高中數學“生活中的概率”教學中滲透核心素養

◎薛兆坤 （北華大學數學與統計學院，吉林 吉林 132013）

一、教學目標

本節課的教學目標有以下三點：

1.使學生能夠體會生活中的數學概率問題，幫助學生融入生活，切實體會.

2.在模擬試驗的過程中，深入體會概率的穩定性和隨機性思想，加深學生對概率有關概念的理解.

3.讓學生體會到進行模擬試驗的必要性與可操作性，培養學生的數據分析能力與數學建模素養.

二、情境引入

事件發生的概率是一個在日常生活中經常用到的詞語，但是人們對其具體的數學含義并不是十分清楚.我們可以引導學生從隨機事件出發，探求概率的有關問題，并且對涉及的實際問題進行具體問題具體分析.因此，在具體的課堂問題展開之前，用淺顯易懂的故事或者身邊常見的事情作為例子就顯得非常必要.創設問題情境，引入新知.

情境1明天是周末，你什么時間起床？ 早上7：30 分有多少人在公交站等公交車？ 中午12：00 在餐廳用餐的人數有多少？ 我們看電影院剛剛上映的哪部電影？

情境2你家隔壁搬來了新的鄰居，根據隔壁的動靜，可以清晰地感受到新鄰居家有三個小孩.但是，因為聲音非常微弱，分辨不清隔壁鄰居家里是男孩還是女孩.你打算去拜訪一下，試想：給你開門的是男孩還是女孩？ 或者是他們的父親還是母親？

情境3吉林地區一年四季的變化有著確定的、必然的規律，每年6 月份降水概率是0.8，大家能說出具體哪一天降水嗎？ 每年2 月份降雪概率是0.68，大家能說出2 月份有多少天降雪嗎？

情境4我國數學家在對數學猜想的研究過程中，取得了非常豐厚的成果.哥德巴赫猜想是這樣說的，“對于每個大于2 的偶數都可以表示成兩個素數之和”.如20＝7＋13.在不超過20 的素數中，我們隨機選取兩個不同的數，其和等于20 的概率是多少？

設計意圖一件事的發生既有必然發生的可能性，也有偶然發生的可能性，有些事情的發生是必然的，而有些卻是偶然的.讓學生體會偶然與必然之間存在著的內在聯系.這里讓每名學生預先做出自己的判斷，引導學生積極發表自己的觀點，體會概率內在的穩定性以及概率的隨機性.

三、問題探究

問題1概率模擬試驗

拋擲一枚質地均勻的硬幣40 次，是否一定會出現“正面朝上”20 次？ 如果不是這樣，請說明原因？［1］

設置模擬試驗如下：

1.每名學生各取一枚質地均勻的硬幣，做40 次拋擲，記錄試驗結果.與大家試驗結果相比，結果是否一致？ 為什么出現這種情況？

2.把所有學生隨機且均勻地分成4 個小組進行試驗，把試驗結果統計起來，記錄結果.與其他小組相比較，各個小組結果一致嗎？ 為什么？

3.把所有小組試驗結果進行統計，記錄全部數據.

4.利用書上所提供的隨機數表進行模擬，探求事件發生的規律性.

5.利用計算機模擬試驗，體會大數據統計思想.

設計意圖讓每名學生親身經歷數學試驗過程，體會模擬試驗的可操作性和合理性，并深入體會概率的基本思想.隨著試驗次數的增加，體會事件發生出現的概率的大小.我們是沒有辦法進行全面實際操作的，這里就體現了模擬試驗的實用性和必要性.教會學生模擬試驗的基本過程，體會隨機現象，幫助學生了解統計與概率的意義.

問題2游戲的公平性

在一個不透明的、有足夠空間可以均勻混合球的布袋里，放置一模一樣的10 個球.其中，有1 個黃球和9 個白球.每次每名學生摸出1 個球，記錄摸出的球的顏色，隨后放回袋中混合均勻.這樣全班同學（共40 人）每人摸1 次，觀察與記錄是否至少有4 次摸到黃球.［2］

活動過程如下：

1.全班同學隨機混成一隊，編號1—40.1 號同學攪勻袋子里的球，隨機取出一個球，記錄其顏色，隨后放回.下一名同學重復上述操作過程.

2.根據試驗得到的結果，將同學們均勻隨機分成兩隊進行討論，可以得出什么結論？ 兩隊同學進行交流，是否得出相同結論？

3.同學們可以想一想取球的順序，或者班級的總人數，是否影響每名同學取出黃球的可能性？

我們在課堂上進行的模擬試驗的種類和可操作的程度都是有限的，模擬試驗的結果也不是非常具有全面性和可信性，很難滿足同學們的好奇心和求知欲.但是，我們依然可以引導同學們用計算機進行種類更多的模擬試驗，開闊學生的視野，也使試驗的結果具有更明確的可信性和全面性.

設計意圖這個活動實際上是一個全班同學共同參與的集體活動，既可以建立融洽而熱烈的課堂氛圍，又可以在教師的引導下提高動手操作和團結協作的能力.它打破學生的思維定式與固有模式，盡可能滿足學生的探究之心.讓學生體會取球順序并不影響取出黃球的概率，使學生數據統計、數據分析的數學素養得到落實.

問題3天氣預報的概率

吉林地區的氣象預報顯示，本地明日降水概率為76%，請大家看以下的兩種解釋，哪一個能代表氣象局的觀點？［3］

1.本地區明日將會有76%的區域下雨，24%的區域不下雨.

2.本地區明日下雨的可能性是76%.

第一種解釋很顯然是不正確的，76%的概率是說降水的概率，不是說76%的區域降水.因此，第二種解釋可以代表氣象局的觀點.

學習概率之后，我們可以解釋生活中常聽到這樣的話語：“天氣預報說降水的概率為90%，竟然一點雨都沒下，這條報道一點也不準確.”這里的“降水”是隨機事件，“概率為90%”指降水的可能性是90%.我們知道，就算概率為99%的事件也有可能不會發生，因此，就算“一點雨都沒下”也不能說明這條天氣預報是錯誤的.

設計意圖澄清人們對于概率的錯誤認知，通過數學中對概率的學習，將概率與生活實際緊密聯系起來.

問題4性別問題

你家隔壁搬來了新的鄰居，根據隔壁的動靜，可以清晰地感受到新鄰居家有三個孩子.但是，因為聲音非常微弱，所以分辨不清隔壁鄰居家里是男孩還是女孩.你打算去拜訪一下，試想：給你開門的是男孩還是女孩？ 或者是他們的父親還是母親？

1.出于好奇，你打算去隔壁禮貌性地拜訪一下，這時有人應門，請問：隔壁鄰居夫婦為你開門的概率是多少？ 小孩給你開門的概率是多少？

2.因為你是第一次拜訪，是隔壁鄰居中的父親給你開門，你看到了隔壁鄰居中的母親，短暫地寒暄之后，你回到了家里，并沒有確定三個孩子的性別.

3.雖有拜訪，但是沒有足夠的信息確認隔壁鄰居家的三個孩子的性別.因此，你打算帶些孩子喜歡的零食再次拜訪.

4.再次敲門的時候你亮明身份——是剛剛拜訪過的隔壁鄰居.幸運的是這次來開門的是一個女孩，你把零食遞給她，她說這些零食她的妹妹一定很喜歡.請問：這三個孩子都是女孩的概率是多少？

5.我們已經確認了兩個孩子的性別，如果第三次去敲鄰居的門，是一個孩子來給你開門，給你開門的還是剛才那個女孩的概率是多少？ 是剛才那個女孩的妹妹的概率是多少？

6.經過再次攀談，鄰居家的男孩給你開門的概率是多少？ 你是否有可能確定所有孩子的性別？

這樣的問題，一定是現實生活中能夠碰到的，剛剛接觸，可能會感覺眼花繚亂，但是假如你把自己置身于情境之中，按照情境順序一次次分析，所有的問題都會迎刃而解.

2.第二次拜訪，幸運的是這次來開門的是一個女孩，你把零食遞給她，她說這些零食她的妹妹一定很喜歡.那么，這三個孩子都是女孩的概率是

3.假如還有第三次拜訪，給你開門的還是剛才那個女孩的概率是是剛才那個女孩的妹妹的可能性是鄰居家的男孩給你開門的概率是或0，不一定能確定所有孩子的性別.

設計意圖這是一個生活中常見的問題，看似十分巧合且難以琢磨，但是確實是一個容易解決的概率問題.引導學生克服復雜的文字描述，尋求數量關系，提取問題的主干，逐一分析，最后得出完整的答案.培養學生概括提取關鍵信息、邏輯推理的能力.

四、課后發現

1.在網上或報刊中尋找應用概率的例子，并說出這個概率是如何被使用的.

2.在羽毛球、足球等這類比賽中，裁判員可以用哪種方法來決定誰先發球？ 這樣決定公平嗎？

4.一位老師給他的學生出了一個問題：“有兩個人，一個是甲，一個是乙.甲是一個干凈的人，乙是一個很臟的人.如果去請他們洗澡，他們中間誰會洗呢？ 在這里一共有幾種可能？”

五、課堂總結

在講授“生活中的概率”這部分內容中，教學任務相對簡單，可以留給學生思考和活動的空間較大.概率的學習使學生了解“不確定性”的概念，并能從數量上表示不確定事件發生的可能性的大小，還可以從數學的角度對隨機性和確定性的兩種現象進行解釋和探究.在反思拓展的過程中，讓學生進一步體會統計概率的實用價值，借此改變學生對數學觀念的認識，使學生更全面、完善地學習這部分知識，最后進行歸納研究.

教師在設計這節課時，可以著手體現如下設計思想：滲透數學源于生活、用于現實情境中的意識，激發學生的好奇心，鼓勵學生動手試驗解決問題，對試驗結果的規律進行歸納.概率問題有它獨特的情景思維和趣味研究性，能激發學生主動學習，并進行數學遷移.在概率教學的進程中，培養學生的分析概括思想要貫串始終，并使學生能夠學以致用.