幾類常見函數的極限計算方法

孟獻青

（山西大同大學數學與統計學院，山西大同 037009）

極限是高等數學的重要內容，也是高等數學的重要思想方法和研究工具，是高等數學學習的第一個難關，尤其它的思維方式和思考方法對學好高等數學非常重要。極限的求解方法靈活多變，技巧性強[1-3]。文章對幾種常見函數的極限計算方法進行了歸納和總結。極限運算法則、洛必達法則、分子（分母）有理化、無窮小的性質，極限存在總則，這些都是求極限常用的方法，下面對幾種常見函數的極限方法進行研究。

1 分式函數的極限

1.1 利用極限運算法則求極限

極限運算法則是計算極限最基本的依據，對于多項式函數而言，求極限可以直接計算函數在該點的函數值，但對于分式函數而言，如果分母的極限不為零，那么可以直接求函數在該點的函數值，然后應用極限運算法則求解。

1.2 利用無窮大與無窮小的關系求極限

如果分式函數分母的極限為零，分子極限不為零，可用無窮大與無窮小的關系求極限。

1.3 利用消去零因子法求極限

如果分子極限也為零，此時根據所給函數的特征，可以利用消去零因子法，也可以利用洛必達法則。如

例3求

解當x→1 時，分子，分母極限都趨于零，先約去零因子x-1，再求極限。

1.4 利用洛必達法則求極限

例3的第二種解法。

解型，利用洛必達法則得

如果分子分母的極限都趨于∞，此時可以分出無窮小求極限，也可以利用洛必達法則。

1.5 利用無窮小分出法求極限

例4

無窮小分出法:分子分母同除以分母中自變量的最高次冪,分離出無窮小,然后再求極限。

解x→∞時，分子分母的極限都趨于∞，分子分母同時除以x3，分出無窮小，再求極限。

例4也可用洛必達法則求解。

對于例4而言，利用無窮小分出法求極限比洛必達法則更為簡便快捷，所以對于例4 這種類型，常用無窮小分出法求解。

結論當a0≠0,b0≠0,m,n為非負整數時，有

1.6 利用無窮小的性質求極限

例5求

解當x→∞時，為無窮小，而sinx是有界函數，所以由無窮小的性質得

1.7 利用等價無窮小替換求極限

常用的等價無窮小替換，當x→∞時，sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，arctanx～x，ln(1+x)～x，ex-1～x，

注意：利用等價無窮小替換時，必須對函數的因子或整體進行無窮小代換，當分子或分母中含有和式時，不能將和式中的某項或某幾項進行代換。如上式中，不能直接將x-sinx替換成x-x，否則容易出現錯誤。

數列可以看成自變量為正整數n的函數，為了敘述統一，此處稱為數列函數。

2 數列函數的極限

2.1 利用通分化簡求極限

結論：有限個無窮小的和是無窮小，但無限個無窮小的和未必是無窮小。

2.2 利用極限存在準則求極限

極限存在準則有夾逼準則和單調有界準則，主要方法是進行放縮，然后再求極限。

2.3 利用級數收斂的必要條件求極限

由收斂級數的必要性知，如果級數收斂，則一般項趨于零。所以若以數列的通項為一般項的級數的斂散性容易判定，此時可以考慮用級數收斂的必要條件求極限。

3 冪指函數的極限

定義1底數與指數中都含有變量的函數，稱為冪指函數，記為u(x)v(x)，其中u(x) ＞0,u(x) ≠1。

冪指函數求極限，常用方法如下：

（2）若limu(x)=a＞0,limv(x)=b，則limu(x)v(x)=ab；

（3）利用對數恒等式

u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)，

則

limu(x)v(x)=limev(x)lnu(x)=elimv(x)lnu(x)。

注意：這里的lim 都表示在自變量同一變化過程中的極限。

3.1 化簡成重要極限的形式求極限

3.2 利用對數恒等式求極限

在求函數極限時，經常要把幾種方法綜合使用，這樣才會簡化計算。

4 分段函數的極限

4.1 利用左右極限求分段點處的極限

討論分段函數f(x)在分段點x0處的極限，一般應根據左右極限來判斷，如果f(x)在點x0處左右極限存在且相等，則極限存在，否則極限不存在。

例13設

解x=0是函數的分段點，左右極限分別是

4.2 利用夾逼準則求分段函數的極限

定義2不超過x(x∈R)的最大整數稱為取整函數，記為[x]。

如果函數表達式中包含取整函數，則通常用夾逼準則求極限。

對分式函數，數列函數，冪指函數及分段函數的極限進行了分類探討，進而對極限的概念和思維有了更深刻的認識，極限的計算方法靈活多樣，想要巧妙求解極限，除了多做練習，還要對求解方法進行歸納分析，這樣才能不斷提高應用能力。