數學本質的學習。“所謂數學的本質，就是指數學本身所固有的、決定數學學科性質、面貌和發展的根本屬性。從微觀上說，數學本質就是具體數學內容的本質意義。因此，在教學中我們就得抓住：對基本數學概念的理解；對數學思想方法的把握；對數學特有思維方式的感悟；對數學美的鑒賞；對數學精神（理性精神與探究精神）的追求。”（《數學核心思想》史寧中）

那么如何能夠走向數學的本質呢？在此，以下面兩個案例為例，與大家分享我的經驗與思考。

案例一：人教版五年級上冊《認識方程》。

對于《認識方程》一課，許多教師都認為很好講，什么是方程：含有未知數的等式叫方程。但只背下這一句話就叫認識方程了嗎？它真的能夠概括出方程的本質嗎？中國科學院李邦河院士說：“數學歸根結底是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也。”可知概念教學在數學學習中的重要地位，因為任何一個新的知識的產生，一定是源于新的概念的產生。《認識方程》是學生由算術思維向代數思維過渡的第一課，通過認識方程，“要讓學生了解方程的作用，了解等式的性質，能夠用方程刻畫現實情境中的數量關系，方程是溝通已知量和未知量的一種數學模型。”（《數學課程標準解讀》）可見一句話起不到這樣大的作用。任何一個概念本身，都是前人智慧的結晶，而我們教學的作用就是把這個結晶傳授給學生，讓學生在親身經歷中慢慢總結出概念。本課教學后，教師還會設計一些辨析，以及結合實際情境列方程的練習。當然，這些練習是必要的，但除此之外，我又設計了這樣一道開放性練習：

師：我心里想一個數，這個數乘4，再加上6，最后等于90。你能夠計算出這個數是多少嗎？

生：90-6 的差，再除以4，就能算出這個數了。

師：非常好，這種方法我們學習過，它叫什么？

生：倒推法、逆推法。

師：你能用今天學習的知識列一個方程嗎？

生：4x+6=90。

師：同學們，你們仔細想一想，以前的方法和我們列方程的方法有什么不同嗎？

生：原來的沒有未知數，今天的有未知數；原來的直接計算了結果，方程沒有結果；原來的方法是倒著去想的，而方程是順著去想的。

師：太好了，你發現了以前的方法與方程之間一個重要的區別。雖然今天這些題目同學們都能夠很快計算出結果，但我們仍要學習方程是因為以前的方法更多的是倒著去思考問題，而方程是順著思考問題，兩者的思維方向相反。

設計這道練習題，主要有以下兩方面的原因：

1.算術方法與代數方法的本質區別。

張奠宙先生曾說：如果將要求的答案比喻為在河對岸的一塊寶石，那么算術方法好像是摸著石頭過河，從岸邊開始，一步一步摸索著接近要求的目標，而方程卻不同，好像是將一根帶鉤的繩子甩過河，拴住對岸的寶石（未知數）（建立等量關系），然后用這根繩子慢慢地拉過來，最終獲得寶石。這個例子使我們看到利用方程和算術解題的思維路線往往是相反的，以前只能一條腿走路，以后學生就可以兩條腿走路了，從而使學生接受方程。

2.能夠用算術方法解決的簡單問題為什么這么麻煩？

教學《認識方程》這一課時，教師所出示的現實情境都非常簡單，學生口算就能得出結果，這時學生一定有一個疑問：“我都能夠解決了，為什么還要學習方程？”古話講“餓了吃糠甜如蜜，飽了吃蜜不如糠。”所以通過這道題，要讓學生感受到認識方程不是單以解決問題為目標，更重要的是思維的方向，從而使學生真心接受方程。這也就是為什么很多教師在教學時，學生經常會出現：8-5=x、12÷4=x 的情況。當然出現這種情況也是正常的，因為在以前的學習中，教師反復強調要把結果寫在等式的右邊，所以學生很難一下改正過來。

正是由于這個情況，我又設計了下面一道練習題：20+30=？

生：太簡單了，等于50。

師：還有不同答案嗎？

生：老師，還能等于30+20。

師：在他的啟發之下，你們還能想到什么？

師：剛才只有一個答案，現在每個人都有了不同的答案，這是為什么呢？我想是不是等號給你們的影響最大？以前我們看到等號就想到要計算，其實等號更重要的是表達左右的量相等。

通過簡單的交流，使學生對等號的作用由原來認識的片面性升華到數學本質，還避免了學生在課上經常出現8-5=x、12÷4=x 的現象，使學生從更深層次理解了方程的本質。

案例二：北師大版四年級上冊《運算律》。

很多教師在教學這一內容時，當學生已經總結出“加法交換律”“乘法交換律”，并能夠用語言去正確表達后，教師便說：“還可以用字母表示：a+b=b+a。”在這個學習過程中，學生掌握了知識，但失去了總結、歸納、抽象的過程。

我在教學這節課時，沒有給出用字母表達的形式，學生只能用語言表達，于是在課后練習中，我設計了這樣一組練習：87+32=32+（）、251×（）=（）×251。這兩道題是基礎題目，同時也為后面的練習做鋪墊，第一題是唯一答案，而第二題答案不唯一。當學生能夠正確解答之后出示第三題：（）+（）=（）+（）。

師：現在一個數字都沒有了，你還能填寫嗎？

生：3+4=4+3。

師：誰能說一個和他不一樣的？

生：50+120=120+50。

師：表面看起來數字不同了，但我覺得它們還是一樣的，只是數字變大了，由1 到1 萬不叫創新，由0 到1 的過程才叫創新。

生：0.2+1.3=1.3+0.2。

師：此處應該有掌聲，這位同學為我們提供了一個新的領域，那這樣的例子舉得完嗎？

生：舉不完，太多了。

師：都說舉不完，誰能舉完，那才叫本事！

生：誰加誰都等于誰加誰。

師：這里“誰”太多了，你能區分一下嗎？

生：第一個數加第二個數等于第二個數加第一個數。

師：非常好，他想到了用文字去表達，現在也不許用文字了，你還能說一個嗎？

生：蘋果+香蕉=香蕉+蘋果。

師：現在也不許用水果表達了。

生：A+B=B+A。

師：看，同學們發揮自己的想象，得到了這么多種表達形式，真了不起，在數學上一般用字母表達。

出示：（）×（）=（）×（）。

學生很快得出：A×B=B×A。

本題的設計使學生真正經歷了抽象、總結、歸納、概括的過程。通過教師的不斷追問，學生真正拓開了自己的思維領域，從文字到實物到圖形再到符號，最后到字母，真正經歷了知識產生的過程，并且開拓了學生的思路。通過教師的舉例，使學生真正產生了自己的思考，在如今的課堂教學中，學生很少有自己的思考，大多是在不斷地模仿別人的答案，而本題中，學生的每一個答案都是自己思考的結果，正是有了自己的思考，才使我們的課堂教學走向了數學本質的學習。

通過剛才兩個練習題的分享，相信教師也對數學本質的學習有了自己的思考。民國時的《開明國語課本》教材中有這樣一篇文章，全文只有一句話：“三只牛吃草，一只羊也吃草，一只羊不吃草，它看著花。”數學教學需要“吃草”，但我們也要看“花”。“吃草”使我們能夠生存，必須要吃，還要吃飽，因為這是我們的物質基礎；“看花”使我們感受到幸福，也就是我們的追求，這也是數學的本質。